數(shù)值積分算法研究

尹雪紅

【摘 要】本文介紹了求解數(shù)值積分的復(fù)合求積公式，并將龍貝格算法進(jìn)行改進(jìn)，并用MATBLE對(duì)三個(gè)公式進(jìn)行編程，在精度及算法上進(jìn)行了比較，并制作出用戶圖形可視化界面。

【關(guān)鍵詞】龍貝格算法；復(fù)合辛普森公式；復(fù)合梯形公式；MATLAB

一、復(fù)合求積公式

當(dāng)積分區(qū)間[a，b]較大時(shí)，直接使用牛頓-柯特斯公式所得積分近似值的精確度是很難得到保證的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中往往采用復(fù)合求積的方法，如；復(fù)合梯形公式，復(fù)合辛普森公式，龍貝格算法。這幾個(gè)公式具有更大實(shí)用價(jià)值的數(shù)值積分公式。

（一）復(fù)合梯形公式介紹

復(fù)合梯形公式：. 若將所得積分近似值記為Tn，并令則上式即為：

，

若f（x）在積分區(qū)間[a，b]上分別具有二階，四階，六階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為：， 其中， 且當(dāng)h充分小時(shí)，有 .

（二）復(fù)合辛普森公式介紹

仿照復(fù)合梯形公式推導(dǎo)過程可得復(fù)合辛普森公式即：

.

若f（x）在積分區(qū)間[a，b]上分別具有二階，四階，六階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合辛普森公式的余項(xiàng)為 ， 其中， 且當(dāng)h充分小時(shí)，有.

（三）龍貝格求積法公式的簡(jiǎn)化

一般地為了便于上機(jī)，記 。

記號(hào)：其中k代表積分區(qū)間的二分次數(shù)，m代表近似值所在序列的性質(zhì)。引入上面的記號(hào)后，龍貝格算法可統(tǒng)一表示成

二、龍貝格算法改進(jìn)

龍貝格算法是在積分區(qū)間逐次分半的過程中，對(duì)用復(fù)合梯形法產(chǎn)生的近似值進(jìn)行加權(quán)平均，以獲得準(zhǔn)確度較高的近似值的一種方法。但是如果用的最佳一致逼近多項(xiàng)式來代替被積函數(shù)可能會(huì)得到更高的數(shù)值積分計(jì)算公式，本文就是在此思想的基礎(chǔ)上對(duì)拋物差值預(yù)處理法作了改進(jìn)，從而得出了比龍貝格算法及拋物差值預(yù)處理法更高的方法。

首先，給出最佳一致逼近多項(xiàng)式的依據(jù)性定理

（二）數(shù)值分析

從上表可以看出，龍貝格算法其實(shí)是在復(fù)合辛普森公式遞推的基礎(chǔ)上生成的一種精度高，而且收斂速度也比較快的一種算法。而改進(jìn)的拋物插值法比龍貝格法和拋物插值法在相同的計(jì)算步數(shù)下精度都要高，至于拋物插值法和改進(jìn)的拋物差值法第四步的誤差變大是由舍入誤差引起的。

四、結(jié)束語

本文講了三個(gè)求積公式：復(fù)合梯形公式，復(fù)合辛普森公式，龍貝格算法，它們的共同點(diǎn)都是等距節(jié)點(diǎn)下的求積公式。復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式與龍貝格算法相比較，雖然其精度通常較差且計(jì)算工作量較大，但由于使用方便，在計(jì)算積分近似值時(shí)，也常常用到它們。最后得出改進(jìn)的拋物插值法比龍貝格法和拋物插值法在相同的計(jì)算步數(shù)下精度都要高。

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