立體幾何中的萬能公式

◇ 甘肅 趙正委

(作者單位：甘肅省慶陽長慶中學(xué))

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立體幾何中的萬能公式

◇ 甘肅 趙正委

立體幾何是絕大多數(shù)學(xué)生難啃的“硬骨頭”,其空間概念的建立，點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷,讓很多學(xué)生望而卻步．但是,只要在老師的指導(dǎo)下,學(xué)會類比、歸納,將知識化成塊,將題型分成類,逐塊擊破,逐類消化,立體幾何問題就不再可怕了．

多年來,高考對線線角、線面角、面面角,以及線線距離、線面距離的考查一直是重點(diǎn),而且涉及到的題目都有一定的難度．下面給出一個(gè)重要公式,它可以幫助我們解決幾類幾何計(jì)算問題．

圖1

|a|=m,|b|=d,|c|=n,

a與c所成角為γ(θ=γ或θ=π-γ),且

a·b=mdcosα,b·c=-dncosβ,a·c=ancosγ.

圖2

下面是人教版高中數(shù)學(xué)《選修2-1》中一組形異質(zhì)同的題目.

此為異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式.

圖3

圖4

此為異面直線間距離公式.

圖5

此為求二面角的平面角計(jì)算公式.

圖6

此為求異面直線所成的角(也是求直線與平面所成的角)計(jì)算公式.

圖7

所以線段BD與平面α所成的角為30°.

此為另一個(gè)求異面直線所成角的計(jì)算公式.

圖8

所以這條線段與這個(gè)二面角的棱所成角的大小為45°.

文中開始給出的公式稱為“萬能”,一點(diǎn)都不為過,它的用途非常廣,將空間中線、面之間所成的角及距離問題一網(wǎng)打盡,雖然文章以解決教材中的問題為例來探究,但這只是它廣泛用途的很小部分．此文意在拋磚引玉,研究教材,吃透教材,方可駕馭教材,新課改需要徹底改變教與學(xué)的方式,但教的背后鉆研教材、整合教學(xué)內(nèi)容、確保高效教學(xué)更需要堅(jiān)守．

(作者單位：甘肅省慶陽長慶中學(xué))