應(yīng)用“力矩平衡”速找“等效最低點(diǎn)”

朱耀東

【摘要】 等效法是物理學(xué)中常用的一種思維方法，“輕桿連接體或帶電體在豎直面內(nèi)繞固定軸轉(zhuǎn)動” 這類問題是等效法的典型應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到等效最低點(diǎn)。應(yīng)用初中學(xué)過的“轉(zhuǎn)動平衡”可以幫助我們快速找到等效最低點(diǎn)，從而使解題過程變得更加簡潔明快。

【關(guān)鍵詞】 力矩平衡 等效最低點(diǎn)

【中圖分類號】 G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）03-035-01

在高中物理學(xué)習(xí)中，“物體在豎直面內(nèi)繞固定軸轉(zhuǎn)動”是一類比較重要的題型，而解決這一類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到最低點(diǎn)或等效最低點(diǎn)。我們通常應(yīng)用“力的合成”或者“能量守恒”來找到它們，有沒有速解辦法呢？既然物體處在最低點(diǎn)，其勢能必然最小，其穩(wěn)度必然達(dá)到最大，物體剛好處于轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)，作用在物體上的合力矩必然為零，因此我們可以應(yīng)用“力矩平衡” 速找“等效最低點(diǎn)”。

一、“力矩平衡”、 “等效最低點(diǎn)”及相關(guān)概念

在初中物理中，我們學(xué)過力矩、轉(zhuǎn)動平衡等概念：從轉(zhuǎn)動軸到力的作用線的垂直距離叫力臂；力（F）和力臂（L）的乘積（M）叫做力矩；繞固定軸轉(zhuǎn)動的物體平衡的條件是：使物體順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的力矩之和等于使物體逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的力矩之和。

在高中物理中，我們又學(xué)過一種重要的物理思想——等效思想：某些物理問題中，一個過程的發(fā)展、一個狀態(tài)的確定，往往是由多個因素決定的，在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，因此我們可以將這種多因素過程合并處理成一個熟悉的、易處理的單因素過程，而對最后結(jié)果并無影響，這就是等效法，比如給多個質(zhì)點(diǎn)找同一個重心，把重力、電場力兩“力”疊加為一個“力”——“等效重力”，都是等效法的應(yīng)用。同理，我們可以把質(zhì)點(diǎn)系或復(fù)合場中的物體自由時(shí)能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的位置稱為“等效最低點(diǎn)”； 物體圓周運(yùn)動時(shí)與等效“最低點(diǎn)”關(guān)于圓心對稱的位置稱為“等效最高點(diǎn)”。

二、應(yīng)用“力矩平衡”速找輕桿連接體的等效最低點(diǎn)

[例1]一直角輕桿兩邊等長，兩端分別固定質(zhì)量為m1的小球A和質(zhì)量為m2的小球B，質(zhì)量關(guān)系為m2=m1，輕桿能繞水平轉(zhuǎn)軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)使OB水平，如圖1所示，兩小球從靜止開始運(yùn)動，經(jīng)過一段時(shí)間輕桿轉(zhuǎn)過θ角。不計(jì)轉(zhuǎn)軸摩擦和空氣阻力，兩小球可視為質(zhì)點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）

A.θ角最大可達(dá)到150°

B.當(dāng)θ=90°時(shí)，兩小球速度最大

C.當(dāng)θ=30°時(shí)，兩小球速度最大

D.當(dāng)θ=60°時(shí)，兩小球速度最大

常規(guī)解法：系統(tǒng)機(jī)械能守恒，減小的重力勢能等于增加的動能，有m2gLsinθ-m1gL（1-sinθ）=（m1+m2）v2，又m2=m1，解得v=

故當(dāng)θ=60°時(shí)，速度有最大值；當(dāng)θ=120°時(shí)，速度又減為零；故選D.

速解方法：因系統(tǒng)機(jī)械能守恒，速度最大意味著勢能最小，勢能最小意味著穩(wěn)度最大，穩(wěn)度最大的位置應(yīng)在等效最低點(diǎn)，此時(shí)力矩平衡，則m1gLsinθ=m2gLcosθ， 又m2=m1，

故當(dāng)θ=60°時(shí)，輕桿連接體在等效最低點(diǎn)，速度有最大值，而θ角最大意味著速度為0，物體恢復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)，因系統(tǒng)機(jī)械能守恒，它應(yīng)該關(guān)于等效最低點(diǎn)對稱，θ=120°時(shí)，θ角達(dá)到最大，故正確答案是D.

【點(diǎn)評】明顯看出，用常規(guī)方法求解，涉及到三角函數(shù)的運(yùn)算，難度相當(dāng)大，而速解方法就簡單多了。

三、應(yīng)用“力矩平衡”速找?guī)щ婓w在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動時(shí)的等效最低點(diǎn)

[例2]如圖所示，在豎直平面內(nèi)存在著水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E=104N·C-1，有一質(zhì)量m=0.10kg，帶電荷量q=7.5×10-5C的小球，固定在一根長度L=0.40m的絕緣輕桿上，輕桿可繞固定軸O在豎直面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動，現(xiàn)將小球拉至位置A使輕桿水平后由靜止釋放，問：小球擺到什么位置速度剛好為0？（g=10m·s-2）

常規(guī)解法：設(shè)小球擺動角度φ之后，動能再次為0，因?yàn)橹挥兄亓碗妶隽ψ龉?，由動能定理得，mg·l·sin -qE（l-lcos ）=0，無論φ為鈍角還是銳角，該式都成立，∴sin +0.75cos =

0.75，運(yùn)用三角函數(shù)公式解得 =0或者 =1.6°.

速解方法：設(shè)輕桿擺動θ角后，到達(dá)等效最低點(diǎn)B，如圖4，此時(shí)轉(zhuǎn)動平衡，由平衡條件知θ只可能為銳角，且有mg·L·cosθ=qE·sinθ：，解得cotθ=0.75=，故θ=53°.

因?yàn)樾∏驍[動中只有重力和電場力做功，能量守恒，小球到達(dá)A關(guān)于OB線的對稱點(diǎn)C時(shí)，等效勢能達(dá)到最大，動能再次為0，與初始位置A相比，轉(zhuǎn)動角度 =2θ=106°，如圖5.

【點(diǎn)評】在本題中，用常規(guī)方法求解，方程也簡單，但是運(yùn)算時(shí)要涉及到更為復(fù)雜的三角函數(shù)公式，而速解方法算起來就容易得多，而且對運(yùn)動過程的描述更為清晰，如分析到θ只可能為銳角等。如果本題沒有給出m、q、E的具體數(shù)值，速解方法的優(yōu)勢將更加明顯。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 唐紅鷹.“等效法”巧解復(fù)合場的圓周運(yùn)動問題.物理教學(xué)探討：中學(xué)生版高三卷，2005年 第2期.