關(guān)注指數(shù)遷移尋找思維突破口

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關(guān)注指數(shù)遷移尋找思維突破口

◇江蘇王文婷

經(jīng)常有學(xué)生在自己看題目時(shí)毫無頭緒,聽完別人的講解后恍然大悟,深深的糾結(jié)自己為何想不到,除了懊惱更多的是對數(shù)學(xué)漸漸的失去信心．波利亞在《怎樣解題》一書中這樣寫道:“如果找不到已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系,你也許不得不考慮輔助題目．”下面就一道題的分析過程談?wù)勅绾芜M(jìn)行知識遷移,尋找思維突破口．

圖1

學(xué)生拿到此題目的第一瞬間是茫然,不知切入點(diǎn)在哪里,找不到具體的數(shù)據(jù),疑惑求解k取值范圍該運(yùn)用什么數(shù)學(xué)方法．如何拉近條件與結(jié)論間的關(guān)系呢?思維的突破口究竟在哪里?

師:看到此題目,你覺得是考查什么知識點(diǎn)?說出你的理由．

生眾:解三角形中的正、余弦定理．圖形是三角形,條件是邊的關(guān)系.

師:在沒有告知具體數(shù)據(jù),卻給了邊與邊的關(guān)系,我們一般如何處理?

生1:填空題,可以特殊化．不妨設(shè)AB=3,AD=k,AC=1.

由DC=2BD,設(shè)BD=1,CD=2.

師:大家都同意他的說法嗎?

生2:BD與AC不一定相同,否則，△ABC是唯一固定,D點(diǎn)唯一固定,不是求k的取值范圍,而是求具體k的值．

師:非常棒．DC=2BD,AB∶AD∶AC=3∶k∶1是2個(gè)獨(dú)立的條件,如果我們特殊化，設(shè)AB=3,AD=k,AC=1,那DC=2BD,如何處理?

生2:設(shè)BD=x,CD=2x.

師:現(xiàn)在讓我們結(jié)合圖形共同梳理一下,AB=3,AD=k,AC=1,BD=x,CD=2x.

生2:我覺得k與x肯定是有關(guān)系的．

師:接下來我們?nèi)绾螌ふ襨與x的關(guān)系?

生眾:知3邊求3角,用余弦定理,再利用角．

師:同學(xué)們自己操作一下.

生2:在△ABD、△ADC中,

∠ADB+∠ADC=180°.

生3:在△ABD、△ABC中,利用公共角B.

師:為什么最后這樣書寫?

師:非常好,然后呢?

師:非常棒,研究函數(shù)勿忘定義域.

當(dāng)解題過程呈現(xiàn)出來的時(shí)候,學(xué)生們恍然大悟．可是學(xué)生獨(dú)立解決此問題為何成功率很低呢？思其原因不難發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生是看見比例關(guān)系畏難不知所措,還有同學(xué)不明白k的變化究竟由誰驅(qū)動(dòng)．如果能夠體會此問題考查的知識點(diǎn),尋找研究問題的方法,這是可以一一破解的．除此之外還可由方法遷移,思考是否曾做過類似題目．其實(shí)試卷中大部分試題都直接來源于教材或適度改編．我們平時(shí)要重視課本,重視基本方法,抓題目考查的數(shù)學(xué)本質(zhì)．新題舊做,化陌生為熟悉． 其實(shí)課本必修5中有下面的例題.

圖2

變式如圖2所示，AM是△ABC邊上的中線,求證：

分析題目中已經(jīng)有的條件,在數(shù)學(xué)知識體系中尋找對應(yīng)的考核點(diǎn),這是數(shù)學(xué)解題思維為何產(chǎn)生的重要因素．如果學(xué)生具有完整的數(shù)學(xué)知識體系,能夠把握整體脈絡(luò),就可以將某一題的解題方法遷移到與它同類型的題目中．上述題目的問題背景雖為三角形,但是向量也是解決幾何圖形問題的常用工具．

師:在例1中,點(diǎn)D是3分點(diǎn),已知AB、AC,探究AD,是否感覺似曾相識?此圖在何處出現(xiàn)過?

師:高考復(fù)習(xí)中面臨的題目成千上萬,尋求解題思路、解題方法是關(guān)鍵,選擇簡便的解題方法可以節(jié)約解題時(shí)間、降低錯(cuò)誤率．因此平時(shí)我們需多聯(lián)系所學(xué)知識、整合知識、思考方法、抓住題目背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)．

(如果說學(xué)生剛開始還需要老師的引導(dǎo),幫助他們分析,實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)正遷移,那么現(xiàn)在學(xué)生思維一旦被打開,將帶給我們無限驚喜．)

師:說說你的想法．(微笑鼓勵(lì))

圖3

利用相似,AE=2,DE=1/3,所以在△ADE中,AD小于2邊之和且大于2邊之差,同樣可得k的取值范圍為k∈(5/3,7/3).

(學(xué)生們都對這位同學(xué)投以欽佩的目光)

師:我們給這位同學(xué)鼓掌．其實(shí)我們在提升解題能力時(shí),不可盲目做題,需要從解題中不斷提煉出解題方法,加強(qiáng)知識間的聯(lián)系、方法上的聯(lián)系．只有這樣才可以在千變?nèi)f化的題海中靈活進(jìn)行知識遷移,感受解題的樂趣與成功感.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一:注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；提升學(xué)生思維能力、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會知識遷移.教師需引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考:這個(gè)問題考查什么知識點(diǎn)？是否見過類似的題目?當(dāng)時(shí)采用了什么數(shù)學(xué)方法?曾經(jīng)的解題步驟是什么?此題可否類比研究?教師需幫助學(xué)生明白“怎么做”的同時(shí),更重要的是“怎么想到這么做”．

(作者單位：江蘇省南京實(shí)驗(yàn)學(xué)校(一中分校))