一類帶有比率依賴型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型正解的存在性和多重性

李 海 俠

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 寶雞 721013)

?

一類帶有比率依賴型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型正解的存在性和多重性

李 海 俠

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 寶雞 721013)

摘要：討論了一類帶有Crowley-Martin和比率依賴反應(yīng)函數(shù)的擴(kuò)散捕食-食餌模型.首先利用局部分歧理論考察了系統(tǒng)關(guān)于強(qiáng)半平凡解處產(chǎn)生正解的存在性,再運(yùn)用擾動(dòng)理論得到了正解的穩(wěn)定性.最后借助全局分歧理論和不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論給出了正解多重性的條件.

關(guān)鍵詞：捕食-食餌模型; Crowley-Martin反應(yīng)函數(shù); 分歧; 擾動(dòng); 多解

LI Haixia

(InstituteofMathematicsandInformationScience,BaojiUniversityofArtsandSciences,Baoji721013,ShaanxiProvince,China)

在齊次Robin邊界條件下討論如下帶有Crowley-Martin和比率依賴反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型:

x∈Ω, t>0,

x∈Ω, t>0,

u(x,0)=u0(x)≥0,?0, x ∈Ω,

v(x,0)=v0(x)≥0,?0, x∈Ω,

w(x,0)=w0(x)≥0,?0, x∈Ω,

(1)

其中，Ω∈RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.系統(tǒng)(1)是三物種的捕食-食餌模型, 其中u是食餌, v和w是2個(gè)以u(píng)為食物的捕食者.ai(i=1,2,3)分別是u,v和w的增長(zhǎng)率,r1,p1,b和c分別描述了捕食者v的捕獲率、轉(zhuǎn)化率、處理時(shí)間和捕食者間的強(qiáng)度,r2和p2分別代表了捕食者w的捕獲率和轉(zhuǎn)化率,e代表半飽和常數(shù). 食餌u和捕食者v之間以Crowley-Martin(C-M)型反應(yīng)函數(shù)相互作用, 食餌u和捕食者w之間以比率依賴型反應(yīng)函數(shù)相互作用.初值u0(x),v0(x)和w0(x)是連續(xù)函數(shù).參數(shù)b,c,e,a1,a2,a3,pi,ri(i=1,2)都是正常數(shù).

如果系統(tǒng)(1)沒(méi)有捕食者w且c=0, 則系統(tǒng)(1)成為經(jīng)典的帶有Holling-II反應(yīng)函數(shù)的兩物種捕食-食餌模型. 在齊次Dirichlet邊界條件下, 文獻(xiàn)[1]應(yīng)用局部和全局分歧理論討論了系統(tǒng)正解的存在性；文獻(xiàn)[2]運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論、分歧理論和擾動(dòng)理論研究了當(dāng)參數(shù)b充分大時(shí)系統(tǒng)正解的存在性、穩(wěn)定性和多重性. 如果系統(tǒng)(1)沒(méi)有捕食者w, 則其變?yōu)閹в蠧-M反應(yīng)函數(shù)的兩物種捕食-食餌模型. 在齊次Dirichlet邊界條件下, 文獻(xiàn)[3]首先討論了模型正解的存在性以及當(dāng)b充分大和r1充分小時(shí)正解的多重性和唯一性; 文獻(xiàn)[4]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了當(dāng)參數(shù)c充分大時(shí)系統(tǒng)正解的唯一性和穩(wěn)定性，并采用數(shù)值模擬對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證和補(bǔ)充. 如果系統(tǒng)(1)沒(méi)有捕食者v, 則系統(tǒng)(1)成為帶有比率依賴反應(yīng)項(xiàng)的兩物種捕食-食餌模型. 文獻(xiàn)[5]在齊次Robin邊界條件下討論了此模型正平衡解的存在性、穩(wěn)定性、唯一性，以及拋物系統(tǒng)的漸近行為.

C-M反應(yīng)函數(shù)

是一類既依賴食餌又依賴捕食者的經(jīng)典反應(yīng)函數(shù), 正常數(shù)r,b和c分別描述了捕食者的捕獲率、處理時(shí)間和捕食者間的強(qiáng)度. 不管目前某個(gè)捕食者是否在尋找或捕獲食餌,C-M反應(yīng)函數(shù)都允許存在捕食者之間的干擾. 因此, 近年來(lái)帶有C-M反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型受到了國(guó)內(nèi)外生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注[6-10]. 然而, 據(jù)筆者所知，關(guān)于帶有C-M反應(yīng)函數(shù)的三物種擴(kuò)散捕食-食餌模型的研究并不多見. 另一方面, 由于三物種捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性, 在三物種擴(kuò)散模型中,關(guān)于系統(tǒng)在強(qiáng)半平凡解處產(chǎn)生正解的研究以及正解多重性的研究亦非常少見.

綜上所述，本文主要考慮系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)

(2)

正解的存在性、穩(wěn)定性和多重性.

則λ1(q)連續(xù)依賴q,λ1(q)是簡(jiǎn)單的.而且,如果q1≤q2,q1?q2, 則λ1(q1)<λ1(q2).為簡(jiǎn)單起見, 定義λ1(0) 為λ1,則λ1的主特征函數(shù)記為?1.

考慮如下非線性問(wèn)題：

(3)

若r>λ1,則式(3)有唯一正解,若r≤λ1,則式(3)只有零解.定義唯一正解為Θr.特別地,Θr

1正解的存在性和穩(wěn)定性

1.1正解的先驗(yàn)估計(jì)和不存在性

首先，由上下解方法可得系統(tǒng)(2)的共存解的先驗(yàn)估計(jì).

引理1系統(tǒng)(2)的任意共存解(u,v,w)有先驗(yàn)估計(jì)

引理2如果系統(tǒng)(2)有共存解, 則

證明假設(shè)(u,v,w)是系統(tǒng)(2)的共存解. 由特征值的比較原理可知a1>λ1且u≤Θa1.則由系統(tǒng)(2)的第2個(gè)方程和特征值的比較原理，得

由引理2和上下解方法易得：

引理3如果系統(tǒng)(2)有共存解(u,v,w), 則u≤Θa1,v≤Θ(a2,a1),w≤Θa3+p2. 而且，如果

這里Θ(a2,a1)是如下問(wèn)題的唯一正解：

由引理2得系統(tǒng)(2)正解的不存在性.

定理1如果以下條件之一成立，則系統(tǒng)(2)沒(méi)有共存解.

(iii) a1>λ1且a3+p2≤λ1.

1.2正分歧解的存在性和穩(wěn)定性

(4)

關(guān)于問(wèn)題(4), 用類似于文獻(xiàn)[2]的方法可得：

(5)

存在唯一解, 這里

為了應(yīng)用分歧理論, 引入如下空間:

證明令

G(a3,u,v,w)=

N(L)=span{(φ1,φ1,ψ1)},

于是，dimN(L)=dimR(L)=1.

L1(φ1,φ1,ψ1)=(0,0,-ψ1)?R(L).

的特征值構(gòu)成.

由引理4可知，L1的特征值都有正實(shí)部且遠(yuǎn)離0. 因此，0是L0的簡(jiǎn)單特征值, 對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為(0,0,ψ1).又由Riesz-Schauder定理可知，0是L0的最小特征值, 其余特征值都大于且遠(yuǎn)離0,則由線性算子的擾動(dòng)理論,有當(dāng)s→0+,r2>0充分小時(shí), L(s)有唯一的特征值τ(s)→0,L(s)的其余特征值都有正實(shí)部且遠(yuǎn)離0. 而且, 可取τ(s)相應(yīng)的特征函數(shù)為(η,ξ,ζ),使得當(dāng)τ(s)→0時(shí)(η,ξ,ζ)→(0,0,ψ1).

下面判別Reτ(s)的符號(hào).對(duì)L(s)(η,ξ,ζ)=τ(s)(η,ξ,ζ)的第3個(gè)方程乘w并在Ω上積分, 得

(6)

對(duì)系統(tǒng)(2)的第3個(gè)方程乘以ζ并在Ω上積分, 有

(7)

由式(6)和(7)，得

(8)

取式(8)的實(shí)部, 兩邊同除以s2并令s→0+,τ(s)→0,得

于是當(dāng)s→0+時(shí),Reτ(s)≠0. 因此分歧正解(u(s),v(s),w(s))是非退化的. 而且, 因?yàn)長(zhǎng)(s)的其余特征值都有正實(shí)部且遠(yuǎn)離0, 所以分歧正解(u(s),v(s),w(s))穩(wěn)定.

(9)

關(guān)于問(wèn)題(9)同理有:

-Δη-a1-2u-r2ew2(u+ew)2é?êêù?úúη+r2u2(u+ew)2χ=η,x∈Ω,-Δχ-a3-2w+p2u2(u+ew)2é?êêù?úúχ-p2ew2(u+ew)2η=χ,x∈Ω,ηn+η=χn+χ=0,x∈Ωì?í??????????????

(10)

存在唯一解.

2正解的多重性

應(yīng)用分歧理論和不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論,討論了系統(tǒng)(2)正解的穩(wěn)定性和多重性條件. 以a1為分歧參數(shù)，研究了系統(tǒng)(2)關(guān)于強(qiáng)半平凡解(0,Θa2,Θa3)的分歧.

令U=u,V=v-Θa2,W=w-Θa3,則U,V,W>0滿足

其中,

G1(U,V,W)=

G2(U,V,W)=

T(a1,U,V,W)=

則T(a1,U,V,W)是可微緊算子. 令F=I-T.顯然, F是C1函數(shù)且F(a1,0,0,0)=0.而且,F(a1,U,V,W)=0當(dāng)且僅當(dāng)(a1,U,Θa2+V,Θa3+W)是系統(tǒng)(2)的非負(fù)解.

類似于定理2的證明,可得：

(a1(ε),u(ε),v(ε),w(ε))=(a1(ε),ε(ξ1+r(ε)),

Θa2+ε(η1+t(ε)),Θa3+ε(χ1+s(ε))), 0<ε<δ.

方便起見,給出如下引理.

引理6a1(ε)在ε=0處的微分滿足

證明將(a1(ε),u(ε),v(ε),w(ε))=(a1(ε),

ε(ξ1+r(ε)),Θa2+ε(η1+t(ε)),Θa3+ε(χ1+s(ε)))

代到系統(tǒng)(2)的第1個(gè)方程中, 兩邊同除ε, 關(guān)于ε微分并令ε=0,得

兩邊同乘ξ1并在Ω上積分，知結(jié)論成立.

接下來(lái), 將局部分歧延拓為全局分歧.令a1,i(μ)(μ≥1)是如下問(wèn)題的特征值：

基于以上討論, 有如下全局分歧結(jié)果.

定理5設(shè)a2>λ1,a3>λ1, 則

令Ui=ui/‖ui‖∞,則Ui滿足

下面應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論系統(tǒng)(2)共存解的穩(wěn)定性和多重性. 為此, 首先給出一些空間.

記

定義算子At:D→W為

At(u,v,w)=(-Δ+q)-1×

令A(yù)=A1,則系統(tǒng)(2)有非負(fù)解當(dāng)且僅當(dāng)A在D中有不動(dòng)點(diǎn).

再運(yùn)用類似文獻(xiàn)[16]的方法，給出算子A在平凡解和半平凡解處的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù),在此省略其證明.

引理7(i)indexW(A,D)=1;

(ii)若a1>λ1,a2≠λ1,a3>λ1, 則

indexW(A,(0,0,0))=0;

indexW(A,(Θa1,0,0))=0;

設(shè)

結(jié)合引理4和5，采用類似文獻(xiàn)[16]的方法有：

引理8(i) 若

則indexW(A,P1)=0;

(ii)若

則indexW(A,P2)=0.

由引理7與8和度的可加性,得系統(tǒng)(2)正解的存在條件.

類似于文獻(xiàn)[9]的證明可得：

引理9設(shè)a1>λ1,a2>λ1,a3>λ1,則系統(tǒng)

有唯一正解(Θa1,Θa2,Θa3)且其是非退化和線性穩(wěn)定的.

Bν(u,v,w)=(-Δ+Q)-1×

這里ν∈[0,1].顯然系統(tǒng)(2)有非負(fù)解當(dāng)且僅當(dāng)B1在D中有不動(dòng)點(diǎn).

令

Dδ={(u,v,w)∈W:‖(u,v,w)-(0,Θa2,Θa3)‖X<δ}.

indexW(B0,(Θa1,Θa2,Θa3))=1.于是，indexW(B1,D1)=indexW(B0,D1)=1.最后結(jié)合引理7和8，得

indexW(B1,D1)=indexW(B1,(0,0,0))+

indexW(B1,(Θa1,0,0))+indexW(B1,(0,Θa2,0))+

indexW(B1,(0,0,Θa3))+indexW(B1,P1)+

indexW(B1,P2)=0,

表明系統(tǒng)(2)在DDδ內(nèi)至少有1個(gè)正解.

參考文獻(xiàn)(References)：

[1]BLAT J, BROWN K J. Global bifurcation of positive solutions in some systems of elliptic equations[J]. SIAM J Math Anal,1986,17(6):1339-1353.

[2]DU Y H, LOU Y. Some uniqueness and exact multiplicity results for a predator-prey models[J]. Transactions of the American Mathematical Society,1997,349(6):2443-2475.

[3]WANG M X, WU Q. Positive solutions of a prey-predator model with predator saturation and competition[J]. J Math Anal Appl,2008,345(2):708-718.

[4]WEI M H, WU J H, GUO G H. The effect of predator competition on positive solutions for a predator-prey model with diffusion[J]. Nonlinear Analysis,2012,75(13):5053-5068.

[5]RYU N, AHN I. Positive solutions for ratio-dependent predator-prey interaction systems[J]. J Differential Equations,2005,218(1):117-135.

[6]SHI X Y, ZHOU X Y, SONG X Y. Analysis of a stage-structured predator-prey model with Crowley-Martin function[J]. J Appl Math Comput,2011,36(1):459-472.

[7]LIU X, LIU Y W. Dynamic behavior of a delayed modified Leslie predator prey system with Crowley-Martin functional response and feedback controls[J]. Advances in Mathematics,2012,41(4):501-511.

[8]DON Q L, MA W B, SUN M J. The asymptotic behavior of a chemostat model with Crowley-Martin type functional response and tim delays[J]. J Math Chem,2013,51(5):1231-1248.

[9]LI H X. Asymptotic behavior and multiplicity for a diffusive Leslie-Gower predator-prey system with Crowley-Martin functional response[J]. Computers and Mathematics with Applications,2014,68(7):693-705.

[10]李海俠,李艷玲.一類帶有Crowley-Martin反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的定性分析[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,53(5):66-72.

LI Haixia, LI Yanling. Qualitative analysis for a predator-prey system with Crowley-Martin type functional response[J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2014,53(5):66-72.

[11]CRANDALL M G, RABINOWITZ P H. Bifurcation from simple eigenvalue[J]. J Funct Anal,1971，8(2):321-340.

[12]LI L. Coexistence theorems of steady-states for predator-prey interacting systems[J]. Trans Amer Math Soc,1988,305(1):143-166.

[13]WU J H. Global bifurcation of coexistence state for the competition model in the chemostat[J]. Nonlinear Analysis,2000,39(39):817-835.

[14]RABINOWITZ P H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems[J]. J Funct Anal,1971，7(3):487-513.

[15]KUANG Y, BERETTA E. Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system[J]. J Math Biol,1998,36(4):389-406.

[16]BAEK S, KO W, AHN I. Coexistence of a one-prey two-predators model with ratio-dependent functional responses[J]. Applied Mathematics and Computation,2012,219(4):1897-1908.

[17]DANCER E N. On the indices of fixed points of mapping in cones and applications[J]. J Math Anal Appl,1983,91(1):131-151.

The existence and multiplicity of positive solutions for a predator-prey model with ratio-dependent type functional response. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):156-163

Abstract:A diffusive predator-prey model with Crowley-Martin and ratio-dependent type functional responses is considered. Firstly, the existence of positive solutions which are relative to the strong semi-trivial solutions is investigated based on the local bifurcation theory. Moreover, by use of the perturbation theory, we obtain the stability of positive solutions. Finally, multiple conditions of positive solutions are determined by resorting to the global bifurcation theory and fixed point index theory. Results have shown the existence of stable solutions and multiple solutions under certain conditions.

Key Words:predator-prey model; Crowley-Martin functional response; bifurcation; perturbation; multiplicity

中圖分類號(hào)：O 175.26

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-9497(2016)02-156-08

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.006

作者簡(jiǎn)介：李海俠(1977-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-6347-7565,女，副教授，博士，主要從事偏微分方程計(jì)算及其可視化研究, E-mail：xiami0820@163.com.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271236,11401356)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(GK201302025, GK201303008); 陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(14JK1035); 陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2015JM1008); 寶雞文理學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目(ZK15039).

收稿日期：2014-12-05.