函數(shù)與方程的思想方法在解題中的應(yīng)用

周金華

【摘要】 函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點。筆者在本文中就函數(shù)與方程的思想方法在解題中的應(yīng)用展開了一些論述。

【關(guān)鍵詞】 函數(shù) 方程 思想方法 解題 應(yīng)用

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）03-079-01

函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想的精髓就是構(gòu)造函數(shù)。

方程的思想，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。

方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)，函數(shù)與方程的思想方法，幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，在解題中有著廣泛的運用。對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看做二元方程y-f（x）=0，函數(shù)與方程這種相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系十分重要。

函數(shù)與表達式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f（x）>0，借助與函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以解決不等式的有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。

數(shù)列的通項或前n項和時自變量為自然數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)觀點去處理數(shù)列問題也是十分重要。

函數(shù)f（x）=（a+bx）n（n∈N*）與二項式定理密切相關(guān)，利用這個函數(shù)，用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多有關(guān)二項式定理的問題。

縱觀中學(xué)數(shù)學(xué)，可謂是以函數(shù)為中心，以函數(shù)為綱，“綱舉目張”，抓住了函數(shù)這個“綱”就帶動起了中學(xué)數(shù)學(xué)的“目”。即使對函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的研究，也完全是以函數(shù)為對象、為中心的。熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的基礎(chǔ)。善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵。

經(jīng)典例題：

一、函數(shù)思想

1. 構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的性質(zhì)

點評：本解的巧妙之處是“反客為主”，求x反而以a為主變元對x進行討論，這才是真正切中要害。若以x為主元對a進行討論，則問題的解決就繁就難多了。

3.選取變元，確定函數(shù)關(guān)系（例略）

4. 用函數(shù)的思想方法解數(shù)列題（例略）

二、方程的思想

方程與函數(shù)密切相關(guān)，在解題中，方程的思想占有重要的地位，也是近年來高考所重點考查的數(shù)學(xué)思想方法之一。

1. 解方程或分析方程的解

例5.已知實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a+1，b+1，c+4成等比數(shù)列，且a+b+c=15，求a，b，c.

分析：利用數(shù)列的有關(guān)公式，列出方程組求解。

由1、2兩式，解得b=5，將c=10-a帶入③式，整理得a2-13a+22=0，解得a=2或a=11.

故a=2，b=5，c=8或a=11，b=5，c=-11.經(jīng)驗算，上述兩組數(shù)符合題意。

點評：本題的列方程組和求解的過程，體現(xiàn)出的就是方程的思想。

2. 通過換元構(gòu)成新的方程（例略）

三、函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的思想

解題時，不能局限于函數(shù)思想或方程思想，而應(yīng)該根據(jù)實際情況把握兩者之間的相互關(guān)系，使其能相互轉(zhuǎn)化，以達到快速解題之目的。