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    廣義半整數(shù)不完全伽瑪函數(shù)及其應(yīng)用

    2016-05-04 07:08:52劉國興呂成軍秦惠增

    劉國興, 呂成軍, 秦惠增

    (1. 山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255049; 2. 齊魯醫(yī)藥學(xué)院 公共教學(xué)部, 山東 淄博 255213)

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    廣義半整數(shù)不完全伽瑪函數(shù)及其應(yīng)用

    劉國興1,2, 呂成軍1, 秦惠增1

    (1. 山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255049; 2. 齊魯醫(yī)藥學(xué)院 公共教學(xué)部, 山東 淄博 255213)

    摘要:對廣義不完全伽瑪函數(shù)Γ(α,z;b)的性質(zhì)進(jìn)行了研究并得到一系列結(jié)果.特別是Γ(α,z;b)的閉形式僅由誤差函數(shù)表示.通過遞推公式,給出了Γ(α±n,z;b),n=1,2,…的顯式表示.

    關(guān)鍵詞:伽瑪函數(shù); 廣義不完全伽瑪函數(shù); 貝塞爾函數(shù); 修正貝塞爾函數(shù)

    廣義不完全伽瑪函數(shù)定義為

    (1)

    其中α∈R,x≥0,b≥0或者 α≤0,x,b≥0,xb≠0,b. 對于這類特殊函數(shù),已有許多結(jié)論[1-8]. 特別當(dāng)α=n-1/2(n=0,1,2,…)時,文獻(xiàn)[1]給出了半整數(shù)貝塞爾函數(shù)有限閉形式的表示

    (2)

    其中Iα和Kα是第一類和第二類修正貝塞爾函數(shù).本文中,考慮廣義不完全伽瑪函數(shù)的幾種其他表示形式.

    1關(guān)于Γ(α±n,x;b)的遞推性質(zhì)

    對于Γ(α±n,x;b)的遞推性質(zhì),需要引入下面的性質(zhì).

    引理1[1]1) 遞推關(guān)系

    Γ(α+1,x;b)=αΓ(α,x;b)+bΓ(α-1,x;b)+xαe-x-b/x

    (3)

    2) 函數(shù)關(guān)系

    (4)

    給出如下形式

    Γ(α+n,x;b)=An(α,b)Γ(α,x;b)+Bn(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pn(α,b,x)xαe-x-b/x

    (5)

    進(jìn)而得到An(α,b),Bn(α,b),Pn(α,b,x)的表達(dá)式.

    由(3)式得到

    Γ(α+n,x;b)=(α+n-1)Γ(α+n-1,x;b)+bΓ(α+n-2,x;b)+xα+n-1e-x-b/x

    (6)

    結(jié)合(5)式和(6)式,可以看出An(α,b),Bn(α,b)和Pn(α,b,x)滿足以下遞推關(guān)系:

    An(α,b)=(α+n-1)An-1(α,b)+bAn-2(α,b),A0(α,b)=1,A1(α,b)=α

    (7)

    Bn(α,b)=(α+n-1)Bn-1(α,b)+bBn-2(α,b),B0(α,b)=0,B1(α,b)=b

    (8)

    Pn(α,b,x)=(α+n-1)Pn-1(α,b,x)+bPn-2(α,b,x)+xn-1,P0(α,b,x)=0,P1(α,b,x)=1

    (9)

    由(7)式~(9)式,給出下面的引理.

    引理2當(dāng)n=0,1,2,…時,An(α,b)可以表示為如下形式

    (10)

    其中[u]表示向下取整函數(shù),(α)n是Pochhammer符號,即

    (α)0=1,(α)n=α(α+1)…(α+n-1)

    (11)

    證明(I) 由(7)式,有

    A0(α,b)=1,A1(α,b)=α,

    (12)

    這表明對于n=0,1,(10)式成立.

    (II) 假設(shè)當(dāng)n≤k(k=1,2,…)時(10)式成立, 對于n=k+1,將n=k+1代入(10)式,有

    Ak+1(α,b)=(α+k)Ak(α,b)+bAk-1(α,b)

    (13)

    將(13)式中的m替換為j-1,得到

    (14)

    其中

    (15)

    將(15)式代入(14)式,得到

    (16)

    所以當(dāng)n=k+1時(10)也成立.這樣證明了(10)式成立.

    引理3 當(dāng)n=1,2,…時,Bn(α,b)可以表示為如下形式

    (17)

    證明(I) 由(8)式,有

    B1(α,b)=b=bA0(1+α,b),B2(α,b)=(α+1)b=bA1(1+α,b)

    (18)

    這表明對于n=1,2,(17)式成立.

    (II) 假設(shè)當(dāng)n≤k(k=2,3,…)時(17)式成立,對于n=k+1,將n=k+1代入(8)式,有

    Bk+1(α,b)=(α+k)Bk(α,b)+bBk-1(α,b)=b(α+k)Ak-1(1+α,b)+b2Ak-2(1+α,b)

    (19)

    利用(7)式、(19)式變?yōu)?/p>

    Bk+1(α,b)=bAk(1+α,b),

    (20)

    這表明當(dāng)n=k+1時(17)式成立.這樣證明了(17)式成立.

    引理4當(dāng)n=1,2,…時,Pn(α,b,x)可以表示為如下形式

    (21)

    證明(I)當(dāng)n=1,2時,(9)式變?yōu)?/p>

    P1(α,b,x)=1,P2(α,b,x)=(α+1)+x,

    (22)

    所以,對于n=1,2,(21)式成立.

    (II)假設(shè)當(dāng)n≤k時(21)式成立 ,對于n=k+1,將n=k+1代入(9)式,有

    (23)

    通過變量替換m=j-1和z=j-2得

    bAj-2(α+k+1-j,b))

    (24)

    利用(7)式,有

    (25)

    這表明當(dāng)n=k+1時(21)式成立.這樣證明了(21)式成立.

    由引理2~4, 有下面的定理.

    定理1當(dāng)n=0,1,2,…,0≤α<1并且b>0時,下面的關(guān)系成立

    Γ(α+n,x;b)=An(α,b)Γ(α,x;b)+Bn(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pn(α,b,x)xαe-x-b/x

    (26)

    其中B0(α,b)=0,P0(α,b,x)=0,Bn(α,b),Pn(α,b,x)(n≥1)和An(α,b)(n≥0)分別由(17)式,(21)式和(10)式給出.

    證明(I)利用(3)式,有

    Γ(α+1,x;b)=αΓ(α,x;b)+bΓ(α-1,x;b)+xαe-x-b/x=

    A1(α,b)Γ(α,x;b)+B1(α,b)Γ(α-1,x;b)+P1(α,b,x)xαe-x-b/x

    (27)

    這表明對于n=0,1,(26)式成立.

    (II) 假設(shè)當(dāng)n≤k(k=1,2,…)時(26)式成立,對于n=k+1,利用(6)式,(7)式,(8)式和(9)式,得到

    Γ(α+k+1,x;b)=xα+ke-x-b/x+(α+k)Γ(α+k,x;b)+bΓ(α+k-1,x;b) =

    Ak+1(α,b)Γ(α,x;b)+Bk+1(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pk+1(α,b,x)xαe-x-b/x

    (28)

    這表明當(dāng)n=k+1時(26)也成立.證明(26)成立.

    引理5[1]

    (29)

    (30)

    推論1對于n=0,1,2,…,下面的關(guān)系成立

    (31)

    按照上面的討論,給出下面的定理,因證明過程基本相同,這里省略.

    定理2當(dāng)n=0,1,2,…,-1<α≤0,b>0時,下面的關(guān)系成立

    Γ(α-n,x;b)=Qn(α,b)Γ(α,x;b)+Rn(α,b)Γ(α+1,x;b)-Sn(α,b,x)xαe-x-b/x

    (32)

    其中R0(α,b)=0,S0(α,b,x)=0,

    (33)

    (34)

    (35)

    推論2當(dāng)n=0,1,2,…時,下面的關(guān)系成立

    (36)

    2應(yīng)用

    推論3當(dāng)n=0,1,2,…,z>0時,下面的關(guān)系成立

    (37)

    (38)

    (39)

    由式(38),式(39)以及式(4),得到

    (40)

    參考文獻(xiàn):

    [1]Chaudhry M A, Zubair S M. Generalized incomplete gamma functions with applications[J]. Comput Appl Math, 1994, 55(1): 99-123.

    [2]Chaudhry M A, Zubair S M. On the decomposition of generalized incomplete gamma functions with applications to fourier transforms[J]. Comput Appl Math, 1995, 59(3):253-284.

    [3]Chaudhry M A, Temme N M, Veling E J M. Asymptotics and closed form of a generalized incomplete gamma function[J]. Comput Appl Math, 1996, 67(2): 371-379.

    [4]Miller A R, Moskowitz I S. On certain generalized incomplete gamma functions[J]. Comput Appl Math, 1998, 91(2): 179-190.

    [5]Boudjelkha M T, Chaudhry M A. On the approximation of a generalizedincomplete gamma function arising in heat conduction problems[J]. Math Anal Appl, 2000, 248(2): 509-519.

    [6]Chaudhry M A, Zubair S M. Extended incomplete gamma functions with applications[J]. Math Anal Appl, 2002, 274(2):725-745.

    [7]Veling E J M. The generalized incomplete gamma function as sum over modified bessel functions of the first kind[J]. Comput Appl Math, 2011, 235(14): 4 107-4 116.

    [8]Ebaid A, Alhawiti H S. New application for the generalized incomplete gamma function in the heat transfer of nanofluids via two transformations[J]. Comput Eng, 2015(2015), Article ID 293105: 1-6.

    (編輯:劉寶江)

    The generalized incomplete Gamma function for half-integers and its application

    LIU Guo-xing1,2, LYU Cheng-jun1, QIN Hui-zeng1

    (1. School of Science, Shangdong University of Technology, Zibo 255049, China;2. Public Teaching Department, Qilu Medical University, Zibo 255213, China)

    Abstract:In this paper, a study is conducted on the series expansion of the generalized incompl-ete Gamma function Γ(α,z;b), the findings of which shows that the new closed form of Γ(α,z;b),n=0,±1,±2,…is only represented by the error function. Finally, through the recurrence formula,the explicit representation of Γ(α±n,z;b),n=1,2,… is brought forth.

    Key words:Gamma function; generalized incomplete Gamma function; Bessel function; modified Bessel function

    中圖分類號:O174.6

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    文章編號:1672-6197(2016)04-0028-05

    作者簡介:劉國興,男,lgx_001180@163.com; 通信作者:秦惠增,男,qinhz@sdut.edu.cn

    基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61379009)

    收稿日期:2015-12-16

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