彩色半色調(diào)墨點邊緣羽化的Clapper-Yule擴展模型

何曉敏，王穎，柯能，張逸新

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇無錫　214122;2.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫　214122)

?

彩色半色調(diào)墨點邊緣羽化的Clapper-Yule擴展模型

何曉敏1，王穎1，柯能1，張逸新2*

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇無錫214122;2.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫214122)

摘要:研究了墨點邊緣發(fā)生羽化現(xiàn)象(非二值理想墨點)對印品光譜反射率的影響，為色彩預(yù)測模型的理論研究提供一個新的思路。采用二維高斯函數(shù)模擬墨點表面的形態(tài)，利用多重積分計算出墨點羽化后的體積，根據(jù)體積的恒常性即羽化前后墨點體積相等，推導(dǎo)出含邊緣坡度因子σ的網(wǎng)點面積率以及含墨層相對厚度因子的油墨透射率，由此建立了一個Clapper-Yule擴展模型。模型的數(shù)值模擬結(jié)果表明墨點邊緣油墨鋪展所導(dǎo)致的網(wǎng)點物理擴大，增加了油墨對光的吸收，從而降低了最終的光譜反射率。采用Clapper-Yule分程模型對顏色進行預(yù)測時需考慮墨點邊緣羽化所帶來的物理網(wǎng)點擴大，該模型適用于彩色半色調(diào)印品的顏色預(yù)測與控制。

關(guān)鍵詞：印刷色彩學(xué)；Clapper-Yule模型；光譜反射率；墨點邊緣羽化

1引言

在上述模型[1-9]的建立過程中，通常都假設(shè)半色調(diào)圖像的墨點是厚度均勻且邊緣銳利的柱體，然而在實際的印品中，油墨層的厚度往往是隨著離開墨點中心的距離增大而非線性減小?？紤]到這種現(xiàn)象，Hersch和Brichon[10]等人通過半色調(diào)Clapper-Yule光譜模型導(dǎo)出單色印刷及多色疊印時的相對厚度因子d；Mathieu和Hersch[11]將經(jīng)典的二值(非紙即墨)半色調(diào)假設(shè)擴展到連續(xù)(墨點邊緣羽化)半色調(diào)墨點，修正了Yule-Nielsen模型以及經(jīng)典的Clapper-Yule模型，建立了連續(xù)半色調(diào)光譜預(yù)測模型，但是該模型未涉及光在紙內(nèi)傳播路程存在長短不一的問題。

針對上面的問題，本文在包含光的長短程傳播的分程Clapper-Yule模型基礎(chǔ)上考慮了墨點邊緣鋪展以及墨層透射率變化對印品光譜反射率的影響，將二維高斯函數(shù)作為邊緣羽化后的墨點的表面函數(shù)，利用多重積分計算出墨點羽化后的體積，根據(jù)體積的恒常性即羽化前后墨點體積相等，推導(dǎo)出含邊緣坡度因子σ的網(wǎng)點面積率及墨層透射率，由此建立了新的色彩預(yù)測模型并通過數(shù)值模擬實驗表明了新模型具有較高的色彩預(yù)測精度。

2墨點邊緣羽化模型

在實際印刷中因機械作用以及油墨的流平特性，油墨在紙張上鋪展造成網(wǎng)點機械擴大以及墨層厚度隨著偏離墨點中心而非線性減小的墨點邊緣羽化[12]，圖1是的邊緣羽化前后墨點的平面示意圖[11]。

Fig.1The ichnography of ink dot before and after the feathering

作為近似，本文采用二維高斯函數(shù)來模擬墨點邊緣的羽化現(xiàn)象，從而構(gòu)成墨點表面形態(tài)與墨層厚度的函數(shù)關(guān)系。在理想的二值半色調(diào)印刷品中，油墨的網(wǎng)點面積率用理論網(wǎng)點面積率a表示。假設(shè)加網(wǎng)線數(shù)為L，則網(wǎng)點大小Sdot與網(wǎng)點面積率a和加網(wǎng)線數(shù)L有公式1的數(shù)學(xué)關(guān)系。圖2所示的是不同加網(wǎng)線數(shù)對應(yīng)的網(wǎng)點大小。

(1)

Fig.2　Ideal dot sizes of different screen rulings

f0(x,y)=

(2)

考慮到邊緣發(fā)生羽化現(xiàn)象，半色調(diào)網(wǎng)點的墨層厚度與空間位置的關(guān)系采用二維高斯函數(shù)來近似描述，如公式3所示。

(3)

其中參數(shù)σ取決于墨點邊緣的平緩程度，σ越大則

坡度越平緩。坡度因子σ是一個使預(yù)測值與實驗值差值最小的實驗調(diào)整參數(shù)，本文中σ=0.41。那么羽化后的半色調(diào)網(wǎng)點墨層厚度Dσ(x,y)為二值半色調(diào)墨點的固定厚度與邊緣羽化半色調(diào)網(wǎng)點的表面函數(shù)二者的乘積，如公式4所示。

(4)

(5)

根據(jù)朗伯比爾定律，我們知道墨層厚度會影響油墨的透射率，在本文研究的半色調(diào)墨點模型中，由于墨點的邊緣發(fā)生了一定的油墨鋪展，導(dǎo)致墨點內(nèi)不同位置的墨層厚度不同，其透射率發(fā)生相應(yīng)改變。邊緣發(fā)生油墨鋪展的半色調(diào)網(wǎng)點的透射率T(x,y)可由公式6計算而得。

(6)

3墨點邊緣羽化的物理網(wǎng)點擴大

(7)

根據(jù)墨點體積的恒常性，即理想情況下墨點的體積和產(chǎn)生物理擴大后墨點的體積是相等的，也即Vσ=V0，如公式8所示；通過數(shù)學(xué)運算，由此我們可以推導(dǎo)出物理網(wǎng)點擴大后網(wǎng)點的面積大小，如公式9所示。

(8)

(9)

(10)

(11)

將公式10和公式11的網(wǎng)點面積大小代入公式9，由此可以得到考慮了物理網(wǎng)點擴大的網(wǎng)點面積率和理論網(wǎng)點面積率之間的關(guān)系，如公式12所示。圖3所示的是加網(wǎng)線數(shù)為75 lpi時，不同情況下網(wǎng)點面積的大小。

(12)

Fig.3　Gain of dot size with screen ruling of 75 lpi

4單色Clapper-Yule擴展模型

考慮到墨點邊緣鋪展(即羽化)所導(dǎo)致的物理網(wǎng)點擴大會增加油墨對光的吸收，從而影響最終的反射率，我們將這個因素引入到Clapper-Yule分程模型中，類似于Hersch和Emmel的討論，我們假設(shè)有b部分光[13]從某個網(wǎng)點入射并從該網(wǎng)點出射(即短程部分)，(1-b)部分的光按經(jīng)典Clapper-Yule模型的擴散原理進行傳播(即長程部分)。

4.1長程光譜預(yù)測模型

(13)

剩下的光繼續(xù)向下傳播，則第二次出射的光量為：

(14)

第n次出射的光量為：

(15)

利用等比數(shù)列求和公式我們可以得到長程部分的光譜反射率為

(16)

4.2短程光譜預(yù)測模型

考慮到光在紙張內(nèi)部傳播光程的長短，短程傳播的入射光從某一墨點入射并從該入射區(qū)域出射，則該部分的光入射并第一次出射的光量為

(17)

第二次出射的光量為：

(18)

第n次出射的光量為：

(19)

那么短程部分的光譜反射率為

(20)

對于單色半色調(diào)圖像，考慮墨點邊緣羽化的Clapper-Yule擴展模型如公式21所示。

(21)

將公式12和公式6代入公式21中，由此可計算得到考慮因墨點邊緣羽化而產(chǎn)生的物理網(wǎng)點擴大時的單色半色調(diào)Clapper-Yule分程模型，如公式22所示。

(22)

5多色Clapper-Yule擴展模型

5.1不考慮油墨疊印擴展的等效網(wǎng)點面積率

(23)

5.2考慮油墨疊印擴展的等效網(wǎng)點面積率

如果考慮油墨疊印擴展的話，假設(shè)三種油墨CMY疊印的情況，如果先單獨印青，然后把品疊印在青墨上，再把黃疊印在青上，最后黃和品一起疊印在青上；或是先單獨印品，青疊印在品上，黃疊印在品上，黃和青一起疊印在品上；或者先單獨印黃，青疊印在黃上，品疊印在黃上，青和品一起疊印在黃上。為了獲得每一種原色油墨的有效網(wǎng)點面積率c′、m′、y′，首先必須知道其相應(yīng)的加權(quán)函數(shù)如青墨的fc、fc/m、fc/y和fc/my，這些函數(shù)關(guān)系取決于所用油墨是單獨印在紙上，還是印在另一色油墨上或是印在另兩色油墨上；主要根據(jù)實際印刷中采用的油墨、紙張經(jīng)實驗而定。就現(xiàn)在討論的三種油墨CMY而言，考慮疊印網(wǎng)點擴大后的有效網(wǎng)點面積率為c′、m′、y′，并且假設(shè)各原色油墨的印刷是相互獨立的，不會互相影響。印刷三原色油墨的有效網(wǎng)點面積率的計算方程如公式24至26所示。

青墨的有效網(wǎng)點面積率：

(24)

品墨的有效網(wǎng)點面積率：

(25)

黃墨的有效網(wǎng)點面積率：

(26)

具體計算步驟是將c′、m′、y′的初始值設(shè)為三原色油墨考慮了物理網(wǎng)點擴大后的網(wǎng)點面積率ac(σ)、am(σ)、ay(σ)，然后用數(shù)值分析中的迭代算法，一般經(jīng)4到5次的迭代運算等式逐漸穩(wěn)定，此時的網(wǎng)點面積率即為油墨的有效網(wǎng)點面積率c′、m′、y′。然后代入上一節(jié)中的公式23中即可計算出各疊印顏色的等效網(wǎng)點面積率，即ac′(σ)、am′(σ)、ay′(σ)、ar′(σ)、ag′(σ)、ab′(σ)、ak′(σ)、aw′(σ)。

這種在多色疊印時既考慮物理網(wǎng)點擴大又考慮油墨疊印擴大的情況，計算非常復(fù)雜，不便于使用；因此在本文的數(shù)值實驗研究中未考慮油墨疊印擴大的情況。

5.3多色疊印墨層的透射率

TAB(x,y)=

(27)

推廣到更一般的形式，如公式28所示。

(28)

5.4多色半色調(diào)Clapper-Yule擴展模型

三色油墨印刷時，考慮到疊印網(wǎng)點面積率以及墨層透射率的變化，將上節(jié)中得出的公式23和28代入到單色模型，即公式22中，即可得到三色半色調(diào)印刷的光譜預(yù)測模型，如公式29所示。

(29)

6數(shù)值實驗與模擬

本節(jié)主要通過數(shù)值實驗對比新模型、分程Clapper-Yule模型和經(jīng)典Clapper-Yule模型的預(yù)測光譜值與實際測量值之間的色差來說明問題。由于自身實驗條件受限，在驗證過程中所涉及的大量實驗數(shù)據(jù)均來自于文獻[14]，本文主要驗證了新模型對CMY三色油墨單獨印制的印品的色彩預(yù)測能力。

由于墨層透射率是與墨點厚度有關(guān)的參數(shù)，如公式6所示。而考慮了墨點邊緣羽化情況下的墨點厚度在前文中已有分析，公式4是利用二維高斯函數(shù)來模擬邊緣羽化墨點的表面形態(tài)，考慮到計算的復(fù)雜度，本文將考慮墨點邊緣羽化后的墨點厚度近似為公式30。

(30)

其中d是理想的二值半色調(diào)網(wǎng)點的厚度，假設(shè)墨點厚度d為一個單位高度，則d′為邊緣羽化后墨點的相對高度；σ是表示墨點邊緣坡度的實驗參數(shù)，當(dāng)坡度因為調(diào)整0.41時，墨點相對厚度d′隨網(wǎng)點面積率的變化如圖4所示。相同網(wǎng)點面積率時，加網(wǎng)線數(shù)越大的墨點厚度越大；網(wǎng)點面積率越大的墨點厚度越小。

Fig.4　Ink thickness and screen rulings

為了更好地研究由墨點邊緣羽化導(dǎo)致的物理網(wǎng)點擴大以及透射率的變化對模型光譜反射率的影響，通過數(shù)值模擬，計算CMY三色不同網(wǎng)點面積率時新模型、經(jīng)典Clapper-Yule模型、Clapper-Yule分程模型與實際測量的光譜反射率，其驗證結(jié)果如圖5至圖10所示。并計算了各預(yù)測模型與實際測量值之間的色差，如表1所示。

Fig.5The spectral reflectance of models and actual prints at C25%

Fig.6The spectral reflectance of models and actual prints at C50%

Fig.7The spectral reflectance of models and actual prints at M25%

Fig.8The spectral reflectance of models and actual prints at M50%

Fig.9The spectral reflectance of models and actual prints at Y25%

Fig.10The spectral reflectance of models and actual prints at Y50%

Tab.1　The comparison of color differenceΔE*ab among models

以單色CMY油墨印刷為例，我們得到了三個模型(新模型、分程Clapper-Yule模型以及經(jīng)典Clapper-Yule模型)以及參考文獻中的實際測量值在不同網(wǎng)點面積率(25%和50%)時的光譜反射率曲線，通過對比曲線以及色差值我們可以得到以下結(jié)論。

1.經(jīng)典Clapper-Yule模型的預(yù)測光譜反射率明顯低于實際測量值，驗證了經(jīng)典Clapper-Yule模型的預(yù)測光譜偏暗的缺陷。

2.分程Clapper-Yule模型在經(jīng)典Clapper-Yule模型的基礎(chǔ)上將光分為兩部分，通過分程系數(shù)b修正了光的傳播。通過以上的光譜反射率曲線圖我們也可以看出分程Clapper-Yule模型的預(yù)測值明顯改善了經(jīng)典模型預(yù)測偏暗的缺陷，但與實際測量值還是存在較大的差距，尤其對Y25%以及Y50%印品的光譜反射率預(yù)測效果不好。

3.本文中提出的新模型在分程Clapper-Yule模型的基礎(chǔ)上考慮了墨點非邊緣羽化的現(xiàn)象，由于墨點邊緣鋪展加大了油墨對光的吸收，一定程度上降低了光譜反射率。根據(jù)我們的數(shù)值模擬實驗，明顯看出新模型的預(yù)測值進一步的向?qū)崪y值靠近，說明新模型具有較高的預(yù)測精度，同時這一預(yù)測趨勢也與文獻[11]的預(yù)測結(jié)果相一致，進一步說明了新模型的合理性及可行性，為研究墨點邊緣羽化提供了新的研究思路。

7結(jié)論

本文采用二維高斯函數(shù)模擬墨點表面的形態(tài)，利用多重積分計算出墨點羽化后的體積，根據(jù)體積的恒常性即羽化前后墨點體積相等，推導(dǎo)出包含邊緣坡度因子σ的網(wǎng)點面積率以及含墨層相對厚度因子的油墨透射率，由此建立一個新的Clapper-Yule擴展模型。數(shù)值實驗結(jié)果表明，新模型既修正了經(jīng)典Clapper-Yule模型預(yù)測光譜反射率偏暗的缺陷，又彌補了分程Clapper-Yule模型未考慮墨點邊緣羽化而導(dǎo)致的物理網(wǎng)點擴大的問題。我們的研究指出在采用Clapper-Yule分程模型對印刷品的顏色進行預(yù)測時需考慮墨點邊緣的羽化，本文研究的結(jié)論為檢測顏色、管理色彩等領(lǐng)域提供了新的思路。

參考文獻

[1]Rogers G.A generalized Clapper-Yule model of halftone reflectance[J].Color Res Appl,2000,25:402-407.

[2]Zhang Yixin,Zang Dongjuan,Ge Jinghuan.Reflectance model for color halftone images[J].Acta Photonica Sinca,2007,36:339-341.

[3]王麒,張逸新.商標(biāo)印刷色彩預(yù)測Clapper-Yule模型[J].包裝工程,2013,34(15):131-134.(Wang Qi,Zhang Yixin.Clapper-Yule model for color prediction in logo printing[J].Pack Eng,2013,34(15):131-134.)

[4]Clapper F R,Yule J A C.Effect of multiple internal reflections on the densities of halftone prints on paper[J].J Opt Soc Am,1953,43:600-603.

[5]Hébert M,Hersch R D.Extending the Clapper-Yule model to rough printing supports[J].J Opt Soc Am,2005,22:1952-1967.

[6]Hersch R D.Spectral prediction model for color prints on paper with fluorescent additives[J].Appl Opt,2008,47:6711-6722.

[7]王慶娟,張逸新,田東文，等.基于熒光基Clapper-Yule光譜模型的墨層厚度變化預(yù)測[J].包裝工程,2011,32(5):90-93.(Wang Qingjuan,Zhang Yixin,Tian Dongwen,etal.Prediction of ink thickness variation based on fluorescent Clapper-Yule spectral model[J].Pack Eng,2011,32(5):90-93.)

[8]Hersch R D,Emmel P,Collaud F.Spectral reflection and dot surface prediction models for color halftone prints[J].Electron Imag,2005,14:033001.

[9]田東文,張逸新,王慶娟.雙面半色調(diào)圖像的光譜反射率色彩精確預(yù)測模型[J].光子學(xué)報,2010,39(11):1982-1987.(Tian Dongwen,Zhang Yixin,Wang Qingjuan.Color precise prediction model of spectral reflectance for recto-verso halftone images[J].Acta Photonica Sinica,2010,39(11):1982-1987.)

[10]Hersch R D,Brichon M,Bugnon T,etal.Deducing ink thickness variations by a spectral prediction model[J].Color Res Appl,2009,34:432-442.

[11]Hébert M,Hersch R D.Analyzing halftone dot blurring by extended spectral prediction models[J].J Opt Soc Am,2010,A27:6-12.

[12]王琪,周小凡.基于網(wǎng)點結(jié)構(gòu)形態(tài)的印刷色彩再現(xiàn)研究[J].包裝工程,2012,33(23):109-113.(Wang Qi,Zhou Xiaofan.Research of printing color reproduction based on dot structure form[J].Pack Eng,2012,33(23):109-113.)

[13]徐詠馳,周世生,徐錦林.分程Clapper-Yule模型中分程系數(shù)與波長的關(guān)系[J].機械科學(xué)與技術(shù),2014,33(5):677-681.(Xu Yongchi,Zhou Shisheng,Xu Jinlin.The relationship between the propagation distance coefficient and the wavelength in the long and short distance Clapper-Yule model[J].Mechanic Sci & Techno for Aerospace Eng,2014,33(5):677-681.)

[14]孟婕.印刷中顏色預(yù)測模型的研究[D].武漢:武漢大學(xué),2005.(Meng Jie.Prediction model of printing color[D].Wuhan:Wuhan University,2005.)

Extending the Clapper-Yule Spectral Reflectance Model of Color Halftone Image with the Feathering of Ink Dot Edge

HE Xiao-min1,WANG Ying1,KE Neng1,ZHANG Yi-xin2*

(1.SchoolofInternetofThings,JiangnanUniversity,Wuxi214122,China;2.SchoolofScience,JiangnanUniversity,Wuxi214122,China)

Abstract:This paper investigates the effect of dot edge feathering (non-bilevel halftone image) on the spectral reflections,which provides a new angle of prediction model theory.The new extended Clapper-Yule model has been researched by introducing the two-dimensional Gaussian function to describe the surface of irregular ink dot,figuring out the volume of ink dot by multiple integral and deducing the dot area fraction related to edge gradient parameter σ and the ink layer transmittances related to ink relative thickness parameter,according to the equality of ink volume before and after the feathering.The numerical simulation of new model shows that the feathering of ink dot edge has caused the physical dot gain,the increases the absorption of light by the ink so decreases the ultimate spectral reflections.Using the branch-path Clapper-Yule model to predict the reflections must take the physical dot gain caused by the feathering of ink dot edge into account,and the new extended model can be applied to the color control of halftone images.

Key words:science of printing color; extended Clapper-Yule model; spectral reflections; dot edge feathering

中圖分類號：TS801.3；TS807

文獻標(biāo)志碼：A

doi:10.13883/j.issn1004-5929.201601012

作者簡介：何曉敏(1990-)，女，福建邵武人，在讀碩士，主要研究方向色彩預(yù)測建模.E-mail:769860400@qq.com通訊作者：張逸新(1956-),男，江蘇無錫人，教授，主要研究方向空間量子光通信、太陽能系統(tǒng)和印刷質(zhì)量控制數(shù)學(xué)建模.E-mail:zyx@jiangnan.edu.cn

收稿日期：2015-04-09; 修改稿日期:2015-04-22

文章編號：1004-5929(2016)01-0062-08