小波和S-G的改進算法及混沌降噪應(yīng)用

位秀雷, 林瑞霖, 劉樹勇, 許偉

(海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

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小波和S-G的改進算法及混沌降噪應(yīng)用

位秀雷, 林瑞霖, 劉樹勇, 許偉

(海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

摘要：為降低混沌信號中常見的白噪聲及脈沖噪聲，提出了改進的小波閾值降噪與S-G(Savitzky-Golay)濾波相結(jié)合的方法。小波基函數(shù)和分解層數(shù)對降噪效果有著重要影響，為取得更好的降噪效果，采用逐層確定最優(yōu)基小波和分解層數(shù)自適應(yīng)確定方法，并給出了各層閾值的選取方法，最后將改進的加權(quán)法應(yīng)用于S-G小波去噪方法以恢復(fù)高頻分量中部分有用信號。利用該方法對Lorenz混沌時間序列及實測機械式混沌振動信號進行了去噪研究，結(jié)果表明所提方法能將混沌信號信噪比提高近1 dB，自相關(guān)函數(shù)值提高0.01，是一種有效的混沌信號降噪新方法。

關(guān)鍵詞：混沌信號；小波降噪；分解層數(shù)；最優(yōu)小波；Savitzky-Golay濾波

混沌是非線性科學(xué)研究的重要課題，國內(nèi)外學(xué)者圍繞混沌的應(yīng)用、控制和識別等問題開展了廣泛的研究[1]。但是，由于受到測量工具以及外界環(huán)境等影響，實際采集到的混沌信號不可避免地混有噪聲，掩蓋了混沌信號的真實動力學(xué)行為，并且混沌復(fù)雜的動力學(xué)行為使其具有功率譜寬帶性和似噪聲性，其頻帶與疊加的噪聲頻帶往往全部或部分重疊，傳統(tǒng)的線性降噪方法很難實現(xiàn)有效濾波，甚至?xí)乐赝崆蓛舻幕煦缧盘朳2]。

小波變換具有時頻局部化、多分辨率、解相關(guān)等特點，因而被廣泛應(yīng)用在信號降噪等領(lǐng)域[3]。其中，小波閾值去噪方法[4]由于實現(xiàn)簡單、計算量小等特點，應(yīng)用最為廣泛。但小波閾值去噪方法雖能夠有效地去除混沌信號中的白噪聲，卻對脈沖噪聲的抑制效果不明顯[5]，并且利用小波閾值去噪時需考慮以下三方面的影響：最優(yōu)小波基函數(shù)的選取，小波分解層數(shù)的確定，閾值函數(shù)的確定。在小波基選取問題上，大部分方法需要信號的先驗信息，并易忽視信號與小波基的相似性[6-9];針對分解層數(shù)的確定，最常用的方法是基于高頻分量的噪聲分布檢驗，然而去相關(guān)白化檢驗對大樣本事件比較適用，小波系數(shù)的個數(shù)Nj=N/2j隨分解層數(shù)成指數(shù)下降，故高尺度的小波系數(shù)數(shù)量達不到精度的最低要求，會直接影響對總體的正確判斷[10]。

結(jié)合以上，本文從小波基函數(shù)、分解層數(shù)和閾值處理三方面對原始的小波降噪方法進行改進，并建立改進小波和S-G混合降噪模型。利用所提方法對含噪聲的Lorenz混沌時間序列及實測機械式混沌振動信號進行了去噪分析，結(jié)果表明所提方法能非常有效地濾除混沌信號中的白噪聲和脈沖噪聲。

1小波去噪及改進方法

1.1小波去噪方法

混沌信號去噪的目的是從含噪信號x(t)中提取干凈信號s(t)，設(shè)x(t)=s(t)+w(t)，w(t)為噪聲信號。

小波變換是一種線性變換，因此含噪信號x(t)經(jīng)小波分解后的小波系數(shù)模型可以表示為

(1)

式中：x(i)、s(i)、w(i)分別為含噪信號、干凈信號以及噪聲信號的小波系數(shù)。

小波閾值去噪算法的主要思想是：在不同小波分解尺度上選擇一個合適的閾值，絕對值小于該閾值的小波系數(shù)認為是噪聲引起的，將其置零，而絕對值大于該閾值的認為是由信號引起的，予以保留，通過閾值函數(shù)的映射，得到小波系數(shù)的估計，最后利用二進離散小波逆變換，對保留的小波系數(shù)進行重構(gòu)達到去噪目的。

1.2最優(yōu)小波函數(shù)的選取

小波熵是小波變換與表達系統(tǒng)復(fù)雜度信息熵理論融合的產(chǎn)物，能夠?qū)r頻域上能量分布特性進行定量描述?？梢远攘肯到y(tǒng)的未知程度，因而特別適用于混沌系統(tǒng)未知的情況，實際應(yīng)用性強[11]。為了能同時兼顧第j層近似信號的能量損失最小，本文將小波變換和能量對數(shù)熵進行融合，以第j層和第j-1層近似信號的小波能量對數(shù)熵Ej(ψX)絕對值比值最大為依據(jù)，選擇最優(yōu)小波基。

由于第j層小波分解近似信號小波能量對數(shù)熵Ej(ψX)是用其小波系數(shù)計算，這需要考慮第一層最優(yōu)小波基的選擇問題。根據(jù)能量守恒性質(zhì)有[12]

(2)

因此，原始信號X的能量對數(shù)熵可表示為

(3)

式中：xi為原始信號第i分量，N為信號長度。

尺度j下的小波低頻分量的能量對數(shù)熵Ej為

(4)

式中：aij為尺度j下的第i個小波低頻分量的小波系數(shù)，n為低頻分量長度。

第j層近似信號的小波能量對數(shù)熵Ej和第j-1層近似信號小波能量對數(shù)熵Ej-1的絕對值比值可以表示為

(5)

式中：J為分解總層數(shù)。

由于小波基函數(shù)種類繁多，經(jīng)過大量仿真實驗分析，混沌信號經(jīng)小波分解需滿足精確重構(gòu)、能量集中、局部化能力強和計算復(fù)雜程度低等要求，因此選用正交緊支集函數(shù)Daubechies(dbN)和Symlets(symN)小波函數(shù)庫為選擇對象，以提高最優(yōu)小波基的選擇速度。為了克服傳統(tǒng)單一選擇小波基處理復(fù)雜信號的局限性，本文利用逐層確定最優(yōu)小波的方法，即從一簇小波中選取各層最優(yōu)的小波，以達到自適應(yīng)選擇最佳小波基函數(shù)的目的。

1.3小波分解層數(shù)的確定

文獻[13]指出：含噪信號經(jīng)小波分解，隨分解尺度的增加，有用信號的小波系數(shù)增大，噪聲的小波系數(shù)減小。因此當有用信號在高頻分量中占主要成分時，其樣本極差會發(fā)生躍變，此時高頻分量中信號的小波系數(shù)高能量、高幅值的特性顯現(xiàn)出來，并且隨著小波分解層數(shù)的增加越發(fā)明顯。為了盡可能保留高頻分量中有用信號的特征，所以選擇發(fā)生躍變點為最佳分解層數(shù)。

設(shè)Xj=(x1，x2，…，xn)是j尺度高頻分量的小波系數(shù)樣本，則其樣本極差可以表示為

(6)

由式(6)可以看出，樣本極差的觀測值是樣本中最大值和最小值之差，是反映觀測值分散程度的數(shù)量指標。在機械振動信號采集過程中，通常受到脈沖噪聲的干擾，而脈沖噪聲的小波系數(shù)較大，會直接影響高頻分量極差的計算。為了減小這種不確定干擾，對j尺度高頻分量的小波系數(shù)進行排序，求最大的k個分量和最小的k分量的均值，記為xmax、xmin，根據(jù)大量仿真實驗分析，k值不宜過大，否則樣本極差曲線經(jīng)過平均處理后為一條接近于零的直線。則樣本極差可以表示為

(7)

1.4閾值量化處理

S-G濾波算法是一種移動窗口的加權(quán)平均算法，其加權(quán)系數(shù)是通過在移動窗口內(nèi)對給定高階多項式的最小二乘擬合得出[14]。對于信號{x1，x2，…，xn}，點xi的光滑數(shù)值gi是由xi附近固定個數(shù)的點通過多項式擬合得出。用nl、nr分別表示xi左邊、右邊點的個數(shù)，pi(x)表示相對于點xi的一個M次多項式，用其在最小二乘意義下擬合nl+nr+1個點，因此

(8)

假設(shè)橫坐標xi具有xi+1-xi≡Δx的均勻間距。設(shè)實測數(shù)據(jù)為yi，為了使用pi(x)擬合測試數(shù)據(jù)，必須定義系數(shù)bm，使下式達到最優(yōu)：

(9)

由于S-G平滑濾波算法可以有效平滑信號中的脈沖噪聲[15]，因此，本文利用S-G平滑濾波算法對第1～J尺度的高頻系數(shù)進行平滑處理，以降低高頻系數(shù)中的脈沖噪聲。然而，S-G平滑濾波算法在去除高頻系數(shù)的脈沖噪聲的同時也會導(dǎo)致高頻系數(shù)中部分有用信號的流失。文獻[16]提出了對高頻系數(shù)做加權(quán)處理的方法，可以減少部分有用信號細節(jié)的流失，為了更合理地降低脈沖噪聲和白噪聲，本文利用噪聲分量隨分解層數(shù)增加而遞減的關(guān)系這一特性對文獻[16]的加權(quán)方法按下式

(10)

加以改進，高頻系數(shù)經(jīng)式(10)處理后，不僅可以有效地降低高頻系數(shù)中的脈沖噪聲，而且可以恢復(fù)大部分有用信號。最后對1～J尺度平滑和加權(quán)處理后的高頻系數(shù)進行閾值處理。

鑒于通用閾值在實際應(yīng)用中效果并不理想，會產(chǎn)生過扼殺現(xiàn)象。本文采用Penalty閾值[17]對高頻系數(shù)進行處理。

改進的小波去噪算法的具體步驟是：

3)計算e=E1/E0；

4)從基小波庫中選擇另一基小波，重復(fù)步驟1～3，計算低頻系數(shù)的小波能量對數(shù)熵{E1,E2,…,En}，并且計算相應(yīng)的{e1,e2,…,en}，選用最大的e值對應(yīng)的基小波作為第一層分解的最優(yōu)小波對信號進行分解，分解后的低頻系數(shù)記為A1，高頻系數(shù)記為D1；

5)計算高頻系數(shù)D1的樣本極差記為R1；

7)對各層高頻系數(shù)用SG濾波算法進行平滑處理，并對平滑處理后的高頻系數(shù)按式(10)處理。

8)對經(jīng)步驟7處理后的高頻系數(shù)進行閾值量化處理；

9)重構(gòu)信號。

2仿真實驗

實驗信號為Lorenz方程產(chǎn)生的混沌信號，如圖1所示，脈沖噪聲由Matlab的gauspuls函數(shù)疊加。

圖1　Lorenz時間序列圖Fig. 1　Lorenz time series

2.1驗證逐層最優(yōu)基小波選擇的有效性

經(jīng)大量實驗證實，db2～20和sym2～8基小波去噪效果好，效率高，一個完整的去噪過程只需0.098 14s左右。因此，本文以db2～20和sym2～8為基小波庫，含噪Lorenz時間序列的3層小波分解低頻信號的小波能量對數(shù)熵比值見表1，并以sym8和db5小波為單一基小波和逐層最優(yōu)基小波作對比分析，逐層最優(yōu)基小波依次為db8、db15、db16。由表1可以看出，與單一小波分解結(jié)果相比，選用逐層最優(yōu)小波基對信號進行去噪，去噪后信號的信噪比最大，均方誤差最小，顯示了逐層選擇最優(yōu)小波基的優(yōu)越性。

表1不同基小波分解信號低頻分量的小波對數(shù)能量熵

Table 1 Wavelet logarithmic energy entropy of low frequency components with different wavelet based function

sym8db5逐層最優(yōu)小波/基小波尺度10.59250.59670.6166/db8尺度20.59920.59440.6050/db15尺度30.57810.57040.6164/db16信噪比19.234218.937320.0379均方差0.93561.00180.7775

2.2驗證分解層數(shù)確定方法的有效性

對信噪比為5 dB的Lorenz混沌序列利用sym8小波進行6尺度小波分解，樣本長度為2 000?？紤]到高頻分量樣本數(shù)隨著尺度的增大成指數(shù)減少，所以本文取k1=100，k2=50，k3=25，k4=k5=k6=10。其高頻分量的樣本極差和分解層數(shù)的關(guān)系如圖2所示，從第3層到第4層極差發(fā)生躍變，此時高頻分量中信號的小波系數(shù)高能量、高幅值的特性顯現(xiàn)出來，所以選擇最佳分解層數(shù)為4。圖3為分解層數(shù)J和閾值處理后信號的信噪比和均方誤差的關(guān)系，可以看出分解層數(shù)為4時，去噪后信號的信噪比最大，均方誤差最小，并且分解層數(shù)的不同，信噪比和均方誤差差別很大。

圖2　R與j關(guān)系圖Fig. 2　Relationship of R and j

圖3　不同分解層數(shù)降噪效果對比Fig. 3　Denoising effect comparison of different decomposition levels

2.3抑制白噪聲及脈沖噪聲能力的對比

本文從信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)對文獻[12,16]和本文方法的降噪效果進行評價。3種方法去噪后的時間序列圖如圖4所示。去噪后信號的信噪比及均方誤差如表2所示。

圖4　3種方法的去噪結(jié)果比較圖Fig. 4　Denoising results comparison diagrams of the three methods above

Table 2Denoising effect comparison of the three denoising methods above

去噪方法文獻[12]去噪方法文獻[16]去噪方法本文方法SNR22.374322.576923.3142MSE0.46540.42730.3566

由圖4和圖1(a)比較可以看出，文獻[12]方法(圖4(a))僅是提升對白噪聲的抑制能力，脈沖噪聲殘余還較多；文獻[16] 方法(圖4(b))對閾值處理后的信號和原信號加權(quán)再處理對白噪聲和脈沖噪聲只是起削弱作用，并不能完全剔除；而本文方法(圖4(c))降噪后的Lorenz時間序列圖更接近于原信號，圖4(c)中圓圈標注處，脈沖噪聲明顯得到抑制。從表2可知，本文方法降噪后的信噪比最大，而均方誤差最小，進一步顯示了所提方法的優(yōu)越性。

2.4實測機械式混沌振動信號處理

為了進一步驗證本文所提方法對于模型未知的混沌信號的去噪效果，本文基于雙勢阱理論的單端磁吸式混沌振動試驗裝置產(chǎn)生的振動信號為對象，雙勢阱單端磁吸式混沌振動裝置如圖5所示，裝置由如下部分組成：激振器、支座、板簧、磁鐵、質(zhì)量塊。

圖5　雙勢阱單端磁吸式混沌振動裝置Fig. 5　The chaotic vibration experimental rig of two-well potential single end magnetic

實驗本質(zhì)為正弦信號的慢速頻率掃描實驗，掃描頻率范圍為5～25 Hz，采樣頻率為2 kHz，數(shù)據(jù)采集時長為5 s。調(diào)節(jié)功率放大器增益為1、激勵頻率為13 Hz時，重構(gòu)相空間參數(shù)中嵌入維數(shù)為4，延遲時間為16，得到的重構(gòu)相圖如圖6(a)所示。分別使用文獻[12]、[16]以及本文方法對原始信號進行降噪處理，去噪后的二維相圖如圖6(b)、(c)、(d)所示，通過比較可以看出，本文方法降噪后的二維相圖曲線更加光滑，更能清晰地展現(xiàn)原信號吸引子的幾何結(jié)構(gòu)。由于原始信號為機械式振動信號，其信號和噪聲未知，不能利用信噪比和均方誤差進行定量比較，但是對于混沌信號，其自相關(guān)函數(shù)值比較大，且遠遠大于噪聲的自相關(guān)函數(shù)值[18]，因此可以用3種方法去噪后的自相關(guān)函數(shù)值評價去噪效果。

圖6　振動信號去噪前后二維相圖Fig. 6　The two-dimensional phase diagrams of noisy and denoised vibration signals

自相關(guān)函數(shù)的定義如下：

式中：τ表示延遲，N為信號長度。

3種方法去噪前后的部分自相關(guān)函數(shù)值如表3所示，可以看出，原始信號受到噪聲的干擾，其自相關(guān)函數(shù)值相比去噪后要小很多，而本文所提方法降噪后序列的自相關(guān)函數(shù)值最大，進一步展現(xiàn)了其降噪的優(yōu)越性。

表33種方法去噪后部分自相關(guān)函數(shù)值

Table 3Partial autocorrelation function values of denoised signal based on the three methods

延時/s原始信號文獻[12]文獻[16]本文方法50.38650.95670.95730.9617100.35610.90560.90450.9093150.32160.81630.81550.8194200.27460.69590.69480.6982250.19860.55170.54990.5527

2.5改進小波和SG混沌信號去噪方法復(fù)雜度分析

改進小波和SG混沌信號去噪方法的時間花費主要分成2大部分：

1)基小波簇中選取基小波對信號進行分解的時間開銷。由1.1和1.2節(jié)中小波分解和基小波選擇方法可知，原始信號需進行N+M次分解，N、M分別為db和sym小波簇個數(shù)；對分解得到的低頻小波系數(shù)和原始信號進行(N+M)次小波對數(shù)能量熵的計算，然后選擇e最大值對應(yīng)的基小波為最優(yōu)基小波，對于e的計算和排序次數(shù)和小波需要分解的層數(shù)一致，由最優(yōu)基小波分解得到的低頻小波系數(shù)重復(fù)1.4節(jié)的算法步驟2～4，設(shè)小波分解層數(shù)為J，則分解得到的低頻小波系數(shù)為AJ、高頻小波系數(shù)D1，D2，，DJ。設(shè)小波進行一次分解的時間為△t1，小波對數(shù)能量熵的計算時間為△t2，計算e值大小并進行排序處理的時間消耗為△t3，則總的時間消耗為[(N+M)(△t1+△t2)+ △t3](J+1)。

2)對分解得到的小波高頻系數(shù)處理的時間開銷。由1.4節(jié)的算法步驟5～8可知，對分解得到的小波高頻系數(shù)主要進行4個方面的處理：計算樣本極差、SG濾波、加權(quán)處理、閾值處理，設(shè)這4個部分的時間消耗分別為△t4、△t5、△t6、△t7。計算樣本極差是為了確定分解層數(shù)J，根據(jù)2.2節(jié)分析，若樣本極差突然變大，則選擇上一次分解層數(shù)為總分解層數(shù)，所以小波需要分解的次數(shù)應(yīng)為(J+1)，也就是樣本極差的計算次數(shù)，而SG濾波、加權(quán)處理和閾值處理僅需進行J次即可。所以小波高頻系數(shù)處理總的時間開銷為△t4(J+1)+( △t5+△t6+△t7)J。

因此，利用本文方法對混沌信號進行去噪時，總的時間開銷約為

本文仿真實驗中，由2.1、2.2可知N=19，M=7，J=4，實驗運行環(huán)境為MATLAB7.9.0，PC機內(nèi)存為2 G，CPU主頻為3.06 GHz，Lorenz時間序列的長度為2 000，使用MATLAB中的時耗運算方法計算出仿真實驗的總時間開銷約為1.277 5 s，對于長度為3 900的實測混沌振動信號去噪的時間開銷約為1.732 5 s。

3結(jié)論

針對小波閾值法在混沌信號去噪中存在的不足，分別從小波基選取、分解層數(shù)和閾值處理三方面對原始小波降噪方法進行改進，并結(jié)合S-G濾波算法的消除脈沖噪聲的能力，建立小波-S-G去噪模型，分別對Lorenz混沌時間序列及實測雙勢阱機械式混沌振動信號進行了去噪分析，結(jié)果表明：

1)對已知的混沌系統(tǒng)，如Lorenz混沌時間序列，所提方法相比其他降噪方法能提高信號信噪比近1 dB。

2)對未知的實測混沌信號，所提方法能將信號自相關(guān)函數(shù)提高近0.01，表明對于有或無先驗知識的混沌振動信號，所提方法都有較好的降噪效果，具有廣泛的應(yīng)用前景。

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Denoising for chaotic signals based on the improved wavelet transform and S-G method

WEI Xiulei, LIN Ruilin, LIU Shuyong, XU Wei

(College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract：In this paper, we present a hybrid method based on improved wavelet threshold denoising and the Savitzky-Golay (S-G) filter to reduce the commonly seen white and pulse noises in chaotic signals. The wavelet-based function and the number of decomposed levels have a significant influence on the noise reduction effect, and in order to improve this noise reduction effect, we confirm the optimal basis wavelet level by level and the number of decomposed levels by adaptivity. A method for selecting the threshold value at each level is also given. Finally, we applied the improved weighting method to the S-G and wavelet denoising method to restore some useful signals in the high frequency component. We used the proposed denoising method to investigate the denoising of a Lorenz chaotic time series and measured the mechanical chaotic vibration signal. The results show that the proposed method enhanced the signal-to-noise ratio (SNR) by 1 dB and the autocorrelation function value by 0.01. Based on our results, we conclude that the proposed method is an effective chaotic signal denoising method.

Keywords：chaotic signal; wavelet denoising; decomposition level; optimal wavelet; Savitzky-Golay filtering

中圖分類號：TN911

文獻標志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)03-376-06

doi:10.11990/jheu.201411076

作者簡介：位秀雷(1988-), 男, 博士研究生;通信作者：劉樹勇, E-mail:wxlcln@163.com.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51179197,51579242).

收稿日期：2014-11-25.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160104.1648.018.html

網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-01-04.

林瑞霖(1957-), 男, 教授, 博士, 博士生導(dǎo)師;

劉樹勇(1975-), 男, 副教授, 博士.