多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)流體引發(fā)自激振動(dòng)穩(wěn)定性分析

趙　倩， 許　琦， 姚紅良， 聞邦椿(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽　110819)

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多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)流體引發(fā)自激振動(dòng)穩(wěn)定性分析

趙倩， 許琦， 姚紅良， 聞邦椿(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽110819)

摘要：以實(shí)際壓縮機(jī)組多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，針對由間隙氣流激振力引起的失穩(wěn)問題，進(jìn)行Alford力作用下多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)及穩(wěn)定性分析。針對該類模型自由度多的特點(diǎn)，采用固定界面模態(tài)綜合法降維措施與New-mark-β法相結(jié)合，提高了求解效率。研究交叉剛度、工作轉(zhuǎn)速等對轉(zhuǎn)子渦動(dòng)的影響，以及多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中Alford力的傳遞作用；通過以時(shí)間歷程曲線為穩(wěn)定性判據(jù)，進(jìn)行不同交叉剛度、阻尼、剛度系數(shù)下的穩(wěn)定性分析。結(jié)果表明，交叉剛度的增大會(huì)加重轉(zhuǎn)子渦動(dòng)，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性；系統(tǒng)阻尼和剛度的增大可提高穩(wěn)定性；失穩(wěn)交叉剛度與支承的交叉剛度存在一定關(guān)系，當(dāng)其大于支承最小交叉剛度且接近支承最大交叉剛度時(shí)，系統(tǒng)容易失穩(wěn)。

關(guān)鍵詞：多跨轉(zhuǎn)子；Alford力；交叉剛度；自激振動(dòng)；穩(wěn)定性分析

近年來，隨著透平旋轉(zhuǎn)機(jī)械向著超大型化、低能耗化與高可靠性方向發(fā)展，葉輪轉(zhuǎn)速和性能逐步提高，葉輪軸大多采用柔性軸設(shè)計(jì)，工作轉(zhuǎn)速在一階甚至二階臨界轉(zhuǎn)速以上；高效率則要求必須縮小轉(zhuǎn)靜子間隙，葉片的氣動(dòng)負(fù)荷也日益增大。這些都可能影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，尤其是產(chǎn)生自激振動(dòng)，且不能采用動(dòng)平衡的方法來消除。

由于小間隙、高轉(zhuǎn)速、大壓比、以空氣或蒸汽作為介質(zhì)等復(fù)雜的工作條件決定了機(jī)組中存在復(fù)雜的激勵(lì)源。此類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有兩類主要的失穩(wěn)激勵(lì)源：油膜力和間隙氣流激振力。目前關(guān)于非線性油膜力模型及其對轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響方面已有較多研究，能夠較好地分析油膜失穩(wěn)規(guī)律，而對間隙氣流激振力的失穩(wěn)規(guī)律研究較少。間隙氣流激振引起的自激振動(dòng)嚴(yán)重影響機(jī)組的安全穩(wěn)定運(yùn)行，由于自激振動(dòng)，葉輪等關(guān)鍵部件受力增大，經(jīng)常會(huì)造成疲勞破壞，在一定條件下會(huì)引起轉(zhuǎn)子的失穩(wěn)。因此，研究間隙氣流激振力作用下多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及失穩(wěn)規(guī)律具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

以往研究多集中于間隙氣流激振力模型的研究。Thomas[1]研究了燃?xì)廨啓C(jī)的不穩(wěn)定性，并提出由偏心轉(zhuǎn)子引起的非對稱半徑間隙可能導(dǎo)致失穩(wěn)力，稱之為間隙激振力。隨后，Alford[2]在研究航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)定性時(shí)發(fā)現(xiàn)了類似的現(xiàn)象，間隙激振這一問題才引起人們的足夠重視，并在習(xí)慣上稱為Alford力。然而兩人的研究結(jié)果都是根據(jù)葉輪的局部效率損失得到的，在實(shí)際應(yīng)用中存在許多缺陷。之后很多學(xué)者做了修正工作，如Hubert根據(jù)無冠葉柵試驗(yàn)，提出了葉尖間隙損失的一種指數(shù)關(guān)系來代替Alfold公式采用的線性關(guān)系；為了進(jìn)行驗(yàn)證，Urlichs[3]對渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究；Vance[4]用鼓風(fēng)機(jī)進(jìn)行靜止偏心時(shí)作用于葉輪上橫向力的測試，證實(shí)了Alford力的存在。國內(nèi)也有不少學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn)，如楊建剛等[5]將其分為靜態(tài)力和動(dòng)態(tài)力兩部分考慮，改進(jìn)了傳統(tǒng)的Alford力模型；柴山[6]從流體力學(xué)出發(fā)，應(yīng)用動(dòng)量定理對氣流間隙激振力進(jìn)行了多方面的研究；丁學(xué)俊[7]提出了Alford力中效率系數(shù)的一種計(jì)算方法；駱名文等[8]對大型汽輪機(jī)氣流激振的研究現(xiàn)狀做了系統(tǒng)總結(jié)與展望。

然而關(guān)于Alford力作用下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的研究并不多，且大都針對簡單轉(zhuǎn)子。如Kim等[9-10]采用Jeffcott轉(zhuǎn)子，楊建剛[5]針對某一單跨高壓轉(zhuǎn)子進(jìn)行穩(wěn)定性分析，而工程實(shí)際中存在的機(jī)組往往為多跨復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。因此，本文以多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，針對該類模型自由度多的特點(diǎn)，采用固定界面模態(tài)綜合法降維；研究交叉剛度和轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)子渦動(dòng)的影響以及多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中Alford力的傳遞作用；提出以時(shí)間歷程曲線為穩(wěn)定性判據(jù)，進(jìn)行了不同交叉剛度、阻尼、剛度系數(shù)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)規(guī)律研究。

1模型建立方法

1.1Alford力及交叉剛度計(jì)算

由于制造安裝問題或不平衡力的作用，葉輪與氣缸會(huì)產(chǎn)生相對偏心，使得葉尖間隙沿圓周分布不均勻。因此，葉片上的周向氣動(dòng)力除合成一個(gè)轉(zhuǎn)矩外，還合成一個(gè)作用于轉(zhuǎn)子軸心的橫向力，稱為間隙氣流激振力或Alford力。該激振力[2]可表示為

FA=[τβ/(DH)]e

(1)

式中，τ為作用在葉片上的扭矩；D為葉片中徑；H為葉片高度；e為偏心距；β為激振力的效率系數(shù)。

由其引起的交叉剛度項(xiàng)為

Kyx=τβ/(DH)

(2)

由于β是一個(gè)與葉輪結(jié)構(gòu)、扭矩大小等有關(guān)的量，而不是一個(gè)常數(shù)，很難選取合適的值。近年來，關(guān)于β值的符號(hào)和大小，國內(nèi)外學(xué)者已做了較多的研究，但結(jié)論不一，且相互之間的偏差較大。大部分還是以Alford給出的數(shù)值作為參考。

關(guān)于Alford力引起的交叉剛度，一直以來仍沒有一個(gè)普遍適用的定量計(jì)算方法。由于本文旨在分析Alford力及其引起的交叉剛度對多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，因此關(guān)于Alford力及交叉剛度的計(jì)算在此未做深入討論，以前人的研究結(jié)果作為參考。

1.2轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模

設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由彈性軸段單元組成，如圖1所示。忽略軸向變形，每節(jié)點(diǎn)包括兩個(gè)移動(dòng)方向的自由度和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向的自由度。每個(gè)單元上的廣義坐標(biāo)如式

[xAyAθxAθyAxByBθxBθyB]T

(3)

圖1　歐拉梁單元模型Fig.1 The model of Euler beam element

采用有限元建模方法，間隙氣流激振轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(4)

式中，M、C、K分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；x為位移向量；F為外激勵(lì)向量；FA為Alford力向量。

本文采用文獻(xiàn)[5]中的Alford力模型，將其分解為靜態(tài)力和動(dòng)態(tài)力兩部分，具體表達(dá)式為

(5)

式中，δx，δy分別為x和y方向的靜偏心；kA為Alford力引起的交叉剛度項(xiàng)。

2固定界面模態(tài)綜合法降維

對多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)分析，其動(dòng)力學(xué)模型往往能達(dá)到成千上百個(gè)自由度。為了提高計(jì)算效率，可以采用固定界面模態(tài)綜合法(Component Mode Synthesis, CMS)進(jìn)行自由度的降維[11]。將式(4)劃分為線性和非線性(即間隙氣流激振位置)兩部分，其中上部分為線性部分，下部分為非線性部分

(6)

假設(shè)非線性位置處的自由度固定，計(jì)算剩余自由度組成系統(tǒng)的模態(tài)，并取其中可能參與響應(yīng)貢獻(xiàn)大的模態(tài)組成固定界面主模態(tài)集

(7)

假設(shè)給某個(gè)界面自由度單位位移，保持其他界面自由度為0，形成該自由度下的約束模態(tài)

(8)

對每個(gè)界面自由度按上式操作，形成約束模態(tài)集

(9)

由固定主模態(tài)集和約束模態(tài)集組合可得系統(tǒng)的模態(tài)矩陣

(10)

因此，將式(8)變換為模態(tài)坐標(biāo)下的振動(dòng)方程

(13)

采用數(shù)值法求得方程(11)在模態(tài)坐標(biāo)下的解u，利用x=ψu(yù)返回到原物理坐標(biāo)，可得原系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

可見系統(tǒng)的降維主要是依靠主模態(tài)集的縮減實(shí)現(xiàn)，主模態(tài)集中模態(tài)取得越少，所得模型的自由度越少，但是可能會(huì)影響所求得響應(yīng)的精度。

3數(shù)值仿真與分析

圖2為簡化后的雙跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，葉片部位采用集中質(zhì)量單元，詳見表1。共劃分137個(gè)節(jié)點(diǎn)，136個(gè)單元，Alford力作用于壓縮機(jī)某級(jí)葉片上。轉(zhuǎn)子密度ρ= 7 850 kg/m3，彈性模量E= 2.1×1011N/m，泊松比ν= 0.3。壓縮機(jī)支承位于節(jié)點(diǎn)4和65處，汽輪機(jī)支承位于節(jié)點(diǎn)72和120處，支承剛度及阻尼根據(jù)軸頸尺寸和潤滑油型號(hào)由軟件XlRotor計(jì)算確定，詳見表2。

表1　集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)

表2　軸承的支承剛度(N/m)和阻尼(N·s/m)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前三階固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速分別為19.87 Hz、31.75 Hz、76.22 Hz和1 215.8 r/min、1 998.3 r/min、4 969.3 r/min；額定轉(zhuǎn)速3 400 r/min，高于二階臨界轉(zhuǎn)速。

圖2　雙跨轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of a dual-span rotor system

3.1交叉剛度和轉(zhuǎn)速的影響

采用Newmark-β法結(jié)合CMS降維(取30階主模態(tài))進(jìn)行分析。設(shè)角速度為300 rad/s，圖3比較了交叉剛度變化時(shí)的頻譜：當(dāng)ka= 1.4×108N/m時(shí)，轉(zhuǎn)子出現(xiàn)渦動(dòng)，隨著ka的進(jìn)一步增大，頻譜中的低頻成分增大，轉(zhuǎn)子渦動(dòng)加重。取ka= 1.4×108N/m，圖4為轉(zhuǎn)速變化時(shí)的頻譜：隨轉(zhuǎn)速提高，低頻成分幅值增大，且低頻均鎖定于127 rad/s，接近轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第一階臨界轉(zhuǎn)速。

3.2Alford力在多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的傳遞作用

表3列出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中不同位置處的頻率成分幅值?？梢钥闯?，葉輪上任一位置存在Alford力，整機(jī)轉(zhuǎn)子各個(gè)位置均產(chǎn)生渦動(dòng)；相比于壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子上Alford力振源位置處的振動(dòng)，聯(lián)軸器上的振幅減小了約0.5倍，汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子上的振幅減小了兩個(gè)數(shù)量級(jí)；轉(zhuǎn)子各個(gè)位置呈現(xiàn)相似的振動(dòng)特性，各跨轉(zhuǎn)子之間會(huì)產(chǎn)生相互影響及Alford力的傳遞，因此，在研究間隙氣流激振穩(wěn)定性時(shí)，應(yīng)考慮多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。

圖3　不同交叉剛度的頻譜圖Fig.3 Spectrograms in different cross stiffness

圖4　不同轉(zhuǎn)速下的頻譜圖Fig.4 Spectrograms in different rotating speed

位置工作頻率幅值/mm渦動(dòng)頻率幅值/mm壓縮機(jī)葉片(Alford力處)2.3×10-21.0×10-3壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子1.7×10-28.3×10-4汽輪機(jī)葉片7.0×10-43.3×10-5汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子2.4×10-41.9×10-5聯(lián)軸器6.5×10-33.5×10-4

3.3Alford力作用下多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本研究根據(jù)時(shí)間歷程曲線判斷系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)及穩(wěn)定性。如圖5所示，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)有以下幾種振動(dòng)情況。圖5(a)中，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定運(yùn)行，Alford力不足以引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的渦動(dòng)；圖5b中，系統(tǒng)由于Alford力作用產(chǎn)生轉(zhuǎn)子渦動(dòng)；圖5c中，由于Alford力引起的負(fù)阻尼作用超過系統(tǒng)的阻尼，振動(dòng)幅值迅速增大，系統(tǒng)發(fā)散，為不穩(wěn)定運(yùn)行。

圖5　三種不同的運(yùn)行狀態(tài)Fig.5 Three different operation states

根據(jù)該穩(wěn)定性判斷依據(jù)，分析不同參數(shù)(交叉剛度、阻尼系數(shù)、剛度系數(shù))變化時(shí)的穩(wěn)定性區(qū)域，如圖6所示。

圖6(a)中，隨著交叉剛度的增大和轉(zhuǎn)速的提高，穩(wěn)定區(qū)域逐漸減小，當(dāng)交叉剛度增至1.55×108N/m時(shí)，系統(tǒng)在任一轉(zhuǎn)速下均失穩(wěn)；圖6(b)中，隨著阻尼系數(shù)的增大，穩(wěn)定區(qū)域越來越大，渦動(dòng)區(qū)域減小，當(dāng)阻尼系數(shù)降至0.85時(shí)，系統(tǒng)完全失穩(wěn)；圖6(c)中，穩(wěn)定區(qū)域隨著剛度系數(shù)的增大而增大，當(dāng)剛度系數(shù)降至0.8時(shí)，系統(tǒng)完全失穩(wěn)。因此，降低交叉剛度，增大系統(tǒng)阻尼和剛度可有效抑制轉(zhuǎn)子渦動(dòng)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

另外，對比Alford力引起的交叉剛度ka(圖6(a))與表2中支承(即滑動(dòng)軸承)交叉剛度kxy、kyx可以發(fā)現(xiàn)，對于非對稱支承即kxy≠kyx且kxy 0.5kyx時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)；③ 當(dāng)kxy

圖6　不同參數(shù)組合下的穩(wěn)定性區(qū)域圖Fig.6 Stability regional graphs with different parameters combination

圖7為工作轉(zhuǎn)速下以ka為分岔參數(shù)的分岔圖，在ka= 1.5×108N/m附近時(shí)出現(xiàn)分岔，與圖6(a)的結(jié)果基本一致。

圖7　交叉剛度為分岔參數(shù)的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram with different cross stiffness

4結(jié)論

(1) 傳統(tǒng)采用對數(shù)衰減率分析穩(wěn)定性，只能判定穩(wěn)定區(qū)和失穩(wěn)區(qū)；本文方法采用時(shí)間歷程曲線作為穩(wěn)定性判據(jù)，得到轉(zhuǎn)子由于Alford力作用，會(huì)隨著運(yùn)行參數(shù)的變化，依次經(jīng)歷穩(wěn)定區(qū)-渦動(dòng)區(qū)-失穩(wěn)區(qū)。而渦動(dòng)區(qū)同樣為危險(xiǎn)區(qū)，此時(shí)可通過調(diào)整相關(guān)參數(shù)等措施，進(jìn)行渦動(dòng)的抑制，防止系統(tǒng)由于嚴(yán)重渦動(dòng)邁向失穩(wěn)區(qū)，此方法也可用于前期設(shè)計(jì)階段中參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

(2) 對交叉剛度、系統(tǒng)阻尼和剛度變化下的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究：穩(wěn)定性區(qū)域隨著交叉剛度的增大而減小，隨著阻尼和剛度的增大而增大。因此，降低交叉剛度，增大系統(tǒng)阻尼和剛度可有效抑制轉(zhuǎn)子渦動(dòng)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí)，失穩(wěn)交叉剛度與支承交叉剛度之間存在一定關(guān)系。

(3) Alford力對失穩(wěn)的影響主要取決于交叉剛度的大小，而交叉剛度本身又與工作負(fù)載、流量、轉(zhuǎn)速、偏心等諸多參數(shù)有關(guān)。本文進(jìn)行了交叉剛度變化下系統(tǒng)的穩(wěn)定性預(yù)測，而對于交叉剛度與偏心等參數(shù)之間的定量計(jì)算研究不足。今后有待進(jìn)一步研究的是，交叉剛度與各參數(shù)之間的定量關(guān)系，以及抑制渦動(dòng)、提高運(yùn)行穩(wěn)定性的參數(shù)優(yōu)化匹配。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] Thomas H J. Unstable oscillations of turbine rotors due to steam leakage in the sealing glands and the buckets[J]. Bulletin Scientifique. A.J.M., 1958, 71：223-236.

[ 2 ] Alford J S. Protecting turbo machinery from self-excited rotor whirl[J]. ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1965, 87(4)：333-343.

[ 3 ] Urlichs K. Leakage flow in thermal turbomachines as the origin of vibration-exciting lateral forces, TT-17409[R]. Washington: NASA, 1977.

[ 4 ] Vance J, Laudadio F. Experimental measurement of Alford’s force in axial flow turbomachinery[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1984, 106(3)：585-590.

[ 5 ] 楊建剛，朱天云，高偉. 氣流激振對軸系穩(wěn)定性的影響分析[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，1998, 18(1)：9-11.

YANG Jian-gang, ZHU Tian-yun, GAO Wei.Influence of steam induced vibration on the stability of rotor-bearing system[J]. Proceedings of the CSEE, 1998, 18(1)：9-11.

[ 6 ] 柴山，張耀明，曲慶文，等. 汽輪機(jī)間隙氣流激力分析[J]. 中國工程科學(xué)，2001, 3(4)：68-72.

CHAI Shan, ZHANG Yao-ming, QU Qing-wen, et al. The analysis on the air-exciting-vibration force of steam turbine[J]. Engineering Science, 2001, 3(4)：68-72.

[ 7 ] 丁學(xué)俊，王剛，黃樹紅，等. Alford力中效率系數(shù)的一種計(jì)算方法[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003, 31(4)：66-68.

DING Xue-jun, WANG Gang, HUANG Shu-hong, et al.Calculation of efficiency factor in Alford’s force[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology:Nature Science Edition, 2003, 31(4)：66-68.

[ 8 ] 駱名文，丁學(xué)俊，楊彥磊. 大型汽輪機(jī)氣流激振研究現(xiàn)狀及展望[J]. 熱能動(dòng)力工程，2006, 21(6)：551-555.

LUO Ming-wen,DING Xue-jun, YANG Yan-lei. The status quo and prospect concerning a study on steam flow excitations in large-sized steam turbines[J]. Journal of Engineering for Thermal Energy & Power, 2006, 21(6)：551-555.

[ 9 ] Kim H S, Cho M, Song S J. Stability analysis of a turbine rotor system with Alford forces[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 260：167-182.

[10] 唐云冰，高德平，羅貴火，等. 葉輪偏心引起的氣流激振力對轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性影響的分析[J]. 航空學(xué)報(bào)，2006, 27(2)：245-249.

TANG Yun-bing, GAO De-ping, LUO Guii-huo, et al. Stability analysis of rotor systems with gas exciting force caused by blade tip clearance[J]. Journal of Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2006, 27(2)：245-249.

[11] Kawamura S, Naito T, Zahid H M, et al. Analysis of nonlinear steady state vibration of a multi-degree-of-freedom system using component mode synthesis method[J]. Applied Acoustics, 2008, 69(7)：624-633.

Stability of a multi-span rotor system with fluid-induced self-excited vibration

ZHAOQian,XUQi,YAOHong-liang,WENBang-chun(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:Turbine rotor systems may lose stability due to Alford forces. Here, dynamic characteristics and stability of a multi-span rotor system for a practical compressor unit subjected to Alford forces were investigated. Newmark-β method combined with the fixed interface component mode synthesis (CMS) dimension reduction approach due to many degrees of freedom of a large scale rotor system was applied to obtain the system’s dynamic response. The computational efficiency was improved obviously. The effects of cross stiffness and rotating speed on rotor whirling and the transmission action of Alford forces in the multi-span rotor system were studied. Taking the system’s time historv response as a stability criterion, stability analysis with different dynamic parameters was performed. It was shown that the rotor whirling aggravates and its stability decreases with increase in cross stiffness; its stability is improved with increase in the system’s damping and stiffness; when the cross stiffness of the system are larger than the minimum cross stiffness of bearings and close to the maximum cross stiffness of bearings, the system is easy to be unstable.

Key words:multi-span rotor; Alford force; cross stiffness; self-excited vibration; stability analysis

中圖分類號(hào):TH113.1, O323

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.032

通信作者姚紅良 男，博士，副教授，1979年10月生

收稿日期：2014-11-19修改稿收到日期：2015-03-05

基金項(xiàng)目：國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2011CB706504)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475085)；研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(N140306003)

第一作者 趙倩 女，博士生，1989年1月生

E-mail：hlyao@mail.neu.edu.cn