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    數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)分析

    2016-04-14 08:15:51鄧忠洪
    新課程·上旬 2016年2期
    關(guān)鍵詞:盈虧對折繩子

    鄧忠洪

    平時學(xué)生不會做數(shù)學(xué)題時,我們有的老師總認為學(xué)生沒讀懂題,讓學(xué)生反復(fù)讀題。殊不知,你讓學(xué)生按語文的讀題方法去讀,哪怕他讀上一千遍一萬遍,他做不來還是做不來。數(shù)學(xué)的建模與分析非常重要,有了規(guī)范的數(shù)學(xué)模型,就能正確地進行數(shù)學(xué)分析。只有明確了題目中各種信息及問題間的數(shù)量關(guān)系,才能正確迅速地解決較難的數(shù)學(xué)問題。筆者以“盈虧問題”的解題方法為例,談?wù)勗鯓咏?shù)學(xué)模型和進行數(shù)學(xué)分析。

    一、他人的經(jīng)驗及方法

    把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人,每人少分,則物品有余(盈);每人多分,則物品不足(虧)。已知所盈和所虧的數(shù)量及兩次每人所分的數(shù)量,求人數(shù)的應(yīng)用題叫盈虧問題。

    盈虧問題的基本解法是:份數(shù)=(盈+虧)÷兩次分配數(shù)的差;

    物品總數(shù)=每份個數(shù)×份數(shù)±盈虧數(shù)。

    解答盈虧問題的關(guān)鍵是要求出總差額和兩次分配的數(shù)量差,然后利用基本公式求出分配人數(shù),進而求出物品的數(shù)量。

    趣味數(shù)學(xué)之《木長幾何》——《孫子算經(jīng)》里有這樣一道題:今有木,不知長短。引繩度之,余繩四尺五,屈繩量之,不足一尺。木長幾何?(屈繩的意思是把繩子對折,度是量的意思,四尺五是4.5尺)

    分析:用繩量木,繩子多出4.5尺,把繩對折再量,繩子又短1尺,可推出單股繩子比對折起來長5.5尺,多出的5.5尺正好是繩子的一半(如圖)。

    解答:繩子的長度:(4.5+1)×2=11(尺)

    木料的長度:11-4.5=6.5(尺)

    答:(略)

    分析中,“用繩量木,繩子多出4.5尺,把繩對折再量,繩子又短1尺,可推出單股繩子比對折起來長5.5尺。”這里用到了一點點“盈虧問題”。為什么這樣說呢?遇到類似問題還能用這種方法解答嗎?請關(guān)注下面的內(nèi)容。

    二、建立數(shù)學(xué)模型

    他人的方法及經(jīng)驗看似簡單易行,可事實并非如此。學(xué)生機械地套用公式,并不完全理解解題思路,題目稍加變化,他們又束手無策了。

    筆者引導(dǎo)學(xué)生先分析并找出“盈虧問題”的特點——它就是兩種有余數(shù)的除法,再根據(jù)有余數(shù)除法各部分間的關(guān)系,建立“盈虧問題”總的數(shù)學(xué)模型:

    “盈虧問題”總的數(shù)學(xué)模型中兩次被平均分的總數(shù)——被除數(shù)是一定(不變)的;平均分的標準不同,我們歸納為兩種,即除數(shù)1和除數(shù)2;分得的結(jié)果中的份數(shù)——商也是一定(不變)的,分得的結(jié)果中的余數(shù)——盈虧數(shù)則不同,我們把它們分別定義為余數(shù)1和余數(shù)2。當被除數(shù)和商不變時,除數(shù)變大,余數(shù)則會變小,反之。

    兩次分得的余數(shù)之間的差,我們把它定義為“總差”,兩次平均分的標準之間的差,我們把它定義為“小差”。正因為有分得的結(jié)果之一“商”那么多個“小差”才匯成最后結(jié)果之二“余數(shù)”間的“總差”,即“小差×商=總差”。于是,關(guān)鍵問題“商”就得到解決:商=總差÷小差。

    如“幼兒園買來一些玩具,如果每班分7個玩具,則多出2個玩具;如果每班分10個玩具,則差13個玩具,幼兒園有幾個班?這批玩具有多少個?”的數(shù)學(xué)模型:

    三、進行數(shù)學(xué)分析

    根據(jù)建好的數(shù)學(xué)模型,我們進行“盈虧問題”的數(shù)學(xué)分析:

    從上面的模型中可以看出:

    第二種分法的總個數(shù)比第一種分法的總個數(shù)多(2+13)個為“總差”,第二種分法比第一種分法每班多分(10-7)個為“小差”,每班多分的“小差”乘班數(shù)就等于最后的“總差”。由此可以求出幼兒園共幾班這個關(guān)鍵問題。

    這個幼兒園有(2+13)÷(10-7)=5(班)

    求出了模型中的商,再根據(jù)有余數(shù)的除法中“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”就可求出這批玩具共有多少個了。

    這批玩具有7×5+2=37(個)或10×5-13=37(個)

    答:(略)

    四、適時推廣應(yīng)用

    我們通過建立數(shù)學(xué)模型和進行數(shù)學(xué)分析,掌握了“盈虧問題”的解題方法,適當增加難度,加以推廣應(yīng)用。

    1.用一根長繩測量井的深度,如果繩子兩折時,多5米,如果繩子三折時,差1米。求繩子長度和井深。(提示:繩子兩折即把繩子平均分成兩份,三折即三股。)

    很明顯,該題不能用“他人的經(jīng)驗及方法”之《木長幾何》的方法來進行解答。而《木長幾何》題目卻能用“盈虧問題”的模型來進行分析和解答。

    2.小宏從家到校上學(xué),出發(fā)時他看看表,發(fā)現(xiàn)如果每分鐘步行80米,他將遲到5分鐘;如果先步行10分鐘后,再改成騎車每分鐘行200米,他就可以提前1分鐘到校。問小宏從家出發(fā)時離上學(xué)時間有幾分鐘?

    觀察分析,這兩題都屬“盈虧問題”,只是題中的“盈虧(余數(shù))”不是現(xiàn)成的,需要首先求出。

    第1題的數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析:

    井深:(5×2+1×3)÷(3-2)=13(米)

    繩長:2×13+5×2=36(米)或(13+5)×2=36(米)

    答:(略)

    《木長幾何》數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析:

    木長:(4.5×1+1×2)÷(2-1)=6.5(尺)

    繩長:6.5+4.5=11(尺)或(6.5-1)×2=11(尺)

    答:(略)

    通過比較《木長幾何》的兩種方法,我們發(fā)現(xiàn),他人的經(jīng)驗及方法具有局限性,只能用于特例;而我們的“盈虧問題”模型具有通用性,只要是“盈虧問題”都能用它來解答。

    第2題的數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析——

    “余數(shù)1”:80×5=400(米)

    求“余數(shù)2”步驟多一些。

    ①10分鐘的步行改成騎車要提前:10-80×10÷200=6(分)

    ②假如他騎車一直騎到上學(xué)時間到時會多行:200×(6+1)=1400(米)

    “余數(shù)2”也可:(200-80)×10+200×1=1400(米)

    小宏從家出發(fā)時離上學(xué)有:(400+1400)÷(200-80)=15(分)

    答:(略)

    我相信,只要堅持讓學(xué)生按數(shù)學(xué)模型來讀題、抄題,數(shù)學(xué)分析就更加容易和明了,他們就會更好地解決各種數(shù)學(xué)難題。

    參考文獻:

    何升根.也談“一類盈虧問題的解法”[J].小學(xué)教學(xué)參考:教學(xué)版,2006(35):45.

    ?誗編輯 段麗君

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