軸向時(shí)變沖擊載荷作用下直桿彈性動(dòng)力屈曲研究

韓大偉， 王安穩(wěn)(海軍工程大學(xué) 理學(xué)院力學(xué)系，武漢　430033)

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軸向時(shí)變沖擊載荷作用下直桿彈性動(dòng)力屈曲研究

韓大偉， 王安穩(wěn)(海軍工程大學(xué) 理學(xué)院力學(xué)系，武漢430033)

摘要：基于應(yīng)力波理論，用半解析半數(shù)值方法對(duì)軸向時(shí)變沖擊載荷作用下的直桿進(jìn)行研究，給出了一種利用壓應(yīng)力波前附加約束條件求解軸向時(shí)變載荷作用下直桿彈性動(dòng)力屈曲問題的方法。以三角脈沖載荷作用下的直桿為例，對(duì)其臨界屈曲長(zhǎng)度、初始屈曲模態(tài)和動(dòng)力特征參數(shù)進(jìn)行了求解，探討了脈沖載荷峰值和載荷持續(xù)時(shí)間對(duì)臨界屈曲長(zhǎng)度和屈曲模態(tài)的影響。總結(jié)了三角脈沖載荷作用下直桿彈性動(dòng)力屈曲的規(guī)律，并與階躍載荷作用下的情況進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果與之前文獻(xiàn)研究結(jié)果吻合良好。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力屈曲；彈性直桿；時(shí)變沖擊載荷；臨界屈曲長(zhǎng)度；應(yīng)力波

近年來，利用桿板殼等夾心耗能構(gòu)件的失穩(wěn)吸能來抵抗沖擊載荷的研究越來越多[1-4]，結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下的動(dòng)力失穩(wěn)機(jī)理的研究顯得越來越重要。對(duì)于動(dòng)力屈曲問題，屈曲的發(fā)生和應(yīng)力波的傳播是一個(gè)耦合的過程，應(yīng)力波在直桿中傳播一定距離時(shí)屈曲發(fā)生，實(shí)驗(yàn)結(jié)果(Lindberg和Florence,1983)[5]表明在脈沖載荷作用下長(zhǎng)直桿會(huì)在應(yīng)力傳到另一端之前發(fā)生靠近受沖擊端的局部屈曲，魏勇等[6]指出在研究直桿在軸向沖擊載荷作用下的動(dòng)力屈曲問題時(shí)考慮應(yīng)力波效應(yīng)是必要的。對(duì)于直桿的靜力失穩(wěn)問題，往往是針對(duì)一定長(zhǎng)度的直桿來求解其臨界失穩(wěn)載荷。對(duì)于結(jié)構(gòu)的動(dòng)力屈曲問題，受橫向慣性效應(yīng)的影響，使得之存在不同于靜力屈曲的特性。對(duì)這類問題的研究往往是針對(duì)一給定形式的沖擊載荷，來研究桿的臨界屈曲長(zhǎng)度、屈曲模態(tài)以及特征參數(shù)等問題，為后屈曲變形等方面的研究以及結(jié)構(gòu)抗沖擊防護(hù)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。對(duì)于直桿的彈性動(dòng)力屈曲問題，以往文獻(xiàn)已有很多研究[7-15]。湯立群等[13]通過改進(jìn)的SHPB裝置，研究了彈性直桿在應(yīng)力波傳播下的屈曲問題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在沖擊載荷作用下彈性直桿的臨界屈曲載荷明顯高于靜態(tài)的。Wang等[16]研究了彈性壓應(yīng)力波作用下直桿的動(dòng)力屈曲問題，導(dǎo)出了包含兩個(gè)特征參數(shù)的一對(duì)特征方程，建立了定量計(jì)算各階動(dòng)力屈曲模態(tài)、相應(yīng)的臨界力參數(shù)和動(dòng)力特征參數(shù)的較嚴(yán)密的理論方法。毛柳偉等[15]對(duì)應(yīng)力波作用下彈性直桿的動(dòng)力分叉屈曲進(jìn)行了研究，提出了一種時(shí)變載荷作用下直桿分叉動(dòng)力屈曲的判別準(zhǔn)則。韓志軍等[14]研究了彈性桿在軸向撞擊下的動(dòng)力屈曲問題，給出了該問題的級(jí)數(shù)解。然而，對(duì)于爆炸、碰撞、流固沖擊等時(shí)變沖擊載荷作用下直桿動(dòng)力屈曲問題，至今沒有一種統(tǒng)一的求解方法。

本文基于應(yīng)力波理論，用半解析半數(shù)值方法對(duì)軸向時(shí)變沖擊載荷作用下的直桿進(jìn)行研究，根據(jù)能量轉(zhuǎn)換率守恒條件導(dǎo)出了求解直桿動(dòng)力學(xué)平衡方程的波前附加約束條件，給出了一種求解時(shí)變載荷作用下直桿彈性動(dòng)力屈曲問題的方法。以三角脈沖載荷作用下的直桿為例，對(duì)其臨界屈曲長(zhǎng)度、屈曲模態(tài)和動(dòng)力特征參數(shù)進(jìn)行了研究，探討了脈沖載荷幅值和載荷持續(xù)時(shí)間對(duì)臨界屈曲長(zhǎng)度和屈曲模態(tài)的影響，并與階躍載荷作用下直桿彈性動(dòng)力屈曲的情況進(jìn)行對(duì)比分析，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]研究結(jié)果吻合良好。

1壓應(yīng)力波在固定端反射前直桿動(dòng)力屈曲的動(dòng)力學(xué)平衡方程和邊界條件

一時(shí)變載荷p(t)，如圖1(a)所示，在t=0時(shí)刻作用到一右端固定的等截面直圓桿的左端。本文研究限于壓應(yīng)力波在固定端反射前發(fā)生的動(dòng)力屈曲。

圖1　作用到桿上的時(shí)變載荷Fig.1 The time-varying load acting on the column

直桿長(zhǎng)度L，截面積A，材料密度ρ，截面慣性矩I，材料彈性模量E。桿中彈性壓應(yīng)力波傳播的速度為[16]

(1)

t時(shí)刻壓應(yīng)力波波陣面在桿中傳播的距離為

L1=ct(t≤L/c)

(2)

如圖1(b)所示，t時(shí)刻桿中壓應(yīng)力波覆蓋區(qū)任意位置x處壓應(yīng)力大小為

(3)

桿失穩(wěn)前保持理想直線狀態(tài)。沿桿軸線方向以桿左端為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系。對(duì)桿微元進(jìn)行動(dòng)力平衡分析得出關(guān)于屈曲位移w的動(dòng)力學(xué)平衡方程

EIw,xxxx+p,xw,x+pw,xx+ρAw,tt=0

(4)

分離變量，將屈曲位移w寫成

w=Y(x)·T(t)

(5)

將式(5)代入式(4)，得出

T,tt-λγ2T=0

(6)

(7)

γ2=EI/ρA

(8)

對(duì)于動(dòng)力失穩(wěn)，應(yīng)有λ=ω2>0，方程(6)的解為

T=C0·eγω(t-tcr)

(9)

式中，tcr為臨界屈曲時(shí)刻，C0為無限小積分常數(shù)。

若受載端為夾支，x=0處邊界條件寫為

Y(0)=0

(10)

Y,x(0)=0

(11)

壓應(yīng)力波未傳到的地方直桿未受擾動(dòng)，x=Lcr(Lcr為臨界屈曲長(zhǎng)度，Lcr=ctcr)處存在如下邊界條件為

Y(Lcr)=0

(12)

Y,x(Lcr)=0

(13)

本問題中存在兩個(gè)待定的參數(shù)，一個(gè)是動(dòng)力特征參數(shù)λ，一個(gè)是臨界屈曲長(zhǎng)度Lcr。但是由方程(7)和邊界條件不足以確定這兩個(gè)參數(shù)的值，需要一個(gè)補(bǔ)充定解條件。

2屈曲臨界時(shí)刻應(yīng)力波波前附加約束方程

桿失穩(wěn)前保持直線狀態(tài)，假設(shè)臨界屈曲時(shí)刻壓桿在應(yīng)力波覆蓋段突然產(chǎn)生一無窮小側(cè)向位移w，如圖2所示。

圖2　臨界屈曲時(shí)刻桿變形示意圖Fig.2 Deformation of the bar at buckling instant

屈曲時(shí)刻由屈曲位移w引起的變形能增量為

(14)

限定屈曲時(shí)刻軸向位移增量u1，應(yīng)變?cè)隽喀?，軸向內(nèi)力增量Nx1，與屈曲前的量u0、ε0、Nx0相比分別為無窮小量，忽略高階小量，由于壓桿縮短，屈曲時(shí)刻載荷做功增量為

(15)

忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣性效應(yīng)，屈曲時(shí)刻動(dòng)能增量為

(16)

由屈曲模態(tài)與屈曲前變形形態(tài)的正交性[16]可知

(17)

(18)

屈曲時(shí)刻由能量守恒定律得到

ΔW=ΔU+ΔK

(19)

式(19)兩端對(duì)t求導(dǎo)，得出能量轉(zhuǎn)化率守恒條件

(ΔW),t=(ΔU),t+(ΔK),t

(20)

由式(5)、(9)、(14)、(15)、(18)、(19)和(20)，化簡(jiǎn)整理得出臨界屈曲時(shí)刻應(yīng)力波前附加約束方程

Y,xx(Lcr)=0

(21)

方程(7)，邊界條件式(10)～(13)，以及波前附加約束條件式(21)構(gòu)成求解動(dòng)力特征參數(shù)λ和臨界屈曲長(zhǎng)度Lcr的完備定解條件。

3軸向時(shí)變載荷作用下直桿彈性動(dòng)力屈曲問題差分解法舉例

聲爆載荷可以近似寫為如下表達(dá)式[17]，載荷形式如圖3所示

(22)

或

(23)

式中，k=pmax/t0

圖3 三角脈沖載荷Fig.3Thetriangularpulseload圖4 tcr時(shí)刻直桿中軸力分布Fig.4Distributionofloadinthecolumnatinstanttcr

假定在臨界時(shí)刻tcr(限定tcr

(24)

將式(27)代入式(7)得屈曲控制方程為

(25)

(26)

假定直桿受載端為夾支，差分格式的邊界條件可寫為

(27)

由式(21)知，波前附加約束條件可寫為

Yn-1=0

(28)

將中心差分式(26)和邊界條件式(27)代入方程式(25)得到n-1個(gè)關(guān)于Y的線性方程組，將方程組整理可寫成如下矩陣形式

[A]Y=[B]Y

(29)

其中，

Y=[Y1Y2…Yn-1]

(30)

(31)

4數(shù)值結(jié)果及分析

4.1臨界屈曲長(zhǎng)度及動(dòng)力屈曲模態(tài)

取一6061鋁合金等截面直圓桿，長(zhǎng)度L=2 000 mm，直徑d=20 mm，材料密度ρ=2.7×103kg/m3，彈性模量E=68.5 GPa。式(28)中，pmax=25 kN，t0=100 μs。差分法中取n=50，可以得到收斂的數(shù)值結(jié)果，計(jì)算得出臨界屈曲長(zhǎng)度Lcr為142 cm，動(dòng)力特征參數(shù)λ的值為1 440。動(dòng)力屈曲模態(tài)如圖5所示(橫坐標(biāo)為臨界屈曲長(zhǎng)度范圍內(nèi)差分節(jié)點(diǎn)序號(hào))，從圖中可以看出，直桿初始屈曲模態(tài)中位移峰值位于1/2倍的臨界屈曲長(zhǎng)度之后的位置。

圖5 pmax=25kN對(duì)應(yīng)的初始屈曲模態(tài)Fig.5Initialbucklingmodecorrespondingtopmax=25kN圖6 pmax=35kN對(duì)應(yīng)的初始屈曲模態(tài)Fig.6Initialbucklingmodecorrespondingtopmax=35kN

4.2載荷峰值值pmax的影響

給定載荷持續(xù)時(shí)間t0=100 μs，改變?nèi)敲}沖載荷峰值pmax的值，計(jì)算臨界屈曲長(zhǎng)度Lcr和動(dòng)力特征參數(shù)λ的值，結(jié)果如表1所示。pmax=35 kN時(shí)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力屈曲模態(tài)如圖6所示。臨界屈曲長(zhǎng)度隨三角脈沖載荷峰值變化趨勢(shì)如圖7所示，從圖中可以看出，載荷持續(xù)時(shí)間一定時(shí)，三角脈沖載荷峰值越大，臨界屈曲長(zhǎng)度越小，屈曲位移峰值越靠近1/2倍的臨界屈曲長(zhǎng)度處。

表1　不同的脈沖載荷峰值對(duì)應(yīng)的

圖7 臨界屈曲長(zhǎng)度隨載荷峰值變化曲線Fig.7Criticalbucklinglengthversuspmax圖8 t0=400μs對(duì)應(yīng)的初始屈曲模態(tài)Fig.8Initialbucklingmodecorrespondingtot0=400μs

4.3載荷持續(xù)時(shí)間t0的影響

給定載荷峰值pmax=25 kN，改變載荷持續(xù)時(shí)間t0的值，計(jì)算臨界屈曲長(zhǎng)度Lcr和動(dòng)力特征參數(shù)λ的值，結(jié)果如表2所示。t0=50 μs時(shí)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力屈曲模態(tài)如圖8所示。臨界屈曲長(zhǎng)度隨載荷持續(xù)時(shí)間變化趨勢(shì)如圖9所示，從圖中可以看出，載荷峰值一定時(shí)，載荷持續(xù)時(shí)間越大，臨界屈曲長(zhǎng)度越大，屈曲位移峰值越靠近1/2倍的臨界屈曲長(zhǎng)度處。

表2　不同的載荷持續(xù)時(shí)間對(duì)應(yīng)的

4.4與階躍載荷下動(dòng)力屈曲的比較

由文獻(xiàn)[16]給出的公式計(jì)算可知上述直桿在幅值為25 kN的階躍載荷下發(fā)生動(dòng)力屈曲的臨界屈曲長(zhǎng)度Lcr的值為146 cm，動(dòng)力特征參數(shù)λ的值為193。階躍載荷下初始動(dòng)力屈曲模態(tài)存在一個(gè)波峰，位于1/2倍的臨界屈曲長(zhǎng)度處，如圖10所示。

在本文中，由表2可以看出，一定峰值(此處為25 kN)三角脈沖載荷要比此幅值階躍載荷作用下的直桿臨界屈曲長(zhǎng)度要小，且隨著k值的減小，臨界屈曲長(zhǎng)度逐漸增大，由圖4、圖5和圖7可以看出其初始屈曲模態(tài)中峰值均位于1/2倍的臨界屈曲長(zhǎng)度之后的位置。當(dāng)k=0時(shí)，載荷變?yōu)殡A躍載荷，計(jì)算求得臨界屈曲長(zhǎng)度Lcr的值為146 cm，動(dòng)力特征參數(shù)λ的值為199，與文獻(xiàn)[16]中公式所得結(jié)果吻合良好。

圖9 臨界屈曲長(zhǎng)度隨載荷持續(xù)時(shí)間變化曲線Fig.9Criticalbucklinglengthversust0圖10 階躍載荷下直桿初始動(dòng)力屈曲模態(tài)Fig.10Theinitialdynamicbucklingmodeofthecolumnsubjecttostepload

5結(jié)論

本文基于應(yīng)力波理論，用半解析半數(shù)值方法對(duì)軸向時(shí)變沖擊載荷作用下的直桿進(jìn)行研究，根據(jù)能量轉(zhuǎn)換率守恒條件導(dǎo)出了求解直桿動(dòng)力學(xué)平衡方程的波前附加約束條件，給出了一種求解時(shí)變沖擊載荷作用下直桿彈性動(dòng)力屈曲問題的方法。

以三角脈沖載荷作用下的直桿為例，求解了其臨界屈曲長(zhǎng)度和初始屈曲模態(tài)，探討了載荷峰值和載荷持續(xù)時(shí)間的影響，并與同等峰值階躍載荷作用下的直桿進(jìn)行對(duì)比，由計(jì)算和對(duì)比分析結(jié)果主要得出以下結(jié)論：

(1) 彈性直桿在一定三角脈沖載荷作用下會(huì)發(fā)生靠近受載端的局部屈曲，直桿初始屈曲模態(tài)中位移峰值位于1/2倍的臨界屈曲長(zhǎng)度之后的位置。載荷持續(xù)時(shí)間一定時(shí)，載荷峰值越大，屈曲位移峰值越靠近1/2倍的臨界屈曲長(zhǎng)度處。載荷峰值一定時(shí)，載荷持續(xù)時(shí)間越大，臨界屈曲長(zhǎng)度越大，屈曲位移峰值越靠近1/2倍的臨界屈曲長(zhǎng)度處。

(2) 直桿在三角脈沖載荷作用下彈性動(dòng)力屈曲的臨界長(zhǎng)度要比在同等峰值階躍載荷作用下的情況要小，這表明直桿中應(yīng)力分布不均勻會(huì)對(duì)其穩(wěn)定性產(chǎn)生不利的影響。直桿彈性動(dòng)力屈曲的臨界長(zhǎng)度受載荷峰值和載荷持續(xù)時(shí)間的影響，載荷持續(xù)時(shí)間一定時(shí)，其臨界屈曲長(zhǎng)度隨載荷峰值的增大而減?。惠d荷峰值一定時(shí)，隨載荷持續(xù)時(shí)間的增大，其臨界屈曲長(zhǎng)度增大，并逐漸接近同等峰值階躍載荷作用下的臨界屈曲長(zhǎng)度。

參 考 文 獻(xiàn)

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Dynamic buckling of elastic columns under axial time-varying impulsive load

HANDa-wei,WANGAn-wen(College of Science, Naval Univercity of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract:The dynamic buckling problem of elastic columns under axial time-varying impulsive load was investigated based on the stress wave theory. A semi-analytical and semi-numerical method was used to solve this problem adding a stress wave front supplementary restraint equation. A straight column under a triangular pulse load was taken as an example. Its critical buckling length, initial buckling modes and dynamic parameters were calculated and the influences of peak value and duration of the pulse load on the critical buckling length and buckling modes were also analyzed. The features of the buckling deformation of the column under the triangular pulse load were summarized and compared with those under a step load. The results agreed well with those in references published.

Key words:dynamic buckling; elastic column; time-varying impulsive load; critical buckling length; stress wave

中圖分類號(hào):O347

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.029

通信作者王安穩(wěn) 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1945年9月生

收稿日期：2014-10-22修改稿收到日期：2015-03-25

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金(11172330)

第一作者 韓大偉 男，博士，1986年11月生