摘 要:利用二維正態(tài)分布定義中的一個(gè)基本事實(shí),簡(jiǎn)單地說明了兩個(gè)正態(tài)分布的聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布,指出了教材中一個(gè)性質(zhì)的不足之處。
關(guān)鍵詞:二維正態(tài)分布;相關(guān)系數(shù);數(shù)學(xué)問題
眾所周知,二維正態(tài)分布是概率論中非常重要的一種分布,其性質(zhì)也是很重要的,但很多教材在討論兩個(gè)正態(tài)分布的聯(lián)合分布是不是二維正態(tài)分布這個(gè)問題時(shí),要么就是說得不是很清楚,要么就是沒有給出例子,要么就是給出的例子比較復(fù)雜,其實(shí)只要注意到二維正態(tài)分布定義中的一個(gè)基本事實(shí),這個(gè)問題就可以說得很清楚。
首先,給出二維正態(tài)分布的定義:如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為:
其中μ1,μ2,σ1,σ2,ρ均為參數(shù),且σ1>0,σ2>0,ρ<1,則稱(X,Y)服從參數(shù)為μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二維正態(tài)分布,記作(X,Y)(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)。
經(jīng)過討論,發(fā)現(xiàn)如果(X,Y)服從二維正態(tài)分布,那么兩個(gè)分量X,Y都服從一維正態(tài)分布,而且參數(shù)ρ就是兩個(gè)分量X,Y的相關(guān)系數(shù),它是不能等于1和-1的,也就是說(X,Y)服從二維正態(tài)分布的前提是:兩個(gè)分量X,Y是正態(tài)分布,而且它們的相關(guān)系數(shù)不是1和-1。
如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的兩個(gè)分量X,Y是同一正態(tài)分布,都是X,那么(X,Y)就不服從二維正態(tài)分布,因?yàn)閮蓚€(gè)分量的相關(guān)系數(shù)是1。這樣我們就很容易解釋,為什么兩個(gè)分量是正態(tài)分布,但它們的聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布。
另外,一些教材中往往給出二維正態(tài)分布的這樣一個(gè)性質(zhì):
性質(zhì):若(X,Y)服從參數(shù)為μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二維正態(tài)分布,那么(aX+bY,cX+dY)服從二維正態(tài)分布。
我覺得這個(gè)性質(zhì)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,比如a=c=1,b=d=0這時(shí)(aX+bY,cX+dY)為(X,X),兩個(gè)分量的相關(guān)系數(shù)為1,(X,X)就不服從二維正態(tài)分布。更一般的,如果a b
c d=0,那么(aX+bY,cX+dY)的兩個(gè)分量aX+bY和cX+dY成比例,其相關(guān)系數(shù)為1或-1,(aX+bY,cX+dY)就不服從二維正態(tài)分布。應(yīng)該再加一個(gè)前提,就是行列式a b
c d不等于0,就可以利用二維正態(tài)分布的定義證明(aX+bY,cX+dY)服從二維正態(tài)分布,這樣就沒有問題了。
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