綜合模態(tài)H2范數(shù)下致動器/傳感器的優(yōu)化配置*

婁軍強, 魏燕定, 楊依領(lǐng), 謝鋒然, 趙曉偉

(1.寧波大學機械工程與力學學院 寧波， 315211) (2.浙江大學浙江省先進制造技術(shù)重點實驗室 杭州， 310027)

綜合模態(tài)H2范數(shù)下致動器/傳感器的優(yōu)化配置*

婁軍強1, 魏燕定2, 楊依領(lǐng)2, 謝鋒然2, 趙曉偉2

(1.寧波大學機械工程與力學學院 寧波， 315211) (2.浙江大學浙江省先進制造技術(shù)重點實驗室 杭州， 310027)

致動器/傳感器的優(yōu)化配置問題是智能柔性結(jié)構(gòu)振動主動控制中的關(guān)鍵技術(shù)問題，基于模態(tài)空間H2范數(shù)研究了智能柔性梁系統(tǒng)中壓電致動器/傳感器的優(yōu)化配置問題。根據(jù)Rayleigh-Ritz理論建立了系統(tǒng)的動力學方程并得到其狀態(tài)空間表達式。提出了一種衡量系統(tǒng)能控/能觀性并考慮模態(tài)權(quán)重的綜合模態(tài)H2范數(shù)準則，采用改進遺傳算法研究系統(tǒng)中并置致動器/傳感器的優(yōu)化配置問題，得到了系統(tǒng)多個模態(tài)、綜合模態(tài)H2范數(shù)最優(yōu)的致動器/傳感器布局結(jié)果。實驗結(jié)果表明，利用優(yōu)化結(jié)果進行致動器/傳感器的布局，系統(tǒng)單個模態(tài)和綜合模態(tài)均具有較好的檢測和控制效果，被控模態(tài)具有較好的能控/能觀性，所提出的優(yōu)化準則和優(yōu)化方法是可行的。

智能柔性結(jié)構(gòu)； 綜合模態(tài)H2范數(shù)； 優(yōu)化配置； 壓電致動器/傳感器； 改進遺傳算法

引 言

為了降低能耗并提高操作效率及精度，機器人和機械操作臂不斷朝著低剛度、高精度和柔性化的趨勢發(fā)展。由于自身低剛度、低阻尼特性，造成柔性機器人及機械臂在執(zhí)行操作任務(wù)過程中很容易激起自身低頻、大幅度的彈性振動，因此如何抑制柔性臂的彈性振動是一項具有挑戰(zhàn)性的課題[1]。壓電材料等智能材料的興起為振動主動控制技術(shù)提供了新的方法和手段?；趬弘娭聞悠?傳感器的智能柔性結(jié)構(gòu)的振動主動控制技術(shù)成為當前的研究熱點[2-3]。由于致動器/傳感器的分布對系統(tǒng)控制效果具有重要影響，因此研究智能柔性結(jié)構(gòu)中致動器/傳感器的優(yōu)化配置問題具有重要的工程現(xiàn)實意義[4]。致動器/傳感器在柔性結(jié)構(gòu)中的優(yōu)化配置問題引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[5]。Kumar等[6]提出了一個綜合考慮輸入能量和控制能量的線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,簡稱LQR)指標對柔性梁系統(tǒng)中致動器/傳感器的位置和控制器參數(shù)同時優(yōu)化。朱燈林等[7]以系統(tǒng)存留能量為目標函數(shù)，對懸臂梁結(jié)構(gòu)壓電片位置、尺寸和控制進行了融合優(yōu)化研究。Gueney等[8]在對智能柔性結(jié)構(gòu)的研究中，引入測量誤差和外界干擾，對設(shè)計的H∞控制器和致動器/傳感器布局位置同時優(yōu)化。研究者嘗試從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性出發(fā)，獨立于控制器設(shè)計得到致動器/傳感器的最優(yōu)布局。Peng等[9]基于最大能控Grammian矩陣準則，研究了柔性板中壓電致動器/傳感器的配置問題。潘繼等[10]使用基于能量的可控Grammian優(yōu)化準則，研究了柔性懸臂板主動控制中作動器的優(yōu)化位置問題。Dhuri等[11]以系統(tǒng)固有頻率變化率和能控Grammian矩陣奇異值變化率為綜合優(yōu)化指標，基于多目標遺傳優(yōu)化算法研究了柔性結(jié)構(gòu)中致動器/傳感器的優(yōu)化配置問題。錢鋒等[12]采用基于主結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能的優(yōu)化準則，研究了四邊固支復(fù)合層壓電智能板中的致動器/傳感器的位置優(yōu)化問題。邱志成[13]在撓性懸臂板上致動傳感器/致動器的優(yōu)化配置中提出了基于H2和H∞的復(fù)合加權(quán)指標。Nestorovic等[14]分別基于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H2范數(shù)和H∞范數(shù)研究了柔性結(jié)構(gòu)中致動器/傳感器的配置問題。對于具有多模態(tài)振動的智能柔性結(jié)構(gòu)而言，如何實現(xiàn)系統(tǒng)多個模態(tài)以及綜合模態(tài)的控制/觀測效果最佳，仍有許多問題需要深入研究。

筆者針對智能柔性梁系統(tǒng)中壓電致動器/傳感器的優(yōu)化配置問題，從表征系統(tǒng)能控/能觀性的傳遞函數(shù)H2范數(shù)出發(fā)，提出了基于整個系統(tǒng)模態(tài)空間H2指標并考慮模態(tài)權(quán)重的致動器/傳感器優(yōu)化配置準則，并搭建實驗平臺驗證相關(guān)理論分析和優(yōu)化結(jié)果的有效性。

1 系統(tǒng)建模

以最典型的壓電柔性梁為研究對象，粘貼有壓電致動器、應(yīng)變傳感器的柔性懸臂梁模型如圖1所示。一對壓電陶瓷片作為致動器對稱地粘貼在距離懸臂梁固定端xp處的上下表面，其致動力矩為M，同時在基體梁的上下表面布局一對應(yīng)變片傳感器用于檢測梁的振動情況，其中心到柔性梁固定端的距離為xs?；w梁和壓電致動器的幾何尺寸長×寬×高分別為Lb×bb×hb和Lp×bp×hp，并假設(shè)致動器、傳感器與基體梁之間理想粘貼，不存在相對位移。

圖1 貼有致動器/傳感器的懸臂梁模型示意圖Fig.1 Model of a cantilever beam with actuators/sensors

由于柔性梁橫向振動位移w(x,t)相對于長度尺寸Lb較小，故假設(shè)其為Euler-Bernoulli梁模型。根據(jù)經(jīng)典振動理論，壓電致動器作用下柔性梁的振動方程為

(1)

其中：Eb為柔性梁的彈性模量；Ib為柔性梁的慣性矩；ρb為柔性梁的密度；Ab為柔性梁的橫截面積；xe為壓電致動器的終止位置，xe=xp+Lp；δ`(·)為Dirac函數(shù)對其變量的導數(shù)。

在壓電致動器對稱布置且理想粘貼的情況下，其致動力矩為

(2)

其中：d31為壓電材料的壓電應(yīng)變常數(shù)；V為壓電致動器的控制電壓；c為壓電致動器的等效電壓系數(shù)。

根據(jù)Rayleigh-Ritz理論，梁的橫向振動位移為

(3)

其中：r為保留的模態(tài)階數(shù)；Ф (x)=(φ1,φ2, … ,φr)，為模態(tài)振型矢量；q(t)=(q1,q2, … ,qr)T，為廣義模態(tài)坐標矢量。

柔性梁采用一端固定、一端自由的懸臂梁邊界條件，得出其第i階模態(tài)振型函數(shù)為

將式(3)和式(2)代入式(1)，考慮柔性梁結(jié)構(gòu)阻尼的影響，得到其模態(tài)坐標形式的動力學方程為

(5)

依照圖1所示方式粘貼電阻應(yīng)變片，傳感器的輸出為柔性梁模態(tài)位移的線性組合。采用半橋接法，得到應(yīng)變片輸出電壓與柔性臂彈性變形之間的關(guān)系為

其中：K為傳感器的靈敏度系數(shù)；ks為應(yīng)變傳感器的輸出電壓系數(shù)。

引入柔性臂模態(tài)位移和模態(tài)速度組成的狀態(tài)變量X，得到系統(tǒng)動力學方程的狀態(tài)空間表達式為

(7)

其中：X(t),Y(t),V(t)分別為狀態(tài)變量、輸出變量和輸入變量；A,B,C分別為狀態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸入矩陣，具體表達式如下

2 模態(tài)空間H2范數(shù)指標

能控/能觀性在系統(tǒng)控制器的設(shè)計和應(yīng)用中占有重要地位。系統(tǒng)的能控/能觀性可以通過一些恰當?shù)臄?shù)值指標體現(xiàn)，如系統(tǒng)能控矩陣/能觀矩陣的秩、奇異值、特征值或范數(shù)等。對于式(7)所示的智能柔性梁系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入與輸出之間關(guān)系的頻域表示——傳遞函數(shù)G(iω)為

(8)

系統(tǒng)H2范數(shù)的定義[15]為

(9)

其中：G*(ω)為傳遞函數(shù)G(ω)的復(fù)共軛。

將式(8)結(jié)果代入式(9)，化簡得到

(10)

其中：Wc為能控Gramian矩陣；Wo為能觀Gramian矩陣。

具體表達式如下

(11)

(12)

Wc和Wo的值可通過求解代數(shù)Lyapunov線性矩陣方程得到

AWc+WcAT=-BBT

(13)

ATWo+WoA=-CTC

(14)

Gramian矩陣Wc和Wo分別為式(13)，(14)的唯一正定Hermitian解。

由于在得到智能柔性梁系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程中采用了模態(tài)理論和模態(tài)截斷技術(shù)，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比ζi遠小于1的情況下，第i階模態(tài)H2范數(shù)的表達式[16]為

(15)

其中：Bi為輸入矩陣B在第i階模態(tài)坐標上的投影；Ci為輸出矩陣C在第i階模態(tài)坐標上的投影。

如果壓電致動器和應(yīng)變傳感器采用同位配置的布局方式，僅對單組致動器/傳感器在柔性梁上的配置效果進行研究。對于柔性梁的第i階振動模態(tài)，壓電致動器輸入對應(yīng)變傳感器輸出的模態(tài)H2范數(shù)與式(15)有著相同結(jié)果。Bi和Ci的值分別為

(16a)

(16b)

從式(15)可以看出：第i階模態(tài)的H2范數(shù)取決于第i階模態(tài)頻率ωi，模態(tài)阻尼ζi以及輸入/輸出Lagrange分量Bi和Ci，即某階模態(tài)H2范數(shù)越大，代表配置的致動器/傳感器分布在該階模態(tài)上的輸入/輸出分量越大。因此，第i階模態(tài)的H2范數(shù)指標反映了在閉環(huán)控制下，配置的致動器/傳感器將能量引入到系統(tǒng)第i階振動模態(tài)中的能力。

對于具有r階振動模態(tài)的多模態(tài)智能柔性梁系統(tǒng)，定義同位布局的致動器/傳感器在整個模態(tài)空間的H2指標的表達式為

(17)

由于致動器/傳感器采用同位配置的方式，因此傳感器的粘貼位置為xs=xp+lp/2。建立智能柔性梁系統(tǒng)致動器/傳感器優(yōu)化配置問題的數(shù)學模型為

(18)

subjectto:0≤xp≤Lb-Lp

通過在求解空間里尋找如式(18)所示的模態(tài)空間H2指標的最大值，即可找到系統(tǒng)能控/能觀性最優(yōu)的致動器/傳感器的布局位置，從而實現(xiàn)智能柔性梁系統(tǒng)中致動器/傳感器的優(yōu)化配置。

3 改進遺傳算法的優(yōu)化求解過程

遺傳算法(genetic algorithm，簡稱GA)具有簡單易用、適應(yīng)性強和操作方便的優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于優(yōu)化問題的求解中[17]。為了提高優(yōu)化問題的求解精度，加快算法的收斂速度以盡快收斂到最優(yōu)解，筆者在標準遺傳算法的基礎(chǔ)上，采用浮點數(shù)編碼策略和精英保存策略的改進遺傳算法完成優(yōu)化問題的求解，求解過程如下。

1) 確立優(yōu)化問題模型：建立優(yōu)化問題的數(shù)學模型，并確定可行域，如式(18)所示。

2) 編碼并初始化種群：基于浮點數(shù)編碼策略直接采用待求解變量——致動器配置位置xp組成染色體串進行編碼，然后隨機產(chǎn)生一定規(guī)模數(shù)量的初始種群。

3) 個體適應(yīng)度評估：計算種群個體的目標函數(shù)值，并據(jù)此評估個體優(yōu)劣。

4) 選擇操作和精英個體保存：根據(jù)個體適應(yīng)度的大小，按照設(shè)定概率進行選擇操作。為了得到最優(yōu)解，在選擇過程中，根據(jù)精英保存策略將適應(yīng)度最好的個體保存下來。

5) 交叉和變異操作：采用遺傳過程中的交叉和變異操作產(chǎn)生新的后代個體。

6) 再次評價個體適應(yīng)度：重新計算種群個體適應(yīng)度值，并用保存下來的精英個體替換新種群中的最差個體，提高種群的平均適應(yīng)度。

7) 終止判斷：重復(fù)迭代第4步～第6步的操作，直至滿足終止條件，得到最優(yōu)個體。

4 算例分析結(jié)果

設(shè)定致動器的長度、寬度和厚度都是固定的，僅對其布局位置進行優(yōu)化。柔性梁、壓電致動器的基本參數(shù)如表1所示。應(yīng)變傳感器的基本參數(shù)如表2所示。

表1 柔性梁和致動器的基本參數(shù)表

表2 電阻應(yīng)變傳感器的基本參數(shù)

由于高階模態(tài)在柔性梁振動模態(tài)中所占比重較少，重點關(guān)注柔性臂前兩階模態(tài)的能控/能觀性。根據(jù)表1參數(shù)，采用懸臂梁邊界條件計算得到柔性梁的前兩階固有頻率為3.89Hz和24.4Hz，并設(shè)定相應(yīng)的模態(tài)阻尼比分別為0.02和0.01。

在具體的優(yōu)化求解過程中，遺傳算法的基本參數(shù)設(shè)置：種群大小為50，最大進化代數(shù)為50，交叉概率為0.6，變異概率為0.01并通過多次優(yōu)化以求得最優(yōu)解。圖2為以柔性梁一階模態(tài)的H2范數(shù)為優(yōu)化目標的遺傳進化過程?？梢钥闯觯蠹s經(jīng)過25代進化過程收斂到最優(yōu)解。表3為以柔性梁的一階模態(tài)、二階模態(tài)以及綜合模態(tài)H2范數(shù)為優(yōu)化目標得到的最終優(yōu)化結(jié)果。可以看出：當壓電致動器/應(yīng)變傳感器布局在柔性梁的根部位置距固定端0.403 mm時，系統(tǒng)一階模態(tài)H2范數(shù)最大為2.74×10-5；當致動器/傳感器配置在柔性梁的中部位置距固定端276.136mm時，系統(tǒng)二階模態(tài)H2范數(shù)取得最大值1.90×10-5；當致動器/傳感器布局在柔性梁的根部位置距固定端1.332 mm時，綜合模態(tài)H2范數(shù)取得最大值3.86×10-5(注：模態(tài)H2范數(shù)與適應(yīng)度互為倒數(shù))。

圖2 平均及最佳適應(yīng)度的遺傳進化過程Fig.2 Evolution process of the mean and best fitness

優(yōu)化指標適應(yīng)度值優(yōu)化結(jié)果x*p/mm一階模態(tài)H2范數(shù)36547.8 0.403二階模態(tài)H2范數(shù)52710.4276.136綜合模態(tài)H2范數(shù)25933.61.332

5 實驗研究

搭建智能柔性梁測控系統(tǒng)如圖3(a)所示。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果及實際布線考慮，為了獲得柔性梁最大的振動信息，將一組電阻應(yīng)變片對稱地粘貼在梁的根部位置，在靠近應(yīng)變片的位置距離根部24.7mm處，對稱地粘貼第1組壓電陶瓷片作為致動器。為了比對不同位置的致動器/傳感器的致動/檢測效果，在柔性梁的中部位置，也就是距離柔性梁根部260.2mm和280.3mm的地方分別布局第2組應(yīng)變傳感器和壓電致動器，實物圖如圖3(b)所示。整個測控系統(tǒng)以工控PC機為控制中心，傳感器的檢測信號經(jīng)濾波后通過多路應(yīng)變放大器放大為-10～+10V的電壓信號，工控機發(fā)出的控制電壓信號(±10V)經(jīng)多路功率放大器放大為-150～+150V施加在壓電致動器上，并利用多通道的數(shù)據(jù)采集卡實現(xiàn)數(shù)據(jù)D/A, A/D轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)傳感信號輸入和控制信號輸出功能。

圖3 智能柔性梁測控系統(tǒng)實驗框圖及實物圖Fig.3 Schematic diagram and photo of the experimental system

為了掌握系統(tǒng)的動態(tài)特性，進行智能柔性梁系統(tǒng)的模態(tài)特性實驗。通過沖擊錘敲擊激起柔性梁的振動，并用截止頻率為35.0Hz的低通巴特沃斯濾波器濾波，經(jīng)計算得到柔性梁的前兩階固有頻率和模態(tài)阻尼比分別為f1=2.8Hz，ζ1=0.022，f2=17.8Hz，ζ2=0.009。顯然，壓電致動器和應(yīng)變傳感器的加入以及材料實際特性與標稱值的差異造成了實驗結(jié)果與理論分析之間的差異。因此，從實驗角度實際檢驗致動器/傳感器的配置效果很有必要。

由于系統(tǒng)一階模態(tài)固有頻率較低，故外界干擾易激起其彈性振動。在柔性梁根部的壓電致動器施加一個與系統(tǒng)一階固有頻率同頻、持續(xù)時間為14s的正弦信號

fd(t)=140.0sin(2π2.81t)

(19)

圖4 根部致動器激勵下傳感器的輸出信號Fig.4 Output signals of sensors actuated by root PZT actuators

的激勵下，粘貼在柔性梁根部的應(yīng)變傳感器的輸出信號如圖4所示。圖5為將同樣的激勵信號施加到粘貼在柔性梁中部的壓電致動器時，粘貼在柔性梁根部應(yīng)變傳感器的輸出信號。圖6為兩種情況下頻域信號的對比情況。從圖4和圖5的實驗結(jié)果可以看出，同樣在與系統(tǒng)一階固有頻率同頻的驅(qū)動信號激勵下，布局在根部的壓電致動器激起了系統(tǒng)更大的一階模態(tài)振動(見圖6)。與配置在柔性梁中部的致動器相比，布局在根部的致動器對柔性梁的一階模態(tài)振動具有更強的致動能力，對系統(tǒng)一階模態(tài)的控制能力更強，此時系統(tǒng)一階模態(tài)的能控性更好。

圖5 中部致動器激勵下傳感器的輸出信號Fig.5 Output signals of sensors Actuated by middle PZT actuators

圖6 不同位置致動器激勵下傳感器的頻域信號Fig.6 Compared frequency response actuated by PZT actuators in different position

圖7和圖8為在一次沖擊信號激勵下粘貼在柔性梁根部和中部的應(yīng)變片傳感器的輸出信號。二者頻域信號的對比情況如圖9所示，顯然布局在柔性梁根部的傳感器對系統(tǒng)一階模態(tài)的傳感檢測能力較強，能觀性更好。從圖6和圖9的實驗結(jié)果可以得出，當致動器/傳感器布局在柔性梁根部時，系統(tǒng)一階模態(tài)的能控/能觀性最好，理論優(yōu)化配置結(jié)果的有

圖7 同一激勵信號下根部傳感器的輸出信號Fig.7 Output signals of root sensors stimulated by a signal

圖8 同一激勵信號下中部傳感器的輸出信號Fig.8 Output signals of middle sensors stimulated by a signal

圖9 同一信號激勵下不同位置傳感器的頻域信號Fig.9 Compared frequency response of sensors in different position stimulated by a signal

效性得到了驗證。

對系統(tǒng)二階模態(tài)的檢測情況而言，當傳感器布局在柔性梁中部位置時，傳感器此時具有更好的檢測輸出能力，如圖9中二階頻率波峰所示，其檢測輸出的系統(tǒng)二階模態(tài)振動幅值大于根部傳感器的輸出，二階模態(tài)的能觀性更好。根據(jù)并置致動器/傳感器的能控/能觀性的一致性，顯然系統(tǒng)二階模態(tài)H2范數(shù)在柔性梁中部取得最大值，此時系統(tǒng)二階模態(tài)的能控/能觀性最好。如圖4～9的實驗結(jié)果所示，由于一階模態(tài)占據(jù)主導地位，故系統(tǒng)的綜合模態(tài)H2范數(shù)仍是致動器/傳感器配置在柔性梁根部時取得最大值，此時系統(tǒng)綜合模態(tài)的能控/能觀性最好。

從實驗結(jié)果可以看出：雖然壓電致動器的引入對柔性臂系統(tǒng)的模態(tài)特性產(chǎn)生了一定影響，但是布局在根部的傳感器對系統(tǒng)一階模態(tài)具有更好的檢測傳感效果，而布局在中部的傳感器對系統(tǒng)二階的檢測傳感效果更好，且由于一階模態(tài)占主導地位，根部傳感器的輸出明顯高于中部，綜合模態(tài)的能控性更好。對于壓電致動器的布局，雖然實際布線需要第1組壓電致動器布局在靠近柔性梁根部的位置，而非優(yōu)化得到的最大綜合模態(tài)指標處—柔性梁的根部，但與第2組壓電致動器的實際控制效果相比，其對系統(tǒng)一階模態(tài)仍具有更強的驅(qū)動和控制效果，也可以為理論分析結(jié)果提供一定的依據(jù)。

6 結(jié) 論

1) 研究了智能柔性結(jié)構(gòu)中壓電致動器/應(yīng)變傳感器的優(yōu)化配置問題。提出了一種衡量系統(tǒng)能控/能觀性并考慮模態(tài)權(quán)重的模態(tài)空間H2范數(shù)準則，采用改進遺傳算法研究了智能柔性梁系統(tǒng)中并置致動器/傳感器的優(yōu)化配置問題，并搭建實驗平臺驗證了理論分析和優(yōu)化結(jié)果的有效性。

2) 結(jié)果表明：所提出的優(yōu)化準則和優(yōu)化方法是切實可行的。該方法可以應(yīng)用到其他復(fù)雜的柔性結(jié)構(gòu)，為智能柔性結(jié)構(gòu)中致動器/傳感器的優(yōu)化配置提供借鑒和嘗試。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.008

*國家自然科學基金資助項目(51505238,51375433)；浙江省自然科學基金資助項目(LQ15E050002)；寧波市自然科學基金資助項目(2015A610145)；寧波大學學科項目(xkl141034)

2014-01-06；修回日期：2014-03-10

TP24； TH113

婁軍強，男，1986年7月生，講師。主要研究方向為振動主動控制、智能材料應(yīng)用等。 E-mail: loujunqiang@nbu.edu.cn 通信作者簡介：魏燕定，男，1970年7月生，教授、博士生導師。主要研究方向為機械制造及自動化。 E-mail: weiyd@zju.edu.cn