湍流激勵下簡支平板振動特性的解析法研究

陳美霞，羅 琦，魏建輝

（華中科技大學船舶與海洋工程學院，武漢430074）

湍流激勵下簡支平板振動特性的解析法研究

陳美霞，羅 琦，魏建輝

（華中科技大學船舶與海洋工程學院，武漢430074）

解析法基于隨機激勵理論，采用湍流脈動壓力的Corcos模型作為輸入，結(jié)合考慮流固耦合時平板的頻響函數(shù)，求解得到平板振動速度的自功率譜密度。計算結(jié)果同已有文獻吻合較好，證明了解析法的正確性。同時研究結(jié)果表明：湍流激勵下平板的振動特性體現(xiàn)了平板本身的固有特性；隨著來流速度的增大，平板振速的均方譜密度幅值按一定的數(shù)值關(guān)系增大。

湍流邊界層；隨機激勵理論；平板振動特性；解析法

0 引 言

當潛艇航行時,物面邊界層由層流發(fā)展為湍流。湍流邊界層內(nèi)隨機的速度擾動產(chǎn)生的隨機的脈動壓力激勵彈性結(jié)構(gòu)振動并產(chǎn)生輻射噪聲。湍流脈動壓力是面分布的隨機激勵力源，其分布特性決定了輸入給結(jié)構(gòu)的能量，人們通常采用頻率-波數(shù)譜定量地描述它與結(jié)構(gòu)相互作用的空間和時間耦合程度。經(jīng)典的湍流脈動壓力頻率-波數(shù)譜模型首先由Corcos[1]建立,他由試驗結(jié)果擬合得到窄帶的空間相關(guān)函數(shù),再通過空間域和時域的傅里葉變換得到湍流邊界層脈動壓力的頻率-波數(shù)譜模型。Kraichnan和Skudrzyk[2]、Haddle[3]等人對湍流邊界層脈動壓力進行了定量描述研究，并給出了平板表面湍流脈動壓力的自功率譜密度的表達式。湍流脈動壓力是時間和空間上的隨機過程，平板受其激勵產(chǎn)生的振動和聲輻射也是隨機過程，因此需要采用統(tǒng)計方法進行描述。Strawderman[4]考慮了流體負載的耦合作用，研究了無限大平板和簡支平板在湍流脈動壓力激勵下的振動響應。他利用湍流脈動壓力的互功率譜密度作為激勵源，求解得到振動響應的功率譜密度函數(shù)，數(shù)學表達式比較復雜，但計算直觀方便。Davies[5]針對矩形平板，采用頻率-波數(shù)譜求解彈性結(jié)構(gòu)受湍流脈動壓力激勵的振動和聲輻射，提出了模態(tài)波函數(shù)概念，并據(jù)此分析了矩形平板振動模態(tài)與湍流脈動壓力空間耦合的特征，計算結(jié)果與試驗結(jié)果比較一致。俞孟薩，吳有生[6]綜述了湍流邊界層脈動壓力的頻率-波數(shù)譜模型、湍流脈動壓力的測量方法以及彈性結(jié)構(gòu)受湍流邊界層脈動壓力激勵的外場輻射聲場計算方法；呂世金，白振國[7]采用湍流脈動壓力的波數(shù)-頻率譜模型作為輸入計算了加肋無限大板在湍流激勵下肋骨對結(jié)構(gòu)振動和聲輻射的影響。陳美霞，魏建輝[8]提出了一種基于隨機激勵理論計算結(jié)構(gòu)在湍流激勵下振動特性的半解析半數(shù)值算法，計算結(jié)果同已有文獻中解析法計算結(jié)果吻合較好。Liu等人[9]利用試驗研究了湍流激勵下平板是否加筋及加筋稀密、位置對振動、噪聲的影響。

本文解析法采用湍流脈動壓力的Corcos模型作為輸入，結(jié)合考慮流固耦合時平板的單頻響應函數(shù)，進而求解出平板振動響應的自功率譜密度和均方譜密度。

1 基本理論

1.1 數(shù)理模型

四邊簡支有限長平板浸沒在密度為ρf、聲速為cf和來流速度為U0的流體中，其z<0的表面受到湍流脈動壓力的激勵。本文中來流速度U0與聲速cf相比可忽略不計，因此不考慮對流運動對聲速的影響，認為聲速cf為一恒值。若已知湍流脈動壓力的統(tǒng)計激勵特性，可以將它作為一種外力激勵平板，再求解平板和流體的耦合振動。在以上過程中忽略平板振動和聲輻射對湍流邊界層的影響，即認為湍流脈動壓力的激勵特性是相對獨立的參量，它與平板振動和聲場之間沒有耦合。

圖1 有限長四邊簡支平板及坐標參考系Fig.1 Finite plate and coordinate reference system

平板聲-流場-平板耦合振動的總控方程可寫成：

式中：D為平板的彎曲剛度，r為損耗因子，μ為平板單位面積的質(zhì)量。平板受到的三種壓力分別為：平板z<0表面的湍流邊界層脈動壓力；平板z<0表面的聲壓；平板z>0表面的聲壓pa。

平板振動引起的聲壓滿足波動方程：

流體與平板耦合面的連續(xù)性條件：

1.2 隨機激勵理論

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，湍流激勵下平板振動位移的表達式為：

式中：θ=t-t′，hw為平板振動位移的脈沖響應函數(shù)。

根據(jù)隨機激勵理論，湍流激勵下平板振動位移的互相關(guān)函數(shù)為：

（5）式進行時域-頻域的傅立葉變換，得湍流激勵下平板振動位移的互功率譜密度：

式中：Spp為湍流脈動壓力的互功率譜密度函數(shù)，Hw為平板振動位移的單頻響應函數(shù)。

根據(jù)Hw的物理含義可知：

（8）式表明：湍流激勵下平板振動速度的互功率譜密度的得到關(guān)鍵在于確定湍流脈動壓力的互功率譜密度函數(shù)和平板振動位移的單頻響應函數(shù)。

1.3 湍流脈動壓力的互功率譜密度

經(jīng)典的湍流脈動壓力模型首先由Corcos建立,脈動壓力在空間域上的互功率譜密度的表達式為：

式中：Φp（ω）為表面某一點脈動壓力的自功率譜密度（均方壓力譜密度）；ξ,η分別為沿來流方向和垂直來流方向的坐標分量，是空間兩點的相對距離；Uc為湍流邊界層在來流方向的遷移速度，實驗表明Uc=（0.6～0.8）U0。

文獻[3]給出了平板表面脈動壓力的自功率譜密度Φp（ω）的表達式：

式中：ν為流體的運動粘性系數(shù)，L為來流距離，f0為平板的遷移頻率。

（11）式表明：在ff0時，自功率譜密度與來流速度成正比，與頻率f3成反比。

平板的遷移頻率f0的表達式為：

（12）式表明：平板的遷移頻率f0隨著來流距離增大逐漸變小，隨著來流速度的提高逐漸變大。綜合（11）、（12）式可知：隨著流動的進行,遷移頻率變小，脈動壓力也隨之變??；隨著來流速度的提高，遷移頻率變大，脈動壓力也變大。

1.4 平板振動位移的單頻響應函數(shù)

1.5 平板振動速度的互功率譜密度

2 算法驗證

為了驗證解析法的正確性，以文獻[8]中的平板為例。平板的計算參數(shù)如下：

（1）板的幾何尺寸及物理參數(shù)

平板的幾何尺寸：a×b=3 ft×2 ft。平板的抗彎剛度D=3.56×103lb·ft，平板單位面積的質(zhì)量μ=0.317 lb-s2/ft3，結(jié)構(gòu)損耗因子r=0.01。

（2）流場的物理參數(shù)及流動參數(shù)

自由流動速度U0=17 ft/s，邊界層位移厚度δ=0.832 5 in。

（3）計算頻率

本文的計算頻率為1～273 Hz,間隔2 Hz；278～818 Hz，間隔5 Hz。

圖2中的169號節(jié)點〈坐標（x，y）=（a/2，b/2）〉和224號節(jié)點〈坐標（x，y）=（3a/4，b/2）〉在文獻[8]中已給出了計算結(jié)果，提取這兩個點的解析法結(jié)果與之進行對照，如圖2所示。

圖2 平板速度響應的自功率譜密度Fig.2 The power spectral density of plate velocity

解析法與文獻[8]中半解析半數(shù)值法計算結(jié)果對比可知，兩條曲線的趨勢基本一致，峰值位置基本吻合，峰值大小相近。圖2中兩條曲線整體的吻合程度表明解析法的可行性和正確性。解析法的誤差主要在于聲場與平板之間耦合項的處理及模態(tài)截斷；文獻[8]中半解析半數(shù)值法的誤差主要在于網(wǎng)格劃分及模態(tài)截斷。解析法計算單個頻率耗時16 s左右，而半解析半數(shù)值法計算單個時間耗時82 s左右，以上計算均是在主頻2.80 GHz、內(nèi)存8 GB的計算機上完成的。從上可知，解析法的優(yōu)勢是計算時間大大減少，且適合進行機理性研究和影響規(guī)律分析。

3 算例研究

3.1 計算參數(shù)

計算模型如圖1所示，其計算參數(shù)如下：

幾何尺寸：a×b=0.65 m×0.60 m，厚度h=0.005 m；

材料參數(shù)：泊松比ν=0.3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，密度ρs=7 800 kg/m3，結(jié)構(gòu)損耗因子η=0.01；

流場參數(shù)：流場介質(zhì)聲速cf=1 500 m/s，流場密度ρf=1 000 kg/m3；

來流速度：U0=6 kns/8 kns/13 kns，來流距離：L=1 m；

計算頻率：10-200 Hz，間隔1 Hz。

平板速度響應點：A點坐標為（a/2，b/2），B點坐標為（3a/4，b/2）。a為平板在來流方向的長度，b為平板在垂直來流方向的長度，如圖1所示。

3.2 來流速度對平板振動的影響

根據(jù)公式（11）、（12）可知，來流速度U0分別為6 kns、8 kns和13 kns時平板表面某一點的脈動壓力的自功率譜密度Φp與頻率f之間的關(guān)系如圖3所示，不同來流速度之間平板表面某一點的脈動壓力的自功率譜密度曲線之間的增量為（f0為遷移頻率）：

圖3 不同來流速度下平板表面某一點脈動壓力的自功率譜密度變化曲線Fig.3 The power spectral density curve of pulsating pressure at different stream velocity

分別計算來流速度U0為6 kns、8 kns和 13 kns時平板振動速度的自功率譜密度，計算結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，隨著來流速度的增大，平板各點振速的自功率譜密度和均方譜密度變大，并且在不同來流速度下平板振速的頻譜特性曲線變化趨勢基本是一致的。這主要是因為平板的速度響應取決于輸入，本文平板的輸入都是Corcos模型的互功率譜密度，圖3表明脈動壓力隨著來流速度的增大的變化趨勢是基本一致的，而平板的頻響函數(shù)與本身特性的相關(guān)是固定的，因此不同來流速度下平板振速的頻譜特性的趨勢是一致的。

圖4 不同來流速度下平板振動速度的對比Fig.4 The plate velocity at different stream velocity

表1 不同來流速度下平板的遷移頻率Tab.1 f0at different stream velocity

由（12）式可知，平板在不同來流速度下的遷移頻率如表1所示。

根據(jù)圖4和表1，利用公式（9）、（11）、（21），通過數(shù)值擬合計算可知，不同來流速度之間平板振動速度自功率譜密度的增量為：

式中：U1>U0，f0為遷移頻率。

為驗證其增量關(guān)系的正確性，將圖4（c）中來流速度為6 kns、8 kns的曲線根據(jù)增量關(guān)系分別偏移得到來流速度為7 kns的曲線，并與來流速度為7 kns時的直接計算結(jié)果對比，如圖5所示。

由圖5可知，兩種方法得到的曲線吻合得非常好，說明了不同來流速度之間平板振動速度自功率譜密度的增量關(guān)系是正確的。若已知某一來流速度下平板振速的自功率譜密度曲線，通過增量關(guān)系對其進行偏移，則可得到其他來流速度下平板振速的自功率譜密度曲線。

圖5 來流速度為7 kns時平板振動速度響應Fig.5 Plate velocity when U0=7 kns

3.3 計算結(jié)果分析

為了解湍流激勵下平板振速響應峰值點與平板固有特性之間的關(guān)系，以來流速度U0=6 kns時平板的振動速度的自功率譜密度曲線（如圖4所示）為例，進行以下相關(guān)研究。

根據(jù)（18）式編程利用掃頻計算求解得到水中平板前6階的固有頻率如表2所示。

取圖4（c）中平板各個振速峰值點對應的頻率可得湍流激勵下平板振速峰值點對應的頻率如表3所示。

表2 水中平板前6階固有頻率Tab.2 First 6 natural frequency of plate in water

表3 湍流激勵下平板振速峰值點對應的頻率Tab.3 Frequency of the plate velocity corresponding to the peak point

圖6 各個峰值點對應頻率的速度響應云圖Fig.6 The velocity contour corresponding to the frequency of the peak point

利用matlab編程對計算結(jié)果進行可視化處理，得到圖4（c）中湍流激勵下平板振速響應曲線各個峰值點對應頻率的振動速度響應云圖如圖6所示。

綜合表2、表3和圖6可知，湍流激勵下平板振速的峰值點對應的頻率在水中平板的固有頻率附近，且峰值點對應頻率的振動速度響應云圖與固有模態(tài)一致，表明湍流激勵下平板的振動特性體現(xiàn)了平板本身的固有特性。

4 結(jié) 論

本文解析法采用湍流脈動壓力的Corcos模型作為輸入，結(jié)合考慮流固耦合時平板的單頻響應函數(shù)，求解出平板振動響應的自功率譜密度。解析法計算結(jié)果同已有文獻吻合較好，證明了本文解析法的正確性。本文方法相對于數(shù)值法來說計算時間大大減少，且適合進行機理性研究。研究結(jié)果表明湍流激勵下平板振動特性體現(xiàn)了平板本身的固有特性。本文還對來流速度對湍流激勵下平板振動特性的影響進行了研究，得出了以下結(jié)論：隨著來流速度的增大，平板的振動越發(fā)劇烈；不同來流速度之間平板振動速度自功率譜密度的增量為：，式中：U1>U0，f0為遷移頻率。

[1]Corcos G M.The resolution of turbulent pressure at the wall of a boundary layer[J].JSV,1967,6(1):59-70.

[2]Kraichnan R H.Pressure fluctuation in turbulent flow over a flat plate[J].JASA,1956,28(3):378-390.

[3]Skudrzyk E J,Haddle G P.Noise production in a turbulent boundary layer by smooth and rough surface[J].JASA,1960,32 (1):19-34.

[4]Strawderman W A.Turbulence induced plate vibration:Some effects of fluid loading on finite and infinite plates[J].JASA, 1972,52(2):1537-1552.

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Analytical method for calculating the vibration characteristics of simple-supported plate excited by turbulent boundary layer

CHEN Mei-xia,LUO Qi,WEI Jian-hui
(College of Naval Architecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)

An analytical method based on random excitation theory,the power spectra density expression of the excitation caused by turbulent boundary layer given by Corcos as input,combined with the frequency response function considering fluid-structure interaction,the power spectral density of the plate velocity is calculated.The calculated results are in good agreement with references,proving the correctness of the analytical method.The research results show that the vibration characteristics of the plate excited by turbulent boundary layer reflects the inherent characteristics of the plate itself;the mean square spectral density of the plate's velocity becomes higher as the stream velocity becomes higher.

turbulent boundary layer;random excitation theory;vibration characteristic;analytical method

O357

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2016.04.013

1007-7294（2016）04-0487-10

2015-07-03

國家自然科學基金資助項目（51179071）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費資助，HUST（2012QN056）

陳美霞（1975-），女，副教授；羅 琦（1988-），男，碩士，通訊作者，E-mail:lqymydtt@163.com。