構(gòu)造孤子解的新算法及其實(shí)現(xiàn)

趙文強(qiáng)　柳銀萍

摘要：結(jié)合Painlev6分析，進(jìn)一步改進(jìn)了簡(jiǎn)單Hirota方法。改進(jìn)后的算法能夠適用于更多方程和方程組?；谠摲椒?，在符號(hào)計(jì)算軟件Maple平臺(tái)下研發(fā)了軟件ZASP，將新方法求解非線性演化方程的過程自動(dòng)化。通過若干應(yīng)用實(shí)例，介紹了ZASP的使用，也驗(yàn)證了ZASP作為研究非線性演化方程工具的有效性。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)單Hirota方法；非線性演化方程；孤子解

0.引言

Hjrota方法是構(gòu)造非線性演化方程精確解的一種直接代數(shù)方法，它由日本數(shù)學(xué)家Hirota于1971年提出，由于其思路簡(jiǎn)潔，獲得了廣泛的應(yīng)用，先后被許多學(xué)者進(jìn)一步推廣和發(fā)展。1979年，satsuma和Ablowitz利用該方法求出了KP（Kadomtsev-Petviashvili）方程的Lump解；隨后Nakamura基于該方法求出了非線性連續(xù)孤子方程的擬周期解；1981年，Hirota和Ito應(yīng)用該方法獲得了孤子方程的共振解；1990年，Hietarinta和Hirota基于該方法獲得了Davey-Stewartson方程的Multidromion解；1991年，Hereman等人對(duì)Hirota方法構(gòu)造精確解的過程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，提出了簡(jiǎn)單Hirota方法，Wazwaz等人對(duì)簡(jiǎn)單Hirota方法進(jìn)行了推廣應(yīng)用；1997年，Lambert等將Bell多項(xiàng)式與Hirota方法結(jié)合起來，擴(kuò)展了Hirota方法的應(yīng)用范圍，F(xiàn)an對(duì)該結(jié)合算法做了進(jìn)一步的推廣；胡星標(biāo)、Hu對(duì)Hirota方法做了許多有意義的工作，如利用Hirota方法構(gòu)造帶源方程的孤子解，進(jìn)而將多孤子解表示為Wronskian行列式或Pfaff形式，后續(xù)進(jìn)一步結(jié)合運(yùn)用Hirota法、Wronski行列式和Pfaff技巧、屠格式等，對(duì)一些離散和高維連續(xù)可積系統(tǒng)的可積性質(zhì)和代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究；Chen和Zhang等推廣了Hirota方法，將該方法應(yīng)用到連續(xù)和離散系統(tǒng)中，求得了很多非線性系統(tǒng)的多孤子解和非線性疊加公式。

隨著計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的不斷發(fā)展，一些基于Hirota方法的軟件也相繼誕生，李志斌、周振江在Maplell下實(shí)現(xiàn)了Hirota方法，其中的軟件包Bilinearization針對(duì)給定的變換可自動(dòng)推導(dǎo)出所輸入方程可能的雙線性導(dǎo)數(shù)方程，進(jìn)而由軟件包Multisoliton自動(dòng)推導(dǎo)出雙線性導(dǎo)數(shù)方程可能的單孤子、雙孤子和三孤子解等；隨后柳銀萍、張麗基于Hereman，Wazwaz的工作對(duì)簡(jiǎn)單Hirota方法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)；楊云青等基于Bell多項(xiàng)式和Hirota方法實(shí)現(xiàn)了KdV類和mKdV類方程孤子解的自動(dòng)推導(dǎo)。這些軟件的成功研制為非線性演化方程的研究提供了有效工具。

需要說明的是，將原方程轉(zhuǎn)化為雙線性方程是Hirota方法中的一個(gè)關(guān)鍵步驟，由雙線性方程可進(jìn)一步獲得很好的副產(chǎn)品，如雙線性Backlund變換、非線性疊加公式等。然而該步驟的實(shí)現(xiàn)依賴于某一特定的勢(shì)函數(shù)變換，而該變換的獲得沒有統(tǒng)一的方法。再說了，一個(gè)非線性演化方程不一定能轉(zhuǎn)化成雙線性方程。簡(jiǎn)單Hirota方法是繞過了傳統(tǒng)Hirota方法中雙線性化的步驟，不僅降低了計(jì)算難度，提高了計(jì)算效率，更重要的是可以對(duì)不存在雙線性形式或者雙線性形式未知的方程進(jìn)行求解。目前，簡(jiǎn)單Hirota方法可以求解大多數(shù)傳統(tǒng)Hirota方法能夠求解的方程，但仍有部分方程無法使用簡(jiǎn)單Hirota方法求解，如包含三角函數(shù)的微分方程。本文進(jìn)一步改進(jìn)了簡(jiǎn)單Hirota方法的求解過程，改進(jìn)后的算法能適用于更廣泛的方程。甚至對(duì)某些方程，利用本文的方法無需知道變換也能求解。本文工作是柳銀萍、張麗工作的進(jìn)一步推廣和延伸，所采用的變換類型更豐富。柳銀萍、張麗研發(fā)的軟件SHM只能適用于單個(gè)方程，本文研發(fā)的軟件可適用于方程和方程組。另外，本文的算法和軟件都是基于Painleve分析（本文簡(jiǎn)稱P分析）和改進(jìn)后的簡(jiǎn)單Hirota方法，對(duì)于存在對(duì)數(shù)變換的方程或方程組，新算法可通過P分析得到變換。對(duì)于無法由P分析獲得變換的方程或方程組，可基于已知的變換利用新算法求解。由此可知本文研發(fā)的軟件較以往軟件自動(dòng)化程度更高。