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    動(dòng)態(tài)規(guī)劃案例教學(xué)設(shè)計(jì)

    2016-04-29 00:00:00劉光霆蔡萬銘沈鑫向朝參
    大學(xué)教育 2016年1期

    [摘 要]在運(yùn)籌學(xué)的分支體系中,動(dòng)態(tài)規(guī)劃因其應(yīng)用的廣泛性而占有十分重要的地位。針對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃教學(xué)中的難點(diǎn),可以以最短路問題為引例,以大家耳熟能詳?shù)拿Q對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的基本概念進(jìn)行闡釋,并對(duì)最優(yōu)性原理、無記憶性與記憶性進(jìn)行比較系統(tǒng)的闡述,指出最優(yōu)性原理表現(xiàn)在最短路問題中即是“最短路徑的子路徑必然是最短的”。最后,還可以以最短路分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解時(shí)常用的“空間換時(shí)間”策略。

    [關(guān)鍵詞]動(dòng)態(tài)規(guī)劃;最優(yōu)性原理;無記憶性;記憶性

    [中圖分類號(hào)] TP399 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437(2016)01-0108-02

    在運(yùn)籌學(xué)的分支體系中,動(dòng)態(tài)規(guī)劃因其應(yīng)用的廣泛性而占有十分重要的地位。但動(dòng)態(tài)規(guī)劃僅僅是解決某類特殊的多階段決策問題的一種方法,不具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型和算法步驟[1],而且概念多,因此學(xué)生普遍反應(yīng)“動(dòng)態(tài)規(guī)劃真的有用但確實(shí)難學(xué)”。本文以最短路問題為案例,對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃相關(guān)概念、最優(yōu)性原理、無記憶性等進(jìn)行了闡釋。

    一、案例的選擇

    可用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的問題很多,如最短路、資源分配、生產(chǎn)與存儲(chǔ)等,而最短路問題因其空間特征明顯,易于劃分階段、易于描述每階段開始和結(jié)束時(shí)的狀態(tài),以及在每個(gè)狀態(tài)之下做出的決策、每次決策產(chǎn)生的決策指標(biāo)值等,因此,對(duì)初學(xué)者而言,最易接受和理解的例子還是最短路問題。本文以最短路問題作為引例,幫助學(xué)生們理解和掌握動(dòng)態(tài)規(guī)劃的相關(guān)概念及基本方程、最優(yōu)性原理等。

    二、相關(guān)概念的解釋

    動(dòng)態(tài)規(guī)劃相關(guān)概念繁多,從階段、狀態(tài)開始,到過程指標(biāo)函數(shù),剛接觸時(shí),不少學(xué)生感到一頭霧水,十分茫然。而借助于最短路問題,將動(dòng)態(tài)規(guī)劃的相關(guān)概念與最短路問題中大家耳熟能詳?shù)拿Q相對(duì)應(yīng),則十分有助于學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本概念的把握。相關(guān)概念具體對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。

    從上表可知,動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本概念在最短路問題中都可找到與之對(duì)應(yīng)的解釋,非常有助于學(xué)生掌握動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的實(shí)質(zhì)。

    三、最優(yōu)性原理的解釋

    教材[1]對(duì)最優(yōu)性原理作了如下表述:無論過去的決策和狀態(tài)如何,對(duì)前面的決策所形成的當(dāng)前狀態(tài)而言,余下的決策序列必須構(gòu)成最優(yōu)策略,即最優(yōu)策略的子策略總是最優(yōu)的。

    對(duì)最優(yōu)性原理,部分學(xué)生將其理解為:組成最優(yōu)策略的決策必須是最優(yōu)的。產(chǎn)生這種誤解的原因是將決策與策略相混淆。在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中,決策指的是在某種狀態(tài)下作出的一種選擇,是一種瞬時(shí)行為。決策無優(yōu)劣之分,每一步?jīng)Q策會(huì)產(chǎn)生一個(gè)決策指標(biāo)值rk(Sk,Xk),它只是說明本次決策產(chǎn)生的益損值;而策略是由一系列決策所組成,策略是決策的集合,策略有優(yōu)劣之分,度量策略優(yōu)劣的數(shù)量指標(biāo)值就是指標(biāo)函數(shù)值fk(Sk)。一般而言,指標(biāo)函數(shù)值是決策指標(biāo)值的和或積的形式,即

    fk(Sk)=opt(rj(Sj,Xj))或fk(Sk)=opt(rj(Sj,Xj))。

    因此,單步?jīng)Q策的最優(yōu)化一般不可能產(chǎn)生全策略的最優(yōu)化,而子策略的最優(yōu)化必將導(dǎo)致全策略的最優(yōu)化,這可由下面的Bellman方程看出。

    fk(Sk)=opt(rk(Sk,Xk)?茌fk+1(Sk+1))fn+1(Sn+1)=0或1

    Bellman方程可作如下解釋:第K步子策略的最優(yōu)性是由第K步的決策(注意:不是第K步的最優(yōu)決策)與第K+1步的最優(yōu)子策略產(chǎn)生的,即K+1步子策略的最優(yōu)性必將導(dǎo)致K步子策略的最優(yōu)性,K步子策略的最優(yōu)性必將導(dǎo)致K-1步子策略的最優(yōu)性,依此類推,直至1步子策略即全過程策略的最優(yōu)性。

    現(xiàn)在,再結(jié)合最短路問題來分析最優(yōu)性原理。生活中的常識(shí)告訴我們,最短路有一個(gè)重要特性:如果由起點(diǎn)A經(jīng)過H點(diǎn)和P點(diǎn)而到達(dá)終點(diǎn)T是一條最短路線,則由點(diǎn)H出發(fā)經(jīng)過P點(diǎn)而到達(dá)終點(diǎn)T的這條子路線,對(duì)于從點(diǎn)H出發(fā)到達(dá)終點(diǎn)T的所有可能選擇的不同路線來說,必定也是最短路線。此特性用反證法易證。因?yàn)槿绻皇沁@樣,則從點(diǎn)H到T點(diǎn)有另一條距離更短的路線存在,把它和原來最短路線由A點(diǎn)到達(dá)H點(diǎn)的那部分連接起來,就會(huì)得到一條由A點(diǎn)到終點(diǎn)T的新路線,它比原來那條最短路線的距離還要短。這與假設(shè)矛盾,是不可能的。

    因此,借助最短路徑問題的相關(guān)常識(shí),最優(yōu)性原理可表述為:最短路徑的子路徑必然是最短的。

    四、無記憶性與記憶性

    在動(dòng)態(tài)規(guī)劃一章中,教師經(jīng)常會(huì)提到“無記憶性”與“記憶性”兩個(gè)看似完全矛盾的概念,不少學(xué)生也感到十分茫然。其實(shí),這兩個(gè)概念在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中得到了完美的統(tǒng)一。

    “無記憶性”指的是可用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解的多階段決策問題,在劃分階段時(shí),狀態(tài)必須滿足的一個(gè)特性,也稱為無后效性或馬爾科夫性。其實(shí)質(zhì)是:某階段的狀態(tài)一旦確定,則此后過程的演變不再受此前各狀態(tài)及決策的影響。即“未來與過去無關(guān)”,當(dāng)前的狀態(tài)是此前歷史的一個(gè)完整總結(jié),此前的歷史只能通過當(dāng)前的狀態(tài)去影響過程未來的演變。[1]

    “記性性”指的是用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解多階段決策問題時(shí)(以逆序?yàn)槔瑸榍蟮玫贙步最優(yōu)子策略fk(Sk),必須先計(jì)算出從第K+1階段的各狀態(tài)出發(fā)所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)子策略fk+1(Sk+1),并由第K+1步的最優(yōu)子策略fk+1(Sk+1)去求取第K步最優(yōu)子策略fk(Sk)。這些后續(xù)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)子策略實(shí)際上構(gòu)成了一張查找表(Lookup Table)。[3]為更好地理解無記憶性與記憶性,仍以最短路問題為例進(jìn)行說明。

    假設(shè)有一個(gè)可分為10個(gè)階段的最短路問題,每階段有10個(gè)狀態(tài)可供選擇?!盁o記憶性”指的是當(dāng)游客在第k階段處于狀態(tài)Sk時(shí),則該游客從Sk出發(fā)到終點(diǎn)的最短路徑(K步最優(yōu)子策略)只與Sk相關(guān),而與Sk之前的狀態(tài)、決策無任何關(guān)系。

    “記憶性”指的是當(dāng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解最短路問題時(shí),第K步最優(yōu)子策略是由第K步的決策和第K+1步的最優(yōu)子策略共同決定的,而第K+1步的最優(yōu)子策略已在之前求出并存放于內(nèi)存之中,這就是記憶性。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的記憶性可節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間,但會(huì)占用較多的計(jì)算機(jī)內(nèi)存,即常用的“空間換時(shí)間”策略。

    以上題為例,10個(gè)階段每階段10個(gè)狀態(tài)的最短路問題,如果采用窮舉法,則需要計(jì)算的路徑條數(shù)(相當(dāng)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的全策略)為109條,每條路徑需要進(jìn)行10次加法運(yùn)算;在109條路徑中找出最短路徑需要進(jìn)行109-1次比較運(yùn)算,則總的基本運(yùn)算是11*109-1次。

    而采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法時(shí),每階段的每個(gè)狀態(tài)需要進(jìn)行10次加法運(yùn)算和9次比較運(yùn)算,則總的基本運(yùn)算次數(shù)為1539次(其中加法運(yùn)算810次,比較運(yùn)算729次),和窮舉法比較可節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間。

    從該例題的分析可知,一個(gè)多階段決策問題之所以可采用有“記憶性”的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解,恰恰是因?yàn)樵搯栴}在劃分階段時(shí),各階段的自然特征(即狀態(tài))滿足“無記憶性”。因此,我們說,“記憶性”與“無記憶性”在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中得到了完美的統(tǒng)一。

    五、結(jié)束語

    經(jīng)教學(xué)實(shí)踐證明,在動(dòng)態(tài)規(guī)劃教學(xué)中以最短路為引例,有利于學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃相關(guān)概念的理解,尤其有利于學(xué)生掌握最優(yōu)性原理和無記憶性、記憶性這些晦澀難懂的原理與性質(zhì),為學(xué)生學(xué)好、用好動(dòng)態(tài)規(guī)劃打下了良好基礎(chǔ)。

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)教程(第四版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2012:191-232.

    [2] Bellman R. E.Dynamical Programming[M].普林斯頓大學(xué)出版社,1957:58-92.

    [3] Hamdy A. Taha. Operations Research:An introduction(第8版)[M].北京:人民郵電出版社,2008:744-754.

    [4] 《運(yùn)籌學(xué)》教材編寫組.運(yùn)籌學(xué)(第三版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005:194-215.

    [5] 韓伯棠.管理運(yùn)籌學(xué)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005:256-262.

    [責(zé)任編輯:王 品]

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