LPQD序列生成的移動(dòng)平均過程的矩完全收斂性

2016-04-14 01:31:54沈建偉

浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào) 2016年1期

沈建偉

(浙江科技學(xué)院理學(xué)院, 杭州 310023)

沈建偉

(浙江科技學(xué)院理學(xué)院, 杭州 310023)

摘要:令{Yi,-∞

關(guān)鍵詞:移動(dòng)平均過程；矩完全收斂性；LPQD序列

1引理

定義1[1]1137，[2]130稱隨機(jī)變量X和Y是PQD (positively quadrant dependent)的，若對(duì)?x,y∈都有

P(X≤x,Y≤y)≥P(X≤x)P(Y≤y)，

當(dāng)前對(duì)于LPQD序列的研究已取得了不少成果。文獻(xiàn)[2-3]分別獲得了強(qiáng)平穩(wěn)LPQD過程的中心極限定理和泛函中心極限定理,文獻(xiàn)[4]得到了LPQD序列的不變?cè)?文獻(xiàn)[5]建立了平穩(wěn)LPQD序列生成線性過程的中心極限定理,文獻(xiàn)[6]獲得了平穩(wěn)LPQD列生成線性過程部分和的精確漸近性,文獻(xiàn)[7]建立了非平穩(wěn)的LPQD序列和LNQD序列生成線性過程部分和的矩不等式。

本研究得到了不同分布的LPQD序列生成的線性過程的部分和的最大值的矩完全收斂結(jié)果。為行文方便,總是假定C代表正常數(shù),并在不同的地方可以代表不同的值。以下是一些定義和相關(guān)的引理。

定義3[9]設(shè)C是一個(gè)正常數(shù),{Yi,-∞

引理1[4]489令{Yi,i≥1}是一個(gè)LPQD隨機(jī)變量列,EYi=0,存在δ>0,E|Yi|2+δ<∞。假定對(duì)0<δ′<δ,u(n)=O(n-δ′(2+δ)/2(δ-δ′));那么存在常數(shù)B>0使得對(duì)?k∈,有

引理2[1]1138設(shè)隨機(jī)變量X和Y是PQD的，則

1)EXY≥EXEY;

2)若f、g同為非降(或非增)函數(shù)，則f(X)與g(Y)仍為PQD的。

引理3[10]設(shè){Xn,n≥1}是任意隨機(jī)序列。如果存在某隨機(jī)變量X,使對(duì)任意x>0及n≥1,有P(|Xn|≥x)≤CP(|X|≥x),則對(duì)?β>0,?t>0有

E|Xn|βI(|Xn|≤t)≤C(E|X|βI(|X|≤t)+tβP(|X|>t)),

E|Xn|βI(|Xn|>t)≤CE|X|βI(|X|>t)。

引理4[11]設(shè)l(x)是在無(wú)窮遠(yuǎn)處的慢變函數(shù),則

2主要結(jié)果

(1)

注：1)令a0=1；ai=0,i≠0，則Xk=Yk,且{ai,-∞

2)若{Yi,-∞0,使得E|Y1|2+δ<∞,且E|Y1|p+δh(|Y1|1/α)<∞,則定理1的結(jié)論仍成立。

3)因LPQD序列蘊(yùn)含了PA序列，故定理1的結(jié)果也適合于PA序列。

4)由于矩完全收斂性蘊(yùn)含了完全收斂性,故在定理1的條件下，式(1)蘊(yùn)含了

證明由引理1可得,對(duì)?2

(2)

由Stout[12]的定理3.7.5及式(2)可得

于是

(3)

記

Txj=-xI(Yj<-x)+YjI(|Yj|≤x)+xI(Yj>x),Yxj=Txj-ETxj。

由引理2可知,{Yxj,-∞

當(dāng)x>nα?xí)r,

1)若α>1,由引理3可得

Cx-1n[E|Y|I|Y|≤x}+xP(|Y|>x)]≤

Cn1-α→0,n→∞。

Cx-1nE|Y|I{|Y|>x}≤

Cx1/α-1E|Y|I{|Y|>x}≤

CE|Y|1/αI{|Y|>x}≤

CE|Y|pI{|Y|>x}→0,n→∞。

從而

現(xiàn)證明I1<∞。由Markov不等式和引理3知

1)如果p>1,則αp-1-α=α(p-1)-1>-1,由引理4知

CE|Y|pl(|Y|1/α)<∞。

2)如果p=1,對(duì)于?δ>0,由引理4知

CE|Y|1+δl(|Y|1/α)<∞。

由上述討論可知I1<∞。

再證明I2<∞。由Markov不等式、H?lder不等式及式(3)知

其中,取2

最后證明I3<∞。

1)如果p>1,則αp-1-α=α(p-1)-1>-1,由引理4知

2)如果p=1,對(duì)于?δ>0,由引理4知

CE|Y|1+δl(|Y|1/α)<∞。

對(duì)于I32,證明類似于I31,不贅述，于是I32<∞。

綜上所述,I1<∞,I2<∞,I3<∞。

證畢。

參考文獻(xiàn):

[1]LEHMANN E L. Some concepts of dependence[J].The Annals of Mathematical Statistics,1966,37(5):1137.

[2]NEWMAN C M. Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables[J]. Inequalities in Statistics and Probability (IMS Lecture Notes-Monograph Series),1984,5:127.

[3]BIRKEL T.A functional central limit theorem for positively dependent random variables[J]. Journal of Multivariate Analysis, 1993,44(2):314.

[4]林正炎.正相依隨機(jī)變量的不變?cè)韀J].數(shù)學(xué)年刊,1996,17A(4):487.

[5]KIM T S, BAEK J I. A central limit theorem for stationary linear processes generated by linearly positively quadrant-dependent process[J]. Statistics and Probability Letters, 2001,51: 299.

[6]譚希麗,楊曉云.LPQD列生成線性過程部分和的精確漸近性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2009,47(2):251.

[7]沈建偉.非平穩(wěn)相依序列生成線性過程部分和的矩不等式[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,38(3):150.

[8]楊啟帆.關(guān)于正則變化函數(shù)與慢變函數(shù)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1990,24(2):318.

[9]GUO M L, DAI J J, ZHU D J. Complete moment convergence of moving average processes under negative association assumptions[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,25(1):119.

[10]吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京:科學(xué)出版社,2006:173.

[11]ZHOU X C. Complete convergence of moving average processes under φ-mixing assumptions[J].Statistics and Probability Letters,2010,80(5/6):287.

[12]STOUT W F. Almost sure convergence[M].New York: Academic Press, 1974:198.

Complete moment convergence for moving average process generated by LPQD sequences

SHEN Jianwei

(School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract:Let {Yspan,-∞

Keywords:moving average process; complete moment convergence; LPQD sequences

中圖分類號(hào):O211.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1671-8798(2016)01-0007-05

作者簡(jiǎn)介:沈建偉(1972—),男,浙江省蕭山人,講師,碩士,主要從事概率極限理論研究。