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    數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學解題中的應用

    2016-04-17 05:59:09佳木斯市第三中學劉春雷
    黑龍江教育(教育與教學) 2016年5期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)中學數(shù)學數(shù)形

    ■佳木斯市第三中學劉春雷

    數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學解題中的應用

    ■佳木斯市第三中學劉春雷

    數(shù)形結(jié)合思想起源于古希臘,歐幾里得的《幾何原本》中對此有所提及;十七世紀,笛卡爾建立平面直角坐標系并發(fā)表了《幾何學》;再后來,費馬用代數(shù)方法研究幾何學,著成《平面與立體軌跡引論》,從此數(shù)形結(jié)合思想被重視.我國在公元前十五世紀的甲骨文中對數(shù)形結(jié)合思想也有所記載;大約在公元前二世紀左右,我國已經(jīng)記載了勾股定理;祖沖之所得π的結(jié)果比歐洲早一千年.數(shù)形結(jié)合思想的應用非常廣泛,仍有很大的研究空間.數(shù)形結(jié)合思想用畫圖的方法來解決代數(shù)問題,用數(shù)字、公式來解決幾何問題,使代數(shù)的繁瑣問題變換成圖形,更加直觀明了,使復雜的圖形變換成數(shù)字,更加具體化,結(jié)果也更加準確.目前國外的課本注重數(shù)形結(jié)合思想,強調(diào)用心理解然后應用,使學生將此思想變成一種習慣與意識,并能夠直接運用.而在我國,數(shù)形結(jié)合思想在課本中體現(xiàn)得很少,基本由教師結(jié)合具體題型進行具體分析、傳授,只是作為一種有利的解題工具出現(xiàn).然而,在新課改的背景下,我國的數(shù)學教學越來越注重培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合能力,也有越來越多的人開始研究數(shù)形結(jié)合思想.著名的數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過:“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛,數(shù)無形時少直覺,形無數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休,切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系莫分離。”羅新兵在文章《數(shù)形結(jié)合的解題研究——表征的視角》中對該思想大加贊揚,同時也提出高中生存在的普遍現(xiàn)狀:往往“以形助數(shù)”,在幾何問題中通過直角坐標系向量使問題代數(shù)化,卻往往忽略幾何圖形本身的定義和性質(zhì),這是應該注意的.

    本文將從兩個方面來研究數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用:一方面是以形助數(shù),按照中學課本知識的順序,用幾何的方法來對典型例題進行解答;另一方面是以數(shù)輔形,利用數(shù)學公式來解決幾何問題.

    一、“以形助數(shù)”思想在中學數(shù)學解題中的應用

    所謂的“以形助數(shù)”就是將所給出題目中的文字語言翻譯成圖形語言,通過仔細研究圖形的特點,發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系,然后再進行分析計算.

    1.“以形助數(shù)”在集合問題中的應用

    根據(jù)集合所涉及的元素的特點,可以利用韋恩圖或者數(shù)軸來解決.

    通常在集合韋恩圖中,用長方形來表示全集,用圓來表示集合.集合與集合的關(guān)系表現(xiàn)為兩圓的位置關(guān)系,兩個圓相交的意思是有公共的元素,未相交部分為各自的元素,兩個圓相交一點說明有一個相同的元素,兩個圓相離說明沒有相同的元素.

    例1全集U={a,b,c,d,e},如果A∩B=,并且(CuA)∩B=j5i0abt0b,(CuA)∩(CuB)={a,e},則元素c在哪?

    解:此題涉及5個集合,用常規(guī)方法解題比較復雜,用韋恩圖則簡單得多.見圖1.

    A∩B=說明b為A,B的公共部分;(CuA)∩B=j5i0abt0b說明d?A且d∈B;(CuA)∩(CuB)={a,e}說明a,e?A且a,e?B,所以c?B且c∈A,即圖中陰影部分.

    圖1

    例2某班有60名學生,會跳舞的有30人,會唱歌的有42人,既會唱歌又會跳舞的有14人,既不會跳舞又不會唱歌的有多少人?

    解:設U={60名學生},M={會跳舞的學生},N={會唱歌的學生},M∩N={既會跳舞又會唱歌的學生}.見圖2.

    圖2

    不會唱歌也不會跳舞的學生有60-16-14-28=2人.

    當用數(shù)軸來解決集合問題時,一般情況下,在數(shù)軸上畫出幾個解,并通過不等號的方向來畫出解集,交集即二者的公共部分,無公共部分即沒有交集,為空集.

    2.“以形助數(shù)”在解方程問題中的應用

    在中學數(shù)學中,方程主要包括兩個部分,分別為一元二次方程和二元一次方程,接下來將用“以形助數(shù)”法來解決相關(guān)方程問題.

    一元二次方程的一般式為ax2+bx+c=0,我們可以利用方程圖像與坐標軸的位置關(guān)系來分析方程解的情況.若方程圖像與x軸有兩個交點,即該方程有兩個不相等的實數(shù)根;若方程圖像與x軸有一個交點,則說明該方程有兩個相等的實數(shù)根;若方程圖像與x軸沒有交點,則該方程在實數(shù)域內(nèi)沒有實數(shù)根.

    例3解方程(3-x)2+x2=5.

    解:通過列表描點連線的方法,畫出x2-3x+2=0的圖像,該方程與x軸相交,有兩個交點,坐標分別為(1,0),(2,0).見圖3.

    圖3

    所以方程的解就是(1,0),(2,0),

    解:在坐標系上畫出兩條直線,見圖4,兩直線平行,所以該方程組沒有解.

    3.“以形助數(shù)”在解不等式問題中的應用

    解不等式的時候通常先把不等號換成等號,求出等式的解,然后畫出兩個函數(shù)的圖像,依次寫出范圍內(nèi)兩函數(shù)的大小關(guān)系,那些滿足不等號的即為不等式的解.

    例5求(x-1)2>x中x的取值范圍.

    解:先求出(x-1)2=x的值為y1=(x-1)2與y2=x的圖像,見圖5.

    圖5

    解不等式問題時,可簡記口訣:“從上到下,從右到左,奇次根穿過,偶次根穿不過”.

    二、“以數(shù)輔形”思想在中學數(shù)學解題中的應用

    “以數(shù)輔形”是指在一些幾何問題中,運用數(shù)與形結(jié)合的觀點去考慮問題,將形向數(shù)轉(zhuǎn)化,從而解決問題.

    1.“以數(shù)輔形”在平面幾何問題中的應用

    在解決一些基礎圖形,如三角形、四邊形、圓等復雜的長度和角度的問題時,我們一般利用“以數(shù)輔形”思想,借助數(shù)學公式來解決.

    例6 AB垂直于地面,影子恰好在CD和BC上(見圖6),如果CD與水平面成45°,

    圖6

    解:此題有兩種解法.

    (1)三角形中角和邊的公式

    做一條輔助的線,延長AD至與水平面交F點,過D點做DE⊥CF,垂足為E.因為∠DCE=45°,∠A=60°,

    (2)相似三角形

    2.“以數(shù)輔形”在立體幾何問題中的應用

    解決立體幾何問題,當無法直接看出點線面之間的關(guān)系時,可以用代數(shù)向量的方法進行求解,其思路簡單,只須建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?,寫出每一點的坐標,再根據(jù)公式代入求解.

    例7 PD⊥正方形ABCD,見圖7,AB=2,E平分PB,(1)寫出E的坐標;(2)是否存在一點F,使EF⊥平面PCB?

    圖7

    解:(1)以DA、DC、DP為x、y、z軸建立空間直角坐標系,所以每個點坐標為P(0,0,2x);A(2,0,0);B(2,2,0);C(0,2,0);E(1,1,x);從而可以知道所以E的坐標為(1,1,1).

    (2)設存在F(y,0,z),由E■→F⊥平面PCB得,E■→F·C■→B所以F坐標為(1,0,0)時可使EF⊥平面PCB.

    在解決幾何問題時,通過直角坐標系向量使問題代數(shù)化的同時,不要忽略幾何圖形本身的定義和性質(zhì).

    本文以數(shù)形結(jié)合思想為主體,從兩個方面研究了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用.在具體的教學中,教師要教授學生具體的用法.本文所涉及的數(shù)形結(jié)合思想并不全面,還可以更深層次地對復數(shù)和立體幾何等進行研究,以解決更多的數(shù)學問題.

    編輯/王一鳴

    E-m ail:51213148@qq.com

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