Q-代數(shù)的一種新表示

韓勝偉

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

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Q-代數(shù)的一種新表示

韓勝偉

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

摘要：研究了冪集Q-代數(shù)到Q-代數(shù)之間Q-代數(shù)同態(tài)εM的性質(zhì);利用Q-代數(shù)同態(tài)εM構(gòu)造了冪集Q-代數(shù)上的核映射gM;利用核映射gM證明了每一個(gè)Q-代數(shù)同構(gòu)于某一個(gè)冪集Q-代數(shù)的商Q-代數(shù)。

關(guān)鍵詞:Quantale; Q-代數(shù); 核映射; Q-代數(shù)同態(tài)

MR subject classification: 06F07

受單位交換環(huán)上環(huán)代數(shù)研究的影響, Solovyov提出了Quantale代數(shù)的概念[1-2]。實(shí)際上, Quantale代數(shù)是Quantale和Quantale模的推廣, 它在研究滿層的L-拓?fù)淇臻g、L-frame和L-Quantale中起著十分重要的作用[3-4]。Solovyov基于半群構(gòu)造了一類冪集Quantale代數(shù), 并給出了Quantale代數(shù)的一種表示[1]。潘芳芳、韓勝偉和趙彬基于序半群構(gòu)造了一類新的冪集Quantale代數(shù), 并對(duì)這類冪集Quantale代數(shù)進(jìn)行深入的研究[5-6]。本文首先研究Quantale代數(shù)上的核映射; 其次,基于序半群上的冪集Quantale代數(shù), 給出Quantale代數(shù)一種新的表示。

1預(yù)備知識(shí)

首先,我們介紹有關(guān)Quantale和Quantale代數(shù)的基本概念。

定義2設(shè)Q是Quantale，e∈Q。若?x∈Q，有e&x=x=x&e，則稱e是Q的單位元。若?x、y∈Q,x&y=y&x，則稱Q是交換的。若Q上的閉包算子g滿足：?x,y∈Q,g(x)&g(y)≤g(x&y),則稱g是Q上的Quantale核映射。

在本文中，我們一直假設(shè)Q是交換的單位Quantale，其中eQ是Q的單位元。

定義3[8]設(shè)Q是Quantale。Q上的Quantale模是一個(gè)二元序組(M,·),其中M是完備格,·:Q×M→M是一個(gè)映射，且滿足下列條件：

(3) ?m∈M,eQ·m=m;

(4) ?p、q∈Q,m∈M,(p&q)·m=p·(q·m)。

定義4[1]設(shè)Q是Quantale。Q上的Quantale代數(shù)(簡稱Q-代數(shù))是一個(gè)三元序組(M,·,?)，其中(M,·)是Q上的Quantale模，(M,?)是Quantale,且滿足：?q∈Q,a、b∈M,q·(a?b)=(q·a)?b=a?(q·b)。

若Q-代數(shù)之間的一個(gè)映射既是Quantale同態(tài)，又是Quantale模同態(tài)，則稱它是Q-代數(shù)同態(tài)。若Q-代數(shù)同態(tài)是雙射，則稱它是Q-代數(shù)同構(gòu)。

設(shè)S是序半群，映射f:S→Q被稱為Q-模糊集[9]。若?x、y∈S,x≤y?f(x)≥f(y)，則稱f是強(qiáng)凸的。用FQ(S)表示S上所有強(qiáng)凸Q-模糊子集構(gòu)成的集合，在逐點(diǎn)序下FQ(S)是完備格。定義FQ(S)上的二元運(yùn)算和模運(yùn)算*:Q×FQ(S)→FQ(S)如下：

?f、g∈FQ(S),q∈Q,x∈S,

(f,

(q*f)(x)=q&f(x)。

命題1[5]設(shè)S是序半群，則(FQ(S),*,)是Q-代數(shù)，稱為S上的冪集Q-代數(shù)。

設(shè)f:S→T是序半群同態(tài)，定義冪集算子f→:FQ(S)→FQ(T)如下：

命題2[6]設(shè)f:S→T是序半群同態(tài)，則f→：FQ(S)→FQ(T)是Q-代數(shù)同態(tài)。

本文用到但未提及的概念和結(jié)論請(qǐng)參考文獻(xiàn)[7,10-11]。

2Q-代數(shù)的一種新表示

基于半群，Solovyov給出了Q-代數(shù)的一種表示。在本節(jié)中，我們將基于序半群給出Q-代數(shù)一種新的表示。我們首先介紹Q-代數(shù)上核映射的概念。

定義5[1]設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，g是M上的Quantale核映射。若?q∈Q，m∈M，q·g(m)≤g(q·m)，則稱g是M上的Q-代數(shù)核映射。

設(shè)g是Q-代數(shù)M上的Q-代數(shù)核映射，Mg={m∈M:g(m)=m}。

注1設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，eQ≤q,且q&q=q,則q·_:M→M是M上的Q-代數(shù)核映射。

為了給出Q-代數(shù)新的表示定理，我們需要介紹冪集Q-代數(shù)上特殊的核映射gM。首先我們做一些準(zhǔn)備工作。設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，定義映射εM:FQ(M)→M如下：

定理2設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，則εM是Q-代數(shù)同態(tài)。

證明容易驗(yàn)證εM保持任意并，只需驗(yàn)證εM保持半群運(yùn)算和模運(yùn)算。

設(shè)f、g∈FQ(M),q∈Q,則

(1)εM(fg)=g)(m))·m=

εM(f)?εM(g)。

q·εM(f)。

因此，εM是Q-代數(shù)同態(tài)。

設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)。由于Q、M是完備格，_·m保持任意并，則_·m有左伴隨，記作m→_。根據(jù)剩余理論，我們有下面的引理。

引理1設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，且m、n、t∈M，m≤n,則n→t≤m→t,t→m≤t→n。

設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，且m∈M。由引理1知映射αm=_→m∈FQ(M)。

命題3設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，且m∈M,則εM(αm)=m。

推論1設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，則εM是滿Q-代數(shù)同態(tài)。

定義6[9]序半群S上的序模糊點(diǎn)是一個(gè)映射xλ:S→Q，

其中λ∈Q。

引理2設(shè)S是序半群，λ、μ∈Q/{0},x、y∈S,g∈FQ(S),則

(1)xλ?yμ?x≤y,λ≤μ;

(2)xλ=λ*xeQ;

(3)xλyμ=(xy)λ&μ。

設(shè)S是序半群，定義映射λS:S→FQ(S)如下：

?x∈S,λS(x)=xeQ。

引理3設(shè)S是序半群，則λS是序半群同態(tài)。

引理4[9]設(shè)f:S→T是序半群同態(tài)，則?x∈S,λ∈Q,f→(xλ)=(f(x))λ。

命題4設(shè)f:S→T是序半群同態(tài)，則下圖可換。

證明由引理4可證。

命題5設(shè)f:M→M′是Q-代數(shù)同態(tài)，則下圖可換。

證明?x∈M，有

εM′°f→°λM(x)=εM′°f→(xeQ)=

εM′((f(x))eQ)=

由x的任意性知εM′°f→°λM=f，即上圖可換。

設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，定義FQ(M)上的映射gM如下：

?α∈FQ(M),m∈M,

gM(α)(m)=m→εM(α)。

命題6設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，則gM是FQ(M)上的Q-代數(shù)核映射。

證明可參考文獻(xiàn)[1]中命題5.1的證明。

下面，我們給出Q-代數(shù)一種新的表示。

定理3設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，定義映射ρM:M→(FQ(M))gM如下：ρM(m)=αm,則ρM是Q-代數(shù)同構(gòu)。

證明可參考文獻(xiàn)[1]中定理5.3的證明。

推論2設(shè)(M,·,?)是Q-代數(shù)，則

gM=ρM°εM。

3結(jié)語

本文基于序半群上冪集Q-代數(shù)的核映射, 證明了任意Q-代數(shù)同構(gòu)于某一冪集Q-代數(shù)的商Q-代數(shù)。因此,Q-代數(shù)核映射在研究Q-代數(shù)起著十分重要的作用。我們接下來的工作是研究Q-代數(shù)上不同類型的Q-代數(shù)核映射。

參考文獻(xiàn):

[1] SOLOVYOV S A. A representation theorem for quantale algebras[M]. Contributions to General Algebra, 2008, 18: 189-198.

[2] SOLOVYOV S A. From quantale algebroids to topological spaces: fixed-and variable-basis approaches[J].Fuzzy Sets and System, 2010, 161:1270-1287.

[3] YAO W. A survey of fuzzifications of frames, the Papert-Papert-Isbell adjunction and sobriety[J].Fuzzy Sets and System, 2012, 190: 63-81.

[4] 汪開云. 模糊Domain與模糊Quantale中若干問題的研究[D].西安：陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 2012.

[5] PAN F F, HAN S W. FreeQ-algebras[J].Fuzzy Sets and System, 2014, 247: 138-150.

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[10] BIRKHOFF G. Lattice theory[M].New York: American mathematical Society, 1995.

[11] SOLOVYOV S A. On the categoryQ-mod[J]. Algebra Universalis, 2008, 58: 35-58.

〔責(zé)任編輯宋軼文〕

A new representation forQ-algebras

HAN Shengwei

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

Abstract:Some properties of Q-algebra homomorphisms εM from power-set Q-algebras into Q-algebras are investigated.By using the Q-algebra homomorphisms εM, the Q-algebra nuclei gM on power-set Q-algebras are constructed.In terms of Q-algebra nuclei gM, it is proved that every Q-algebra is isomorphic to a quotient Q-algebra of some power-set Q-algebra.

Keywords:Quantale; Q-algebra; nucleus; Q-algebra homomorphism

中圖分類號(hào)：O153.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(11531009);陜西省自然基礎(chǔ)研究計(jì)劃面上項(xiàng)目(2015JM1020); 陜西省教育廳項(xiàng)目(15JK1667); 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(GK201402001，GK20151001)

收稿日期：2015-06-16

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.02.121

文章編號(hào)：1672-4291(2016)02-0001-03

第一作者： 韓勝偉, 男, 副教授,博士, 主要從事格上拓?fù)渑c不確定性理論的研究。E-mail:hansw@snnu.edu.cn