基于小波基的壓縮感知重構(gòu)算法設(shè)計(jì)

摘 要： 針對(duì)傳統(tǒng)重構(gòu)理論下對(duì)硬件設(shè)備的高要求和高損耗問(wèn)題，提出基于小波基的壓縮感知重構(gòu)算法，利用小波變換在圖像壓縮重構(gòu)上的優(yōu)勢(shì)，選取合適的小波基作為稀疏基，對(duì)一維信號(hào)和二維圖像采用正交匹配追蹤（OMP）算法，進(jìn)行信號(hào)的壓縮和重構(gòu)，并對(duì)算法進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)。實(shí)驗(yàn)表明，壓縮感知理論用于數(shù)字信號(hào)和數(shù)字圖像處理有著顯著的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞： 壓縮感知； 小波分析； 稀疏基； 測(cè)量矩陣； 重構(gòu)信號(hào)

中圖分類號(hào)：TN911.73?34； TQ028.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2016）13?0059?04

Abstract： For hardware device has high requirement and high loss according to the traditional reconstruction theory， a compressed sensing reconstruction algorithm based on wavelet basis is put forward. In the algorithm， the advantage of wavelet translation in image compression and reconstruction is used to select the suitable wavelet basis as the sparse basis， and the orthogonal matching pursuit （OMP） algorithm is adopted for one?dimensional signal and two?dimensional image to compress and reconstruct the signal. The algorithm was improved correspondingly. The experimental results show that the compressed sensing theory has a prominent advantage for digital signal and digital image processing.

Keywords： compressed sensing； wavelet analysis； sparse basis； measurement matrix； reconstruction signal

0 引 言

隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，人們對(duì)信息量的需求劇增，以信息帶寬為基礎(chǔ)的信號(hào)處理框架要求的采樣頻率和處理速度也越來(lái)越高，傳統(tǒng)的Nyquist采樣已經(jīng)不能滿足人們的需求[1]。而近年來(lái)出現(xiàn)的壓縮感知理論能夠有效規(guī)避傳統(tǒng)采樣的許多難題，給信號(hào)的采樣、存儲(chǔ)、傳輸和處理帶來(lái)巨大的便利和經(jīng)濟(jì)效益，被越來(lái)越多的領(lǐng)域接受和應(yīng)用[2?3]。小波分析在時(shí)域和頻域上同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，加上小波的多分辨率分析特性，使之能更好地應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域。壓縮感知理論在信號(hào)壓縮過(guò)程中，對(duì)稀疏矩陣和觀測(cè)矩陣的選取最為關(guān)鍵，故將小波基作為稀疏矩陣進(jìn)行壓縮，對(duì)圖像處理有著重要意義[4]。

本文將壓縮感知理論與小波理論相結(jié)合，選取合適的小波基作為稀疏基，對(duì)一維信號(hào)和二維圖像進(jìn)行信號(hào)的壓縮和重構(gòu)，并對(duì)算法進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)。

1 壓縮感知算法與小波理論分析

1.1 壓縮感知算法實(shí)現(xiàn)

傳統(tǒng)的壓縮采樣重構(gòu)理論包括兩個(gè)基本過(guò)程：編碼和解碼。壓縮感知理論也不例外，但在實(shí)現(xiàn)方式上有所區(qū)別，直接對(duì)信號(hào)進(jìn)行較少采樣的同時(shí)得到信號(hào)的壓縮表示，省去了點(diǎn)采樣的中間過(guò)程，在節(jié)省了采樣頻率和傳輸成本的情況下，達(dá)到了集采樣與壓縮同時(shí)進(jìn)行的目的。另外，該理論還指出了將模擬信號(hào)直接采樣壓縮為數(shù)字形式的有效途徑，具有直接信息采樣特性[3]。

壓縮感知算法的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在以下方面：

（1） 非自適應(yīng)性（Non?Adaptive），一開(kāi)始就可以傳輸長(zhǎng)度較短的信號(hào)，甚至突破采樣定理的極限。

（2） 抗干擾。的任何一項(xiàng)都是重要的，或者說(shuō)不重要的。丟失了某幾項(xiàng)，仍然可以完美重構(gòu)。

（3） 需要最少的采樣數(shù)據(jù)，計(jì)算速度得到改善。

1.2 小波變換基本理論分析

小波變換具有多分辨率的特點(diǎn)，且在時(shí)頻域同時(shí)具有表征信號(hào)特征的能力，是一種窗口面積固定不變但時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的局部化分析方法。它在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性，很適合探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)現(xiàn)象并顯示其成分[5]。

小波分析在圖像處理應(yīng)用中的主要思想：首先，將圖像信號(hào)進(jìn)行小波變換，得到不同尺度下的一系列系數(shù)；再對(duì)這些小波系數(shù)進(jìn)行分析，根據(jù)實(shí)驗(yàn)者不同的目的和需要，用傳統(tǒng)的圖像處理方法或者更符合小波變換的新方法對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行必要的處理；最后對(duì)這些處理后的小波系數(shù)進(jìn)行反變換，就得到了所需要的目標(biāo)圖像。

2 圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)

圖像質(zhì)量的含義主要包括圖像的逼真度和可讀性兩方面。圖像質(zhì)量的好壞有一定的評(píng)價(jià)方法，在傳統(tǒng)的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)方法中，主要包括兩種：

（1） 主觀評(píng)價(jià)。通常用峰值信噪比（PSNR）判斷圖像質(zhì)量的辦法用得最多，但有時(shí)候PSNR高并不等于圖像的主觀質(zhì)量好。所以，有時(shí)候需要以人作為圖像觀察者對(duì)圖像的優(yōu)劣作出評(píng)價(jià)和判斷。對(duì)于恢復(fù)圖像中得到明顯改善的形狀可以通過(guò)這種方法評(píng)價(jià)，但這種方法帶有一定的主觀性，適用于明顯的去噪效果。

3 壓縮感知算法對(duì)一維信號(hào)的壓縮重構(gòu)

一維信號(hào)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，通過(guò)一定的線性變換（如傅里葉變換，余弦變換）下具有很好的稀疏性，同時(shí)，一維信號(hào)的頻率分量并不多，信號(hào)的平穩(wěn)性和光滑性都很好，通過(guò)稀疏變換后非零值很少，一般都能得到很理想的重構(gòu)效果。

3.1 傳統(tǒng)算法與壓縮感知算法的重構(gòu)比較

壓縮感知理論與傳統(tǒng)采樣理論的最大區(qū)別在于能極大地縮短采樣和壓縮時(shí)間，節(jié)省硬件的消耗，卻又能獲得不亞于傳統(tǒng)方法的重構(gòu)效果[7]。本文中選取的是一個(gè)長(zhǎng)度為的一維信號(hào)選擇傅里葉基作為稀疏基，分別采用傳統(tǒng)的正交變換算法和本文的壓縮感知算法對(duì)原信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)過(guò)程和結(jié)果如圖1，圖2所示。

圖2中的是信號(hào)在傅里葉基下的稀疏表示。由圖可知，信號(hào)在傅里葉基下的稀疏度為選取的測(cè)量矩陣是的高斯隨機(jī)矩陣，與傅里葉基能滿足不相關(guān)準(zhǔn)則。其中，滿足。

定義重構(gòu)誤差（為重構(gòu)后的信號(hào)），對(duì)比傳統(tǒng)的重構(gòu)算法，壓縮感知算法的重構(gòu)誤差更低，效果也更理想，如圖3所示。這里傳統(tǒng)算法中默認(rèn)原信號(hào)就是采樣好的信號(hào)，只需對(duì)其進(jìn)行壓縮，找出頻域幅度最大的個(gè)值，再用逆方法重構(gòu)，比實(shí)際應(yīng)用中的傳統(tǒng)方法要簡(jiǎn)便得多，效果也理想得多。因此，可以得出結(jié)論，壓縮感知算法是一個(gè)集壓縮、采樣、重構(gòu)于一體的，只要基選取合適，重構(gòu)算法合理，它的優(yōu)勢(shì)將是優(yōu)于傳統(tǒng)算法的。

3.2 值對(duì)重構(gòu)效果的影響

壓縮感知理論中，測(cè)量矩陣是一個(gè)的矩陣，其中值的選擇非常關(guān)鍵，它關(guān)系到對(duì)信號(hào)壓縮采樣的質(zhì)量，因?yàn)樽罱K的信號(hào)是從這個(gè)值中恢復(fù)出來(lái)的，如果選取不當(dāng)，就會(huì)破壞原信號(hào)的信息，重構(gòu)也無(wú)法實(shí)現(xiàn)。表1列出的是當(dāng)選取不同的值時(shí)，一維信號(hào)的重構(gòu)誤差err的值（數(shù)量級(jí)10-16）。

表1表明，當(dāng)時(shí)重構(gòu)誤差比較低。值太小時(shí)，重構(gòu)效果不是很理想，甚至容易產(chǎn)生重構(gòu)錯(cuò)誤。但如果值太大，則對(duì)信號(hào)的壓縮度不高，傳輸和存儲(chǔ)中消耗的時(shí)間也更多，所以，選取一個(gè)折衷的值才能獲得不錯(cuò)的重構(gòu)結(jié)果。更多的值與重構(gòu)誤差的關(guān)系如圖4所示。

3.3 不同稀疏基下的信號(hào)重構(gòu)

不同的稀疏基對(duì)信號(hào)的稀疏程度不同，獲得的非零值的個(gè)數(shù)和大小也不同，對(duì)重構(gòu)結(jié)果有一定的影響，圖5表示的是相同的信號(hào)在余弦基下稀疏化結(jié)果和重構(gòu)結(jié)果（M取值為32）。

相比傅里葉基，余弦基下的稀疏化效果不如傅里葉基明顯，重構(gòu)誤差也很大，證明了稀疏基的選擇同樣很關(guān)鍵。

4 壓縮感知算法對(duì)二維圖像的壓縮重構(gòu)

4.1 傅里葉稀疏基下的圖像重構(gòu)

二維圖像下的重構(gòu)方法與一維類似，可以把二維圖像看成是列的一維信號(hào)，用一維重構(gòu)的方法一列列重構(gòu)出來(lái)。圖6是當(dāng)稀疏矩陣是傅里葉基時(shí)的壓縮和重構(gòu)效果圖。

實(shí)驗(yàn)中，原圖是一個(gè)256×256的灰度圖像，測(cè)量矩陣依然選取隨機(jī)高斯矩陣，其大小為重構(gòu)所用的時(shí)間為100 s以內(nèi)。由圖6可知，利用壓縮感知方法重構(gòu)的圖像基本滿足視覺(jué)要求，MSE和PSNR也較合理，但依然還有一定的噪點(diǎn)，尤其是圖6（c）中框出的部分，出現(xiàn)了較多的雜點(diǎn)，且成列分布狀況，這和重構(gòu)中OMP算法有關(guān)，算法中采取的是對(duì)圖像的列向量依次進(jìn)行重構(gòu)，如果在某一列或某幾列的重構(gòu)中發(fā)生了錯(cuò)誤，則容易造成像素移位，從而形成如圖6中所示的雜點(diǎn)。

為了改善上述問(wèn)題，本實(shí)驗(yàn)針對(duì)重構(gòu)算法做了相應(yīng)的改進(jìn)，分別對(duì)行向量和列向量進(jìn)行重構(gòu)，再將兩者進(jìn)行一定的線性疊加，就能抑制大量雜點(diǎn)的產(chǎn)生，達(dá)到弱化噪聲的效果，再通過(guò)合適的平滑處理，雜點(diǎn)不再變得明顯，視覺(jué)效果得到很好的改善。

4.2 離散余弦基下的圖像重構(gòu)

離散余弦變換對(duì)圖像的壓縮性能也比較好，根據(jù)余弦變換，構(gòu)造出余弦作稀疏基：

構(gòu)造一個(gè)的余弦基作為稀疏矩陣結(jié)果如圖7所示。相對(duì)于傅里葉基，離散余弦基下圖像的稀疏性更強(qiáng)，能量相對(duì)更集中，更利于信號(hào)的重構(gòu)，迭代時(shí)間比傅里葉基下更快，信噪比也更高。

4.3 小波基下的圖像重構(gòu)

經(jīng)過(guò)多次小波變換后，圖像的能量主要集中在左上角，且層數(shù)越多，能量越集中，信號(hào)的稀疏性也更強(qiáng)，這是小波基優(yōu)于其他基的地方。隨著階數(shù)的升高，小波變換的平滑性越好，信號(hào)不容易產(chǎn)生突變，而相對(duì)于db小波，symN小波的對(duì)稱性更好，相位失真小，能很好地彌補(bǔ)OMP算法非線性變換的缺陷，是重構(gòu)效果中最理想的，具體數(shù)據(jù)參照表2。

4.4 測(cè)量矩陣對(duì)恢復(fù)性能的影響及改進(jìn)措施

測(cè)量矩陣與稀疏變換基的不相干特性是壓縮感知理論具有良好性能的基礎(chǔ)。在實(shí)際的應(yīng)用中，由于隨機(jī)高斯分布的測(cè)量矩陣存在存儲(chǔ)矩陣元素容量巨大、計(jì)算復(fù)雜度高的缺點(diǎn)。對(duì)于二維圖像，由于像素點(diǎn)多，數(shù)值分散，因此需要存儲(chǔ)很多的數(shù)值，所以對(duì)二維圖像并不適用。實(shí)驗(yàn)中，選取的隨機(jī)高斯矩陣重構(gòu)效果基本能滿足要求，重構(gòu)的時(shí)間在80 s左右，如果選得太大，重構(gòu)的清晰度固然會(huì)有很大的改善，但是是以時(shí)間和資源為代價(jià)的；但是如果設(shè)置的太小，采樣壓縮后會(huì)遺漏掉圖像的很多有用信息，最終影響圖像的復(fù)原效果。

針對(duì)測(cè)量矩陣的改善問(wèn)題，將偽高斯矩陣和部分傅里葉方法結(jié)合在一起，用結(jié)構(gòu)化的隨機(jī)測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)方法，這種測(cè)量矩陣具有與所有基不相關(guān)的特性，同時(shí)也有較快的計(jì)算速度，能夠很好地解決上述問(wèn)題。

5 結(jié) 論

本文將壓縮感知理論與小波理論相結(jié)合，利用小波變換在圖像壓縮重構(gòu)上的優(yōu)勢(shì)，選取合適的小波基作為稀疏基，對(duì)一維信號(hào)和二維圖像采用正交匹配追蹤算法（OMP），進(jìn)行信號(hào)的壓縮和重構(gòu)，并對(duì)算法進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其良好的應(yīng)用效果。但是，壓縮感知理論對(duì)于OMP重構(gòu)算法的最優(yōu)化以及如何找到一種有效且快速的稀疏分解算法等問(wèn)題還需要進(jìn)一步深入研究。

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