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      淺談分類討論思想在中學數學中的應用

      2016-04-29 00:00:00何昌云
      新課程·下旬 2016年5期

      摘 要:分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數學思想,這種思想在簡化研究對象、發(fā)展思維方面起著重要作用,因此,有關分類討論的思想的數學命題在高考試題中占有重要地位.

      關鍵詞:分類討論思想;中學數學;應用

      所謂分類討論,就是在研究和解決數學問題時,當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究,我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點,將對象區(qū)分為不同種類,然后逐類進行研究和解決,最后綜合各類結果得到整個問題的解決,這一思想方法,我們稱之為“分類討論的思想”.下面分析一下分類討論思想在中學數學中的應用.

      一、分類討論思想在集合中的應用

      例1.設A={[x] -2≤x≤a},B={[y] y=2x+3,x∈A},C={[z] z=x2,x∈A},且C?B,求實數a的取值范圍。

      解∵A={[x] -2≤x≤a},

      ∴B={[y] y=2x+3,x∈A}

      ={[y] -1≤y≤2a+3}.

      (1)當-2≤a≤0時,C={[z] a2≤z≤4},因為C?B,所以4≤2a+3,解得a≥,

      與-2≤a≤0矛盾.

      (2)當0

      解得a≥,

      故≤a≤2.

      (3)當a>2時,C={[z] 0≤z≤a2},因為C?B,所以a2≤2a+3,

      解得-1≤a≤3,

      故2

      綜上可得[a]

      ≤a≤3.

      二、分類討論思想在函數中的應用

      例2.已知函數f(x)=2x2-2ax+3在區(qū)間[-1,1]上有最小值,記作g(a),求g(a)的函數表達式.

      解:原式配方得y=2(x-)2+3-,

      其對稱軸方程為x=,

      (1)當≤-1時,即a≤-2時,y在[-1,1]上遞增,

      在x=-1時,g(a)=2a+5;

      (2)當-1<<1時,即-2

      在x=處有最小值,g(a)=3-;

      (3)當≥1即a≥2時,y在[-1,1]上單調遞減,

      在x=1時,g(a)=5-2a;

      綜上所述可得g(a)=2a+5,(a≤-2)

      3-

      (-2

      5-2a,(a≥2).

      三、分類討論思想在不等式中的應用

      例3.解關于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.

      解:(1)當0a2,不等式的解集為{[x] xa};

      (2)當a=0時,a=a2,不等式解集為{[x] x∈R且x≠0};

      (3)當a≠1時,a=a2,不等式解集為{[x] x∈R且x≠1};

      (4)當a>1或a<0時,a

      四、分類討論思想在排列組合中的應用

      例4.在正方體的頂點中,12條棱的中點,6個面的中心及正方體的中心共27個點中,共線的三點組的個數是多少?

      解:依題意,共線的三點組可以分為三類:

      (1)兩端點皆為頂點的共線三點組,共有=28(個);

      (2)兩端點皆為面的中心的共線三點組,共有=3(個);

      (3)兩端點皆為各棱中點的共線三點組,共有=18(個)

      所以總共有28+3+18=49(個)。

      五、分類討論思想在數列中的應用

      例5.已知數列1,2x,3x2,4x2,……,求它的前n項和.

      分析:本題未指明數列為等比數列,所以分類討論時還要考慮x=0這一情況.

      解:設Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,

      (1)當x=0時,Sn=1;

      (2)當x=1時,Sn=1+2+3+…+n=;

      (3)當x≠0且x≠1時,

      由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,

      得xSn=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxn,

      兩式相減:

      (1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=-nxn,

      ∴Sn=.

      綜上所述:

      Sn=1,(x=0)

      (x=1)

      ,(x≠0且x≠1).

      通過探討分類討論思想在中學數學中集合、函數、不等式,排列組合等中的應用,我們應用正確的分類討論思想,對不同情況進行分類研究,使問題化整為零,各個擊破,再積零為整,從而使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.所以,在教學中教師應該滲透分類討論的思想,讓學生充分感受并掌握這種思想.

      參考文獻:

      [1]郭可銀.談分類討論思想方法在解題中的應用:高中版[M].高等教育出版社,2005-04.

      [2]劉文武.中學數學中重要的數學思想:分類討論思想[M].科學出版社,2003-11.

      編輯 薄躍華

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