巴拿赫空間上斜演化半流的非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的存在條件

岳　田, 宋曉秋

(1. 湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院， 湖北 十堰 442002； 2. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

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巴拿赫空間上斜演化半流的非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的存在條件

岳田1, 宋曉秋2

(1. 湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院， 湖北 十堰 442002； 2. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

摘要：基于一致指數(shù)不穩(wěn)定的定義，引入了Banach空間中斜演化半流非一致指數(shù)不穩(wěn)定的概念，并用實(shí)例闡釋了二者的關(guān)系.借助于指數(shù)穩(wěn)定性的研究方法,討論了斜演化半流非一致指數(shù)不穩(wěn)定的特征，建立了其非一致指數(shù)不穩(wěn)定的2個(gè)充要條件.所得結(jié)論推廣了指數(shù)穩(wěn)定性及一致指數(shù)不穩(wěn)定性中的一些已有結(jié)果.

關(guān)鍵詞：斜演化半流； 非一致指數(shù)不穩(wěn)定性； 巴拿赫空間； 指數(shù)衰退

YUE Tian1, SONG Xiaoqiu2

(1.SchoolofScience,HubeiUniversityofAutomotiveTechnology,Shiyan442002,HubeiProvince,China; 2.CollegeofScience,ChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou221116,JiangsuProvince,China)

近年來(lái)，利用斜演化半流來(lái)研究無(wú)限維空間中演化方程的漸近性質(zhì)取得了長(zhǎng)足發(fā)展.關(guān)于斜演化半流的概念首先由MEGAN等[1]引入，與演化算子、演化族、斜積流僅依賴(lài)于2個(gè)變量不同,其依賴(lài)于3個(gè)變量，進(jìn)而利用斜演化半流來(lái)研究演化方程解的漸近行為似乎更為合理，尤其是在指數(shù)穩(wěn)定性方面.如文獻(xiàn)[2]給出Banach空間中斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的性質(zhì)刻畫(huà)，并得到了相應(yīng)性質(zhì)在一致集上的統(tǒng)一形式；文獻(xiàn)[3]利用Banach函數(shù)空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)與離散特征；文獻(xiàn)[4]給出了線性斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)及離散型Barbashin定理；文獻(xiàn)[5]則采用類(lèi)似于文獻(xiàn)[2]的方法，研究了斜演化半流非一致指數(shù)穩(wěn)定的若干性質(zhì)；文獻(xiàn)[6]定義了斜演化半流指數(shù)及多項(xiàng)式穩(wěn)定的若干形式，給出了相關(guān)概念間的關(guān)系，并得到了指數(shù)及多項(xiàng)式穩(wěn)定的積分特征.

與指數(shù)穩(wěn)定性相比，關(guān)于斜演化半流指數(shù)不穩(wěn)定性(膨脹性)的研究相對(duì)較少.如文獻(xiàn)[1]對(duì)斜演化半流的一致指數(shù)不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，得到了DATKO相應(yīng)型結(jié)論[7]；文獻(xiàn)[8]給出了與斜演化半流的弱指數(shù)膨脹性相關(guān)的性質(zhì)，并利用Lyapunov函數(shù)刻畫(huà)了弱指數(shù)膨脹的相關(guān)特征；文獻(xiàn)[9]利用Banach函數(shù)空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數(shù)膨脹的充要條件.由于一致指數(shù)不穩(wěn)定條件太強(qiáng)，本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出Banach空間中斜演化半流非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的概念，并探究其成立的一系列充要條件.

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)(X,d)為一度量空間，V是一個(gè)Banach空間，將空間V上的范數(shù)及作用其上的有界線性算子全體B(V)上的范數(shù)記作‖·‖.記

I為恒等算子.

定義1[1-2]映射φ:T×X→X稱(chēng)為X上的演化半流(evolutionsemiflow)，需滿(mǎn)足以下2個(gè)性質(zhì)：

(es1)φ(t,t,x)=x,?(t,x)∈+×X；

(es2)φ(t,s,φ(s,t0,x))=φ(t,t0,x),?(t,s),

(s,t0)∈T,?x∈X.

定義2[1-2]如果滿(mǎn)足如下性質(zhì)：

(ec1)Φ(t,t,x)=I,?(t,x)∈+×X；

(ec2)Φ(t,s,φ(s,t0,x))Φ(s,t0,x)=Φ(t,t0,x),?(t,s),(s,t0)∈T,?x∈X.

則稱(chēng)映射Φ:T×X→B(V)為演化半流φ上的演化上循環(huán)(evolutioncocycle).

定義3[1-2]映射C:T×Y→Y，

C(t,s,x,v)=(φ(t,s,x),Φ(t,s,x)v),

(1)

稱(chēng)為Y上的斜演化半流(skew-evolutionsemiflow)，其中Φ為演化半流φ上的演化上循環(huán).

關(guān)于斜演化半流的例子可參閱文獻(xiàn)[1-2]中的例子，此處省略.值得注意的是，C0半群、演化算子、演化族、斜積流均為斜演化半流的特殊情形.

定義4[2]如果對(duì)于?(t0,x,v)∈+×Y，映射在[t0,∞)上可測(cè)，則稱(chēng)斜演化半流C=(φ,Φ)為強(qiáng)可測(cè).

定義5[8]如果存在常數(shù)M≥1和ω>0使得

(2)

對(duì)?(t,s),(s,t0)∈T及?(x,v)∈Y成立，則稱(chēng)斜演化半流C=(φ,Φ)為指數(shù)衰退的(exponentialdecay).

(3)

對(duì)?(t,s),(s,t0)∈T及?(x,v)∈Y成立，則稱(chēng)斜演化半流C=(φ,Φ)為非一致指數(shù)不穩(wěn)定(nonuniformlyexponentiallyinstable).

注 1斜演化半流C=(φ,Φ)是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在非減函數(shù)N:+→[1,∞)和常數(shù)α>0使得

(4)

對(duì)?(t,t0,x,v)∈T×Y成立.

注2若定義6中N(t)=N≥1，則稱(chēng)斜演化半流C=(φ,Φ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的(uniformlyexponentiallyinstable)[1]，顯然若C是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，則一定是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的，反之不一定成立.

ft(τ)=f(t+τ),?τ∈+.

則(X,d)為度量空間且映射

φ:T×X→X,φ(t,s,x)=xt-s

為X上的演化半流.令V=，考慮映射，其中ρ(t)=sint-tcost+2t，則其為一演化上循環(huán)，進(jìn)而C=(φ,Φ)為斜演化半流.由于

ρ(t)-ρ(t0)=

sint-sint0-tcost+t0cost0+2t-2t0≥

t(1-cost)-t0(1-cost0)+t-t0-2≥

t-3t0-2，

進(jìn)而可得

即

故C是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的.

假設(shè)C是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，則存在常數(shù)N≥1和α>0使得對(duì)?(t,t0,x,v)∈T×Y，

現(xiàn)取t=2nπ+2π，t0=2nπ+π，則

從而矛盾，故C非是一致指數(shù)不穩(wěn)定的.

2主要結(jié)論

定理1斜演化半流C=(φ,Φ)是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在兩非減函數(shù)f,g:+→[1,+∞)且g(t)=∞，使得

(5)

對(duì)?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y成立.

證明必要性：取g(t)=eαt,?t≥0即可證.

充分性：設(shè)(t,s)∈T，δ>0且滿(mǎn)足g(δ)>1.則存在n∈和r∈[0,δ)，使得t-s=nδ+r.記

定理2設(shè)C=(φ,Φ)為一強(qiáng)可測(cè)的具有指數(shù)衰退的斜演化半流，則如下命題等價(jià)：

(i)C是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的；

(ii)存在非減函數(shù)ε:+→[1,∞)及常數(shù)v>0，使得對(duì)?(t,t0,x,v)∈T×Y，式(6)成立.

(6)

(iii)存在非減函數(shù)ε:+→[1,∞)使得對(duì)?(t,t0,x,v)∈T×Y，式(7)成立.

(7)

證明(i)?(ii)由定義6知，對(duì)?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y，存在非減函數(shù)N:+→[1,∞)和常數(shù)α>0，使得

成立.

(ii)?(iii)顯然.

(iii)?(i)因?yàn)镃具有指數(shù)衰退性，故存在常數(shù)M≥1和ω>0使得對(duì)?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y，

(8)

成立.進(jìn)一步，

(9)

結(jié)合式(8)、(9)，對(duì)?(t,t0,x,v)∈T×Y，

利用定理1，取f(t)=Meω t(1+ε(t))，g(t)=1+t，可得C=(φ,Φ)是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的.

參考文獻(xiàn)(References)：

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[9]YUE T, LEI G L, SONG X Q. Some characterizations for the uniform exponential expansiveness of linear skew-evolution semiflows[J]. Advances in Mathematics (China),2015,45,doi:10.11845/sxjz.2014173b.

Criteria for the existence of nonuniform exponential instability of skew-evolution semiflows in Banach spaces. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):181-183

Abstract:Based on the definition of uniform exponential instability, a skew-evolution semiflow with nonuniform exponential instability is presented in Banach spaces. An illustrating example is used to clarify the relationship between the two concepts. Exponential stability technique is applied to study the features of nonuniform exponential instability of skew-evolution semilflows. Two necessary and sufficient conditions concerning the nonuniform exponential instability of skew-evolution semiflows are given. The obtained conclusions are generalizations of the well-known results about the exponential stability and uniform exponential instability.

Key Words:skew-evolution semiflow; nonuniform exponential instability; Banach space; exponential decay

中圖分類(lèi)號(hào)：O 175.13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-9497(2016)02-181-03

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.010

作者簡(jiǎn)介：岳田(1988-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-3371-5673,男，助教，碩士，主要從事微分系統(tǒng)的漸近行為研究,E-mail: ytcumt@163.com.

基金項(xiàng)目：湖北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014CFB629); 湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院校預(yù)研基金項(xiàng)目(2014CFB629).

收稿日期：2015-08-06. 2015-08-06.