丟番圖方程x3±1=2pDy2的整數(shù)解

萬(wàn) 飛， 杜先存

(紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院 云南 蒙自 661199)

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丟番圖方程x3±1=2pDy2的整數(shù)解

萬(wàn) 飛， 杜先存

(紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院 云南 蒙自 661199)

丟番圖方程； 奇素?cái)?shù)； 同余； 平方剩余； 遞歸序列； 整數(shù)解

0 引言

丟番圖方程

x3±1=2Qy2(Q是無(wú)平方因子的正整數(shù)),

(1)

1 相關(guān)引理

引理1若r≡5 mod 6為奇素?cái)?shù)，則x2-x+1?0 modr.

證明假設(shè)x2-x+1≡0 modr，則(2x-1)2≡-3 modr，則有Legendre符號(hào)值(-3/r)=1.又r≡5 mod 6，則有(-3/r)=-1，矛盾.

引理2若r≡5 mod 6為奇素?cái)?shù)，(x,y)為x2-3y2=1的整數(shù)解，則x?0 modr.

證明假設(shè)x≡0 modr，則x2-3y2=1兩邊取模r，得-3y2≡1 modr，則有Legendre符號(hào)值(-3/r)=1．又r≡5 mod 6，則Legendre符號(hào)值(-3/r)=-1，顯然矛盾，故x?0 modr．

引理3[9]設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，則丟番圖方程4x4-py2=1只有正整數(shù)解p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3．

2 主要結(jié)論及證明

x3+1=2pDy2,

(2)

在下列條件下僅有平凡解(x,y)=(-1,0)：

(ⅰ)D≡1,5(mod 12)，p≡13 mod 24；

(ⅱ)D≡7,11(mod 12)，p≡7 mod 24．

證明設(shè)(x,y)是方程(2)的整數(shù)解，則gcd(x+1,x2-x+1)=1或3．又x2+x+1?0 mod 2，而由引理1知x2-x+1?0 modri(1≤i≤n)，故式(2)給出下面4種可能的情形：

情形Ⅰx+1=2pDu2，x2-x+1=v2，y=uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅱx+1=2Du2，x2-x+1=pv2，y=uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅲx+1=6Du2，x2-x+1=3pv2，y=3uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅳx+1=6pDu2，x2-x+1=3v2，y=3uv，gcd(u,v)=1．

以下分別討論這4種情形所給的方程(2)的整數(shù)解．

情形Ⅰ:解x2-x+1=v2，得x=0,1，均不適合x+1=2pDu2，故該情形方程(2)無(wú)整數(shù)解．

情形Ⅱ:由于u2≡0,1,4(mod 8)，則由x+1=2Du2，得x=2Du2-1≡-1,2D-1(mod 8)，又由x2-x+1=pv2及p為奇素?cái)?shù)知v為奇數(shù)，則v2≡1 mod 8．

對(duì)于(ⅰ)，因?yàn)镈≡1,5(mod 12)，則有D≡1,5(mod 8)，故x≡±1 mod 8，所以x2-x+1≡1,3(mod 8)；又p≡13 mod 24，則p≡5 mod 8，故pv2≡5 mod 8，則有1,3≡x2-x+1=pv2≡5 mod 8，顯然不成立，由此可知，此情況下情形Ⅱ不成立．

對(duì)于(ⅱ)，因?yàn)镈≡7,11(mod 12)，則有D≡3,7(mod 8)，故x≡5,7(mod 8)，所以x2-x+1≡3,5(mod 8)；又p≡7 mod 24，則p≡7 mod 8，故pv2≡7 mod 8，則有3,5≡x2-x+1=pv2≡7 mod 8，顯然不成立，由此可知，此情況下情形Ⅱ不成立．

綜上,有情形Ⅱ不成立．

情形Ⅲ:由于u2≡0,1,4(mod 8)，則由x+1=6Du2，得x=6Du2-1≡-1,6D-1(mod 8)，又由x2-x+1=3pv2及p為奇素?cái)?shù)知v為奇數(shù)，則v2≡1 mod 8．

對(duì)于(ⅰ)，因?yàn)镈≡1,5(mod 12)，則D≡1,5(mod 8)，故x≡-1,5(mod 8)，則x2-x+1≡3,5(mod 8)；又p≡13 mod 24，則p≡5 mod 8，故3pv2≡7 mod 8，則有3,5≡x2-x+1=3pv2≡7 mod 8，顯然不成立.由此可知，此情況下情形Ⅲ不成立．

對(duì)于(ⅱ)，因?yàn)镈≡7,11(mod 12)，則D≡3,7(mod 8)，故x≡±1 mod 8，則x2-x+1≡1,3(mod 8)；又p≡7 mod 24，則p≡7 mod 8，故3pv2≡3p≡5 mod 8，則有1,3≡x2-x+1=3pv2≡5 mod 8，顯然不成立.由此可知，此情況下情形Ⅲ不成立．

綜上,有情形Ⅲ不成立．

情形Ⅳ:將x+1=6pDu2代入x2-x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(4pDu2-1)2=1,

(3)

則式(3)的一切整數(shù)解可表示為

4pDu2=yn+1．

(4)

由式(4)，得yn≡-1 mod 4．

容易驗(yàn)證下列各式成立：

xn+2=4xn+1-xn;x0=1;x1=2,

(5)

yn+2=4yn+1-yn;y0=0;y1=1,

(6)

x2n+1≡2 mod 4;x2n≡1 mod 2,

(7)

y2n≡0 mod 4;y2n+1≡1,7(mod 8).

(8)

對(duì)遞歸序列(6)取模4，得周期為4的剩余類序列，且僅當(dāng)n≡-1 mod 4時(shí)，有yn≡-1 mod 4，所以只有當(dāng)n≡-1 mod 4時(shí),式(4)才成立．

當(dāng)n≡-1 mod 4時(shí)，令n=4m-1(m∈Z)，則由(4)得，

即

2pDu2=x2m-1y2m.

(9)

由式(5)知,對(duì)于任意整數(shù)m，均有x2m-1≠0，又由式(6)知,僅當(dāng)m=0時(shí)，y2m=0．所以僅當(dāng)m=0時(shí)，x2m-1y2m=0．

m=0時(shí)，由式(4)得，u=0，此時(shí)得出方程(2)的平凡解(x,y)=(-1,0)．

m≠0時(shí)，因gcd(x2m-1,y2m)=gcd(2x2m-3y2m,y2m)=gcd(2x2m,y2m)=2，又由引理2知,x2m-1?0 modri(1≤i≤n)，所以由式(7)、(8)得，式(9)給出以下2種可能的分解：

x2m-1=2a2;y2m=4pDb2;u=2ab;gcd(a,b)=1,

(10)

x2m-1=2pa2;y2m=4Db2;u=2ab;gcd(a,b)=1.

(11)

分解成式(11)時(shí):由y2m=4Db2得，2xmym=4Db2，即xmym=2Db2．又gcd(xm,ym)=1，而由引理1知x2m-1?0 modri(1≤i≤n)，則由式(7)、(8)得

xm=2c2，ym=Dd2，b=cd，

仿分解式(10)時(shí)的證明,此時(shí)，方程(9)無(wú)整數(shù)解，則方程(2)無(wú)整數(shù)解．

綜上有,情形Ⅳ給出方程(2)的平凡解(x,y)=(-1,0)．

綜上所述，定理1成立．

仿照定理1的證明，可得定理2.

x3-1=2pDy2,

在下列條件下僅有平凡解(x,y)=(1,0)：

(ⅰ)D≡1,5(mod 12)，p≡7 mod 24.

(ⅱ)D≡7,11(mod 12)，p≡13 mod 24．

3 小結(jié)

[1] 柯召，孫琦．關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2[J]．中國(guó)科學(xué)，1981,24(12)：1453-1457．

[2] 柯召，孫琦．關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2[J]．四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1981,18(2)：1-5．

[3] 周偉平．關(guān)于丟番圖方程x3+1=2py2的一個(gè)注記[J]．安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010,16(1)：14-15．

[4] 黃壽生．關(guān)于指數(shù)Diophantine方程x3-1=2py2[J]．?dāng)?shù)學(xué)研究與評(píng)論，2007, 27(3)：664-666．

[5] 管訓(xùn)貴．關(guān)于Diophantine方程x3±1=2py2[J]．云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012,21(6)：438-441．

[6] 杜先存，孫映成，萬(wàn)飛．關(guān)于丟番圖方程x3±1=3·2αpD1y2[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014,44(6)：255-258．

[7] 張海燕，王連芳．關(guān)于丟番圖方程x3±1=2Dy2[J]．哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1997,2(6)：85-87．

[8] 杜先存，孫映成，萬(wàn)飛．關(guān)于不定方程組x±1=6pqu2,x2?x+1=3v2的整數(shù)解[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2014，46(1)：25-27．

[9] 曹珍富．丟番圖方程引論[M]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012．

On Integer Solution of the Diophantine Equationx3±1=2pDy2

WAN Fei, DU Xian-cun

(CollegeofTeacherEducation，HongheUniversity，Mengzi661199，China)

Diophantine equation; odd prime; congruence; quadratic remainder; recursive sequence; integer solution

2014-10-11

云南省教育廳科研項(xiàng)目，編號(hào)2014Y462；江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題，編號(hào)D201301083；喀什師范學(xué)院校級(jí)課題，編號(hào)(14)2513.

萬(wàn)飛(1969-)，女，云南建水人,副教授，主要從事初等數(shù)論及數(shù)學(xué)教育研究,E-mail:mzwanfei@163.com；通訊作者：杜先存(1981-),女,云南鳳慶人,講師,主要從事初等數(shù)論及數(shù)學(xué)教育研究,E-mail:liye686868@163.com.

O156

A

1671-6841(2015)01-0042-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.009