折線Mamdnai模糊系統(tǒng)及其權(quán)值參數(shù)的螢火蟲優(yōu)化算法

索春鳳, 王貴君

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 天津 300387)

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折線Mamdnai模糊系統(tǒng)及其權(quán)值參數(shù)的螢火蟲優(yōu)化算法

索春鳳, 王貴君*

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 天津 300387)

摘要：折線Mamdnai模糊系統(tǒng)是基于折線模糊數(shù)的線性運(yùn)算構(gòu)造的系統(tǒng)模型,其主要特點(diǎn)是前件模糊集及后件中心連接權(quán)均取值于由有限個(gè)有序點(diǎn)決定的折線模糊數(shù). 依據(jù)折線模糊規(guī)則建立了折線Mamdnai模糊系統(tǒng)模型,進(jìn)而基于適應(yīng)度函數(shù)、熒光素和決策半徑設(shè)計(jì)了該系統(tǒng)權(quán)值參數(shù)的螢火蟲優(yōu)化算法,以優(yōu)化該系統(tǒng)的后件中心連接權(quán)參數(shù).最后,通過一個(gè)雙輸入單輸出仿真實(shí)例，驗(yàn)證了該螢火蟲優(yōu)化算法的有效性.

關(guān)鍵詞：折線模糊數(shù);折線Mamdnai模糊系統(tǒng);后件中心連接權(quán);螢火蟲優(yōu)化算法

SUO Chunfeng, WANG Guijun

(SchoolofMathematicsSciences,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China)

2009年,劍橋大學(xué)YANG教授受自然界螢火蟲發(fā)光的生物學(xué)啟發(fā)，首次提出了仿生算法.此算法的主要特點(diǎn)是通過搜索空間中的粒子尋找最優(yōu)解,并在連續(xù)和離散空間優(yōu)化權(quán)值參數(shù),該算法曾被廣泛應(yīng)用于諸多研究領(lǐng)域[1-3].在此基礎(chǔ)上興起了群智能優(yōu)化仿生算法，包括粒子群算法、遺傳算法、蟻?zhàn)逅惴ǖ萚4-6].2002年,劉普寅教授[7]首次提出折線模糊數(shù)概念及其算術(shù)運(yùn)算,該運(yùn)算不僅滿足線性和封閉性,而且克服了基于Zadeh擴(kuò)展原理的傳統(tǒng)模糊數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性.此外,文獻(xiàn)[7]還率先引入單輸入單輸出(SISO)折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(PFNN),并證明了該網(wǎng)絡(luò)比傳統(tǒng)BP模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的逼近性.文獻(xiàn)[8]通過引入K-積分模研究了該網(wǎng)絡(luò)對一類可積函數(shù)的逼近性能.文獻(xiàn)[9-10]基于Armijo-Goldstein線性搜索準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了折線FNN的共軛梯度算法和GA-BP混合算法,從而改進(jìn)了權(quán)值參數(shù)的全局尋優(yōu)能力.文獻(xiàn)[11]則討論了訓(xùn)練模式對的攝動對該網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響.然而,上述學(xué)習(xí)算法和逼近性能都是針對SISO折線FNN所獲得.文獻(xiàn)[12]首次提出多輸入單輸出(MISO)折線FNN結(jié)構(gòu)模型,并依據(jù)折線模糊數(shù)的線性運(yùn)算設(shè)計(jì)了該網(wǎng)絡(luò)的Hebb算法和粒子算法,具有一定的隨機(jī)性和參數(shù)多樣性,Hebb算法直觀且易實(shí)現(xiàn),而粒子算法穩(wěn)定性好且收斂速度較快.然而,傳統(tǒng)模糊系統(tǒng)依據(jù)前件和后件模糊規(guī)則來構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖類似于一個(gè)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FNN).

近年來,利用模糊系統(tǒng)獲得模糊規(guī)則頗受人們青睞,有研究對T-S模糊系統(tǒng)實(shí)施網(wǎng)絡(luò)分層方法,并采用離散二進(jìn)制微粒位置表示該模型的結(jié)構(gòu)參數(shù),這不僅減少了規(guī)則數(shù),也降低了優(yōu)化權(quán)值參數(shù)的復(fù)雜性.本文主要依據(jù)折線模糊數(shù)及其線性運(yùn)算首次提出折線Mamdnai模糊系統(tǒng),并通過改進(jìn)螢火蟲算法、適應(yīng)度函數(shù)、熒光素和決策半徑，對折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的中心連接權(quán)參數(shù)實(shí)施優(yōu)化,以便提高算法精度和收斂速度.

1預(yù)備知識

一般模糊數(shù)的算術(shù)運(yùn)算遵循Zadeh擴(kuò)展原理,但即使最簡單的三角形模糊數(shù)加減法運(yùn)算也都頗顯復(fù)雜,以致這種運(yùn)算時(shí)常不被人們看好.2002年,為了近似地實(shí)現(xiàn)模糊數(shù)之間的非線性運(yùn)算，劉普寅教授[7]首次提出n-折線模糊數(shù)概念及其算術(shù)運(yùn)算,這種運(yùn)算不僅具有線性性和封閉性,而且大大降低了傳統(tǒng)模糊數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性.

本文用Rn表示n維歐式空間,N表示自然數(shù)集,R+表示正實(shí)數(shù)集,F0(R)表示R上所有模糊數(shù)構(gòu)成的集合.下面,綜合文獻(xiàn)[7-8]給出n-折線模糊數(shù)的定義及其相關(guān)算術(shù)運(yùn)算.

圖1　n-折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖像Fig. 1　Membership function image of

界定n-折線模糊數(shù)加減和數(shù)乘運(yùn)算如下:

③設(shè)k≥0,則

界定度量

2折線Mamdnai模糊系統(tǒng)

不妨設(shè)折線Mamdnai模糊系統(tǒng)由L條模糊規(guī)則組成,第k條模糊規(guī)則表示為

仿照傳統(tǒng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖可給出折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖2所示.

圖2　折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig. 2　Topological structure of polygonalMamadnai fuzzy system

(1)

(2)

其中,輸入變量x=(x1,x2…,xd)∈(R+)d,且

則對每個(gè)k=1,2,…,L均滿足

j=1,2;i=0,1,2,…,n.

注1由于n-折線模糊數(shù)是由2n+2個(gè)有序點(diǎn)確定的,因此可把折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的輸出看成是清晰輸出.但對于傳統(tǒng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說,其初始權(quán)值和閾值一般均是模糊數(shù),當(dāng)然其輸出也是模糊數(shù).由于基于Zadeh擴(kuò)展原理的模糊數(shù)算術(shù)運(yùn)算極其復(fù)雜,通常計(jì)算系統(tǒng)的輸出(模糊數(shù))更是難上加難.文獻(xiàn)[9-12]曾基于折線模糊數(shù)的運(yùn)算討論了3層前向折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其學(xué)習(xí)算法,從而使該網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算簡單了許多.但是優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)時(shí)需優(yōu)化的參數(shù)較多,致使優(yōu)化速度變慢.本文將傳統(tǒng)Mamdnai模糊系統(tǒng)看作一個(gè)3層前向折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).目前僅討論輸出中心連接權(quán)為折線模糊數(shù),故需優(yōu)化的參數(shù)大幅度減少!但對于文獻(xiàn)[9-10]所提到的BP算法和共軛梯度算法來說,折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法是否加快了收斂速度或避免了陷入局部極小點(diǎn)仍沒有定論.因此,本文基于文獻(xiàn)[3-4]提出了改進(jìn)螢火蟲算法,該算法具有較好的魯棒性和直觀性等特點(diǎn).

3螢火蟲算法設(shè)計(jì)

螢火蟲在群聚過程中通過自身散發(fā)的熒光素進(jìn)行交流、覓食及尋偶繁殖.通常情況螢火蟲散發(fā)的熒光素越亮越吸引螢火蟲聚集在它周圍.螢火蟲算法是基于螢火蟲通過熒光素交流思想而提出的一種仿生群智能算法.本節(jié)將從螢火蟲聚集的熒光素和決策半徑入手設(shè)計(jì)算法.

根據(jù)n-折線模糊數(shù)的度量DE定義折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的適應(yīng)度函數(shù)

E.

(3)

W=(w1,w2,…,wk,…,wL),

其中,每個(gè)分量wk為

不妨將多維向量W=(w1,w2,…,wk,…,wL)視為方程(3)的一個(gè)可行解,此時(shí),每個(gè)螢火蟲都依適應(yīng)度函數(shù)E(W)決定一個(gè)值.現(xiàn)隨機(jī)給定一組初始解(螢火蟲初始位置)WP(p為解個(gè)數(shù))，并限定每個(gè)螢火蟲的熒光素及決策半徑.由于螢火蟲根據(jù)熒光素的亮暗程度和自身感知范圍來決定自身的移動方向和距離,故在迭代中通過選擇向比自己亮的鄰近螢火蟲方向移動,當(dāng)然決策半徑也會隨之改變,進(jìn)而通過計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)E(W)來考證此時(shí)位置是否就是螢火蟲的最佳位置;如不是,則進(jìn)行循環(huán)迭代,直至找到最優(yōu)個(gè)體極值位置,當(dāng)然此時(shí)位置也是全局極值.

此外,螢火蟲算法由于受其移動的距離影響會導(dǎo)致自身收斂速度變慢和精確度降低,為此參考文獻(xiàn)[6]改變移動策略來研究折線Mamdnai模糊系統(tǒng)中后件中心連接權(quán)值的優(yōu)化問題.

依文獻(xiàn)[3]給出的螢火蟲向熒光素亮的鄰近螢火蟲移動后熒光素的計(jì)算公式：

lp(t+1)=(1-ρ)lp(t)+γE(Vp(t+1)).

(4)

其中,lp(t)表示第p個(gè)螢火蟲在t次迭代過程中的熒光素,lp(t+1)表示第p個(gè)螢火蟲在t+1次迭代中的熒光素,E(Wp(t+1))是依據(jù)式(3)復(fù)合得到的適應(yīng)度函數(shù)值,γ是熒光素的更新率,常數(shù)ρ滿足0<ρ<1.

設(shè)第t次迭代過程中第i個(gè)螢火蟲向第j個(gè)螢火蟲移動的概率為pij(t)，其計(jì)算公式為

(5)

在決策半徑內(nèi)熒光素高的螢火蟲個(gè)數(shù)為:

β(nt-|Nt(t)|)}}，

(6)

其中,Rs為感知半徑,β為控制參數(shù),nt為蟲周圍鄰近數(shù)目.

另外,由于折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的后件中心連接權(quán)由2n+2個(gè)有序參數(shù)確定,不妨將其設(shè)為螢火蟲算法中每個(gè)個(gè)體的編碼長度.因此,通過計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值、更新位置、決策半徑和熒光素找到最佳函數(shù)值對應(yīng)的個(gè)體,從而優(yōu)化螢火蟲群體.

下面針對折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的權(quán)值參數(shù)給出螢火蟲優(yōu)化算法的步驟如下:

Step 1初始化.給定自然數(shù)n0作為迭代過程中每一階段螢火蟲的總數(shù),并隨機(jī)選取n0個(gè)初始位置的參數(shù)向量Wp=Wp[0]=(w1,w2,…,wk,…,wL)和初始熒光素Lp(0)=(l1p,l2p,…,lLp),p=1,2,…,n0.給定精度ε>0,初始迭代步驟t=0,最大迭代步驟是T.

Step 2計(jì)算實(shí)際輸出和適應(yīng)度值.依據(jù)定義2將隨機(jī)選取的初始后件中心連接權(quán)值WP[0]代入式(2)計(jì)算實(shí)際輸出值,再根據(jù)式(3)計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值E(Wp[0]).

Step 3更新熒光素值.如果發(fā)現(xiàn)某個(gè)螢火蟲鄰近的螢火蟲熒光素比自己更亮,則要根據(jù)式(4)設(shè)置常數(shù)ρ和γ,并重新計(jì)算自身的熒光素值.

Step 4更新螢火蟲位置.當(dāng)?shù)趇個(gè)螢火蟲找到第j個(gè)螢火蟲時(shí),且兩者之間的距離小于決策半徑,則螢火蟲i將按式(5)的概率向螢火蟲j移動,具體計(jì)算公式如下:

其中,lbp[t]是螢火蟲自身達(dá)到的最佳位置,而abp[t]是群體達(dá)到的最佳位置,Wp[t+1]表示產(chǎn)生的新位置,i,j,p∈{1,2,…,n0},i≠j≠p,且rp∈[-1,1],φ∈[0,1].

Step 5更新決策半徑.當(dāng)螢火蟲向熒光素亮的螢火蟲移動時(shí)會使自身亮度增強(qiáng),從而使決策半徑發(fā)生變化.此時(shí),可依式(6)設(shè)置感知半徑Rs和參數(shù)β,以便隨時(shí)更新決策半徑.

Step 6判斷輸出后件中心權(quán)值參數(shù)向量Wp(t+1)中每2n+2個(gè)參數(shù)是否滿足由小到大次序,若滿足則直接轉(zhuǎn)Step 6;否則,將這2n+2個(gè)參數(shù)由小到大重新排序后再轉(zhuǎn)Step 6.

Step 7若迭代超過最大步次數(shù)T或達(dá)到設(shè)定精度ε,則退出操作;否則,返回執(zhí)行Step 2.

Step 8輸出螢火蟲的最佳位置參數(shù)Wp.

注2Step 4中移動方案采用了人工蜂群算法[6],但由于本文針對n-折線模糊中2n+2個(gè)正有序?qū)崝?shù)進(jìn)行優(yōu)化,故其優(yōu)化步驟要有別于常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化算法.為此,將被優(yōu)化的參數(shù)組成一個(gè)多維向量,考慮這2n+2個(gè)正實(shí)數(shù)的有序性,因此算法Step 6中須將次序調(diào)整為由小到大排列.

4模擬實(shí)例

本節(jié)將通過一個(gè)雙輸入單輸出折線Mamdnai模糊系統(tǒng)例子來驗(yàn)證優(yōu)化權(quán)值參數(shù)的有效性.

設(shè)熒光蟲的初始熒光素為

Lp(0)=(l1p,l2p,…,lsp),

其中,lip∈[0,5].現(xiàn)給定計(jì)算熒光素和決策半徑的實(shí)參數(shù)分別為:ρ=0.8,γ=0.05,β=0.65.再設(shè)d=2,n=3,給定精度ε=0.001,規(guī)則庫由L(=2)條規(guī)則組成,其中每條規(guī)則的形式如下：

根據(jù)式(2)折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的實(shí)際輸出表達(dá)為

(7)

其中,?x=(x1，x2)∈(R+)2.

3-折線模糊數(shù)A11(0.00,0.21,1.17,1.22,1.70,1.85,3.30,3.58)A12(1.98,2.20,2.95,3.25,4.20,5.50,5.95,6.10)w1(0.11,0.13,0.17,0.22,0.30,0.35,1.30,1.88)

3-折線模糊數(shù)A21(0.00,0.31,1.34,1.42,1.70,2.85,3.30,3.85)A22(1.48,1.55,2.85,3.25,3.55,3.78,4.05,5.15)w2(0.38,0.40,1.25,1.85,2.20,2.50,2.65,3.10)

依據(jù)表1與2的數(shù)據(jù)給出2個(gè)訓(xùn)練模式對的3-折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖像如圖3～5所示.按螢火蟲優(yōu)化算法可獲得優(yōu)化的后件中心連接權(quán)、系統(tǒng)實(shí)際輸出和期望輸出的圖像如圖6～8所示.

圖3　前件和的隸屬函數(shù)圖像Fig. 3　The membership function of

圖4　前件和的隸屬函數(shù)圖像Fig. 4　The membership function of

圖5　后件中心連接權(quán)1和2的圖像Fig. 5　Centre connection weights 2

圖6　優(yōu)化的后件中心連接權(quán)圖像Fig. 6　Connection weights of consequent centre

圖7　系統(tǒng)的實(shí)際輸出圖像Fig. 7　The actual output of the

圖8　系統(tǒng)的期望輸出圖像Fig. 8　The expected output of the

再將后件中心連接權(quán)組成一個(gè)多維向量,按照螢火蟲優(yōu)化算法1～8步及題設(shè)參數(shù)，優(yōu)化的后件中心連接權(quán)值參數(shù)、系統(tǒng)實(shí)際輸出和期望輸出的數(shù)據(jù)值如表3與4.

表3　優(yōu)化后系統(tǒng)的后件中心連接權(quán)值

表4　折線Mamdnai模糊系統(tǒng)實(shí)際和期望輸出

在上述系統(tǒng)的優(yōu)化過程中,涉及計(jì)算的次數(shù)比較多,因此可以利用MATLAB軟件計(jì)算獲得螢火蟲優(yōu)化算法的迭代次數(shù)與誤差變化的誤差迭代圖(見圖9).

圖9　總誤查變化迭代圖Fig. 9　The change of the total error

從圖9不難看出，螢火蟲優(yōu)化算法大約50步前誤差相對偏高,之后大幅降低,直至迭代120步時(shí)誤差趨于平穩(wěn),從而達(dá)到所給精度.

5結(jié)論

基于后件中心連接權(quán)取值為n-折線模糊數(shù)引入了折線Mamdnai模糊系統(tǒng),設(shè)計(jì)了螢火蟲算法來優(yōu)化該系統(tǒng)的后件中心連接權(quán).由仿真實(shí)例不難看出，該螢火蟲優(yōu)化算法在迭代次數(shù)不是很高的情況下就能達(dá)到低精度.但由于折線Mamdnai模糊系統(tǒng)主要依賴于n-折線模糊數(shù)的運(yùn)算,涉及的參數(shù)較多,而且隨著該系統(tǒng)調(diào)節(jié)參數(shù)的不斷增多，可能會使計(jì)算機(jī)記憶溢出或出現(xiàn)延遲現(xiàn)象.因此,如何克服該算法的這些缺陷需進(jìn)一步探索.

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Polygonal Mamdnai fuzzy system and the firefly optimization algorithm of its weight parameters. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):149-155

Abstract:The polygonal Mamadnai fuzzy system is a model based on the linear operation of polygonal fuzzy numbers, and its main characteristic is that the antecedent fuzzy sets and consequent centre connection weights are decided by finite points of a polygonal fuzzy number. In this paper, a polygonal Mamdnai fuzzy system is constructed by some polygonal fuzzy rules, and a firefly optimization algorithm for the weigh parameters is designed based on the fitness function, fluorescein and decision radius. Therefore, the consequent centre connection weights of this system are optimized. Finally, through a double input and single output simulation instance, we verify the effectiveness of the firefly optimization algorithm.

Key Words:polygonal fuzzy numbers; polygonal Mamadnai fuzzy system; consequent centre connection weights; firefly optimization algorithm

中圖分類號：TP 183;O 159

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-149-07

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.005

作者簡介：索春鳳(1990-),ORCID:http://orcid.org/000-0001-7082-8151,女,碩士研究生,主要從事模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊系統(tǒng)研究，E-mail:1242362420@qq.com.*通信作者， E-mail:tjwgj@126.com.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374009).

收稿日期：2015-06-08.