巧用極限法解決“載去相同高度”壓強(qiáng)問題（上）

在學(xué)習(xí)物理時(shí)，極限分析法是比較難運(yùn)用的一種方法，尤其是解壓強(qiáng)問題，同學(xué)們往往難以把握極限分析法解答問題的適用范圍。在解壓強(qiáng)類的問題時(shí)，首先需要抓住的是題干中的變量以及變量的約束范圍，然后根據(jù)壓強(qiáng)定律去規(guī)范出變量的變化范圍，最后再利用極限分析法去分析，這樣就能快速得出答案了。下面將結(jié)合幾道例題來與同學(xué)們一起探討如何運(yùn)用極限分析法解決“截去相同高度”的壓強(qiáng)問題。

例1 如圖1所示，甲、乙兩個(gè)均勻?qū)嵭牡恼襟w分別放置在水平地面上，且它們各自對(duì)地面的壓強(qiáng)相等。若分別在兩個(gè)正方體的上部，沿水平方向截去相同高度后，則甲、乙的剩余部分對(duì)地面的壓強(qiáng)p的大小關(guān)系為（ ）。

A. [p甲p乙] C. [p甲=p乙] D. 無法確定

解析：這道題我們先用常規(guī)方法來解。依據(jù)“需截去相同高度”，則考慮高度h與壓強(qiáng)p的關(guān)系，可選用公式[p=ρ固gh]求解壓強(qiáng)問題，進(jìn)一步審題可知，題意滿足該關(guān)系式的應(yīng)用條件。設(shè)原來甲、乙對(duì)地面的壓強(qiáng)分別為[p′甲]、[p′乙]，高度為[h′甲]、[h′乙]，截去相同高度后，甲、乙對(duì)地面的壓強(qiáng)分別為[p甲]、[p乙]，已知條件：[p′甲=ρ甲gh′甲=p′乙=ρ乙gh′乙]，其中[h′甲>h′乙]，則[ρ甲<ρ乙]（條件1）。截去相同高度[Δh]后，因[h′甲>h′乙]，所以[h甲=h′甲-Δh>h乙=h′乙-Δh]，那么，

[p甲=ρ甲gh甲=ρ甲gh′甲-Δh=p′甲-ρ甲gΔh]——①式，

[p乙=ρ乙gh乙=ρ乙gh′乙-Δh=p′乙-ρ乙gΔh]——②式。

現(xiàn)在比較截去[Δh]后壓強(qiáng)[p甲與p乙]的大小關(guān)系，只需將①式[-]②式，即有[p甲-p乙=（p′甲-p′乙）+ρ乙-ρ甲gΔh]，其中[p′甲-p′乙=0]，根據(jù)條件1，可知[ρ乙-ρ甲gΔh>0]，所以[p甲-p乙>0]，即[p甲>p乙]。故答案選B。

從上面的解答過程可以看出，用常規(guī)方法計(jì)算較為繁瑣，很容易出錯(cuò)，我們不妨試試用極限法來解決這道題。

因“沿水平方向截去相同高度[Δh]”，可以假設(shè)題設(shè)是以[Δh=h乙]去截，使得高度較小的物體截完之后高度為0，則容易判斷剩余部分，[h甲>0]，[h乙=0]。那么，意味著只有甲剩余，乙則沒有了，自然可以得出結(jié)果：[p甲>p乙]。

【小結(jié)】根據(jù)題意，截去相同高度[Δh]，[Δh]值不定，所以截多截少對(duì)問題的結(jié)果并不產(chǎn)生影響，因而索性認(rèn)為它截去的高度正好將高度小的物體截完，如此一來，結(jié)果一目了然。這就是極限法在這道題的運(yùn)用。

例2 甲、乙、丙三個(gè)實(shí)心正方體放在水平地面上，它們對(duì)地面的壓強(qiáng)關(guān)系是[p甲0>p乙0>p丙0]。若在三個(gè)正方體的上部，沿水平方向分別截去相同高度后，剩余部分對(duì)水平地面的壓強(qiáng)關(guān)系是[p甲=p乙=p丙]，則三個(gè)實(shí)心正方體的密度大小關(guān)系是（ ）。

A. [ρ甲>ρ乙>ρ丙] B. [ρ乙>ρ甲>ρ丙] C. [ρ丙>ρ乙>ρ甲] D. [ρ甲>ρ丙>ρ乙]

解析1：應(yīng)用例1的極限法，根據(jù)題意，截去相同的高度，可認(rèn)為是以[Δh=h最小]去截，使高度最小的物體截完，又因?yàn)榻赝旰笫Ｓ嗖糠謱?duì)地面的壓強(qiáng)[p甲=p乙=p丙]，所以[Δh=h甲=h乙=h丙]，意味著甲、乙、丙原來高度一樣。又因?yàn)樗鼈儗?duì)地面的壓強(qiáng)關(guān)系[p甲0>p乙0>p丙0]，因存在壓強(qiáng)與高度關(guān)系，選用關(guān)系式[p=ρ固gh]判斷，其中[g]不變，[h]相同，壓強(qiáng)大的密度大，容易得出結(jié)果：[ρ甲>ρ乙>ρ丙]。故答案選A。

解析2：學(xué)完浮力一章后，由[p=ρ固gh]可知，對(duì)于某種物質(zhì)而言，壓強(qiáng)只與高度[h]有關(guān)，從而推理知：[Δp=ρgΔh]，其中[ρ]、[Δp]、[Δh]分別指物質(zhì)的密度、壓強(qiáng)變化量、高度差。分析題意知，滿足公式[Δp=ρgΔh]的應(yīng)用條件，由[Δp=p大-p小]，且[p甲0>p乙0>p丙0]，[p甲=p乙=p丙]，則[Δp甲>Δp乙>Δp丙]。又因?yàn)閇Δp=ρgΔh]，[Δh]相同，所以容易得出：[ρ甲>ρ乙>ρ丙]。

例3 兩個(gè)完全相同的圓柱形容器中，分別盛有質(zhì)量相等的煤油和水，如圖2所示，已知圖中液體內(nèi)[M]、[N]兩點(diǎn)到容器底部的距離相等，煤油的密度小于水的密度。設(shè)[M]、[N]兩點(diǎn)處的液體壓強(qiáng)分別為[pM]和[pN]，則這兩處的液體壓強(qiáng)大小關(guān)系是（ ）。

A. [pM]小于[pN] B. [pM]等于[pN]

C. [pM]大于[pN] D. 無法判斷

解析：根據(jù)題意，M、N兩點(diǎn)的壓強(qiáng)是由M、N上方的液體產(chǎn)生的，可運(yùn)用公式[p=ρ液gh]，其中[ρ油<ρ水]，但[hM>hN]，使得[pM=ρ油ghM]與[pN=ρ水ghN]大小關(guān)系無法確定。

此時(shí)，我們可以采用極限法來解決。條件已知M、N兩點(diǎn)到容器底部的距離相等，我們可以假想M、N同時(shí)上移至（b）容器的水平面位置，此時(shí)[hM>hN=0]，再由公式[p=ρ液gh]可得，[pM=ρ油ghM>pN=0]。故答案選C。

【小結(jié)】極限法的運(yùn)用，不一定是要從上往下“截”，還可以自下而上地“截”，原則是在保證“截去相同高度”的前提下進(jìn)行，最終結(jié)果是要使得高度最小的部分被截完，出現(xiàn)極值，這樣才便于討論。

例4 如圖3所示，均勻圓柱體甲和盛有液體乙的圓柱形容器放置在水平地面上，甲、乙質(zhì)量相等?，F(xiàn)沿水平方向切去部分甲并從容器中抽取部分液體乙后，甲對(duì)地面的壓強(qiáng)大于乙對(duì)容器底部的壓強(qiáng)。若甲、乙剩余部分的體積分別是[V甲]、[V乙]，則（ ）。

A. [V甲]可能等于[V乙] B. [V甲]一定大于[V乙]

C. [V甲]可能小于[V乙] D. [V甲]一定小于[V乙]

解析：首先要明確“截”的是體積，而不是高度，另外甲是固體，乙是液體，且甲與乙“截”的部分可以不一樣，這還能用極限法嗎？我們?cè)囈辉嚤阒?/p>

依據(jù)題目條件可知，[M甲=ρ甲V甲=M乙=ρ乙V乙]，其中[V甲>V乙]，可知[ρ甲<ρ乙]。題目需討論壓強(qiáng)與體積的關(guān)系，能建立起聯(lián)系的關(guān)系式是[p=ρgh]，且甲、乙均可用該關(guān)系式，要使得[p甲=ρ甲gh′甲>p乙=ρ乙gh′乙]，其中[ρ甲<ρ乙]，因而要求“截”完后[h′甲>h′乙]，又因?yàn)閇S甲>S乙]，所以剩余部分的體積[V甲=S甲h′甲>V乙=S乙h′乙]一定成立。

驗(yàn)證一下，我們一步到位，假想是以[Δh=h乙]截，使得[h′甲>h′乙=0]，顯然可以使[p甲>p乙]，此時(shí)[V甲>V乙]，得證。故答案選B。

【小結(jié)】“截”體積問題，我們也可以轉(zhuǎn)化為“截”高度問題，再巧妙的運(yùn)用極限法，使得解答過程清晰明了。

不過，極限分析法并不是萬能的，比如截“質(zhì)量”問題并不適合采用極限法。這個(gè)內(nèi)容我們下期再來分析。