靜水中大雷諾數(shù)球形顆粒變加速沉降的理論分析與試驗

尹則高,王振魯,張 黎,尹勝強

(1.中國海洋大學(xué)山東省海洋工程重點實驗室,山東青島 266100; 2.中國海洋大學(xué)工程學(xué)院,山東青島 266100)

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靜水中大雷諾數(shù)球形顆粒變加速沉降的理論分析與試驗

尹則高1,2,王振魯2,張 黎2,尹勝強2

(1.中國海洋大學(xué)山東省海洋工程重點實驗室,山東青島 266100; 2.中國海洋大學(xué)工程學(xué)院,山東青島 266100)

摘要:基于單顆粒泥沙沉降的力學(xué)機理,對靜水中大雷諾數(shù)球形顆粒沉降過程中的受力狀況進行分析,推導(dǎo)出變加速沉降運動過程的瞬時速度、沉降歷時及沉降位移公式。試驗數(shù)據(jù)與所推導(dǎo)公式的計算結(jié)果對比分析表明:計算位移與實測值相對誤差都小于5%,大部分小于4%;瞬時沉速計算值與試驗值相對誤差都在7%以內(nèi),大部分小于5%,計算值與實測值吻合良好。

關(guān)鍵詞:球形顆粒;變加速沉降;沉降位移;瞬時沉速;沉降歷時;雷諾數(shù)

19世紀中期以來,在水力學(xué)、流體化工等領(lǐng)域,人們對液體中球形顆粒的沉降行為進行了大量研究。單顆粒泥沙沉降方面,Stokes[1]研究了層流中單顆粒球體的沉降現(xiàn)象,提出了阻力系數(shù)計算公式,該公式可用于沙粒雷諾數(shù)小于1的靜水中球體的沉速規(guī)律研究。Kaplun等[2-3]采用微擾動理論得到了沉降阻力系數(shù)的公式,然而該公式同樣只適用于雷諾數(shù)小于1的靜水沉沙。張瑞瑾等[4]考慮顆粒黏性阻力和紊動阻力,提出了計算最終沉速的半經(jīng)驗公式,該公式適用于顆粒雷諾數(shù)為0. 5～1 000之間時靜水中的運動。李大鳴等[5-6]研究了單顆粒球體繞流行為,提出了顆粒雷諾數(shù)小于4×104時靜水中沉沙的阻力系數(shù)計算公式。Ahrens[7]引入阿基米德浮力指數(shù),建立了估算泥沙沉速的計算公式。Smith 等[8]則采用夏威夷瓦湖島的鈣質(zhì)沙粒來研究泥沙沉速,結(jié)果表明顆粒形狀對最終沉速影響較大。

一般說來,群體泥沙顆粒最終沉速與單顆粒最終沉速是不同的。Han等[9]利用錐形沉降筒進行了非均勻顆粒的沉降試驗,得到了相應(yīng)的最終沉速公式。Winterwerp[10]研究了黏性泥沙的膠凝過程,給出了最終沉速的計算公式。Ni等[11]采用拉格朗日方法模擬了固液二相流中群體顆粒的垂直運動,結(jié)果表明顆粒間作用力和重力是影響垂向運動狀態(tài)的主要因素。金文等[12]及Luo等[13]分別在長江口和太湖進行了群體泥沙最終沉速的觀測。前者采用PIV(Partical Image Velocimetry)來測量平均的泥沙沉速,并分析了懸沙濃度和絮凝等因素對泥沙沉降的影響;后者的研究表明細顆粒懸浮物的最終沉速變化范圍為0. 01～0. 05 cm/ s,下沉的懸浮物是以絮凝形式存在的。王筱[14]提出基于圖像灰度的細顆粒泥沙群體沉速試驗方法,開發(fā)了一套細顆粒泥沙沉降試驗系統(tǒng),通過沉降試驗得到沉速隨時間和顆粒濃度的變化規(guī)律,并擬合了細沙群體沉速的計算式。陳曦[15]則采用長江口的細顆粒泥沙與原狀海水,利用新式沉降筒等設(shè)備,研究了懸沙靜水沉速與水溫、鹽度、含沙量的相關(guān)關(guān)系,并給出了泥沙靜水沉降的經(jīng)驗公式。Fathi-Moghadam等[16]模擬了湖泊以及大型水庫中黏性泥沙的沉降行為,建立了絮凝率最大時最終沉速的經(jīng)驗方程。

目前,單顆粒球體勻速沉降的理論和公式已經(jīng)被廣泛地接受和應(yīng)用,然而對初速度不等于最終沉速的顆粒沉降行為特性研究仍較少。初速度為零的情況下,顆粒作變加速沉降,隨著瞬時沉速的增大,顆粒的有效重力和繞流阻力的合力逐漸減小,瞬時沉速繼續(xù)增加,直到達到最終沉速,開始勻速沉降階段。吳華林等[17]研究了小雷諾數(shù)靜水中球形顆粒的沉降運動,建立了相應(yīng)的沉速公式。本文基于泥沙沉降的力學(xué)機制的理論分析,對靜水中大雷諾數(shù)的單顆粒球體的變加速沉降過程的受力情況進行了研究,給出了變加速沉降運動過程的瞬時速度、沉降歷時和沉降位移公式,并通過物理模型試驗,對公式計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)進行驗證。

1 單顆粒球體靜水變加速沉降的力學(xué)分析

1. 1 單顆粒球體靜水變加速沉降運動方程

對一個質(zhì)量為M的球形顆粒,其靜水沉降的一般運動方程(坐標軸方向與重力方向一致)[17]為

式中:M、ωs、t分別為顆粒的質(zhì)量、瞬時沉速和沉降時間;F為顆粒沉降所受的合力。F可以由下式[17]表示:

式中W、Fr、Fa、Fb、Fm、Fs分別為有效重力、阻力、附加質(zhì)量力、Basset力、Magnus力以及Saffman力。式(2)最后兩項統(tǒng)稱為升力、是物體在介質(zhì)中發(fā)生運動所引起的阻力,由于升力數(shù)值遠小于有效重力和繞流阻力,故忽略其對顆粒沉降的影響[17];而Basset力在加速運動初期為重力的10%,在其他階段Basset力更小,所以將該力忽略,不會給分析結(jié)果帶來過大的影響[17]。因此式(2)可簡化為

附加質(zhì)量力表達的是理想流體阻礙物體非定常運動所產(chǎn)生的阻力,其影響表現(xiàn)在物體表觀質(zhì)量的增加量;若球形顆粒在水中做加速沉降時,增量為顆粒所排擠出的流體質(zhì)量的一半。所以附加質(zhì)量力可以由下式[17]表達:

式中m為與球形顆粒體積相等的水體質(zhì)量。

將式(1)(4)(6)和(7)代入式(3),得到單顆粒球體在靜水中的變加速沉降運動方程為

1. 2 運動方程的求解

靜水中大雷諾數(shù)球形顆粒的最終沉速采用下式[18]計算:

取ρw=1000 kg/ m3,令

對(10)式積分得

式中C1為積分常數(shù)。

式(11)可變換為

將式(13)進行變換,得到:

設(shè)H為變加速沉降的距離,T為時間,將dH =ωsdt對時間進行積分可得

1. 3 討論

式(13)表明,當ω0＜ω時,ωs隨著時間增加而增大;當時間趨于無窮時,ωs趨于ω。當ω0＞ω時, ωs隨著時間增加而減小;當時間趨于無窮時,ωs趨于ω。這反映了球形顆粒在不同的入水條件下(即初速度不同)的運動狀態(tài),其運動規(guī)律在定性上是符合實際情況的。如果將ω0=0代入式(13)(14) (15),可得

假設(shè)當ωs= 0. 9ω時,認為變加速沉降階段結(jié)束,進入勻速沉降階段,則變加速沉降階段歷時T和位移H為

需要注意的是,目前沒有公認的判別標準來判斷變加速沉降階段的結(jié)束。如果以ωs=0. 95ω或者0. 99ω作為判別標準,會得到不同的結(jié)果。例如以ωs=0. 95ω作為結(jié)束變加速沉降階段的判別標準,則有:

2 物理模型試驗

2. 1 試驗器材

長方體玻璃水槽,邊長為0.3 m×0.3 m,高2 m;兩種密度不同的塑料和一種玻璃球形顆粒,粒徑為11.4～20.4 mm,密度分別為1 165.5 kg/ m3、1 265.2 kg/ m3和2584. 6 kg/ m3;溫度計,精度為0. 1℃;攝像機、游標卡尺、刻度紙和分析天平等。

2. 2 試驗步驟

第1步:測量水溫和顆粒粒徑、質(zhì)量,計算球形顆粒的密度。按照小球密度的不同,分為3組,每組取粒徑不同的4個小球,組合成12種工況,見表1。

表1 試驗工況

第2步:為方便讀取位移數(shù)據(jù),在玻璃水槽外側(cè)貼上毫米刻度紙。將球形顆粒于水面無初速度放下,自由下沉(圖1),用攝像機記錄球體下沉過程。由于攝像頭不同的俯仰角度導(dǎo)致圖像中顆粒在刻度紙上的位置與實際位置存在不同的偏差,試驗中將攝像機分別放在不同位置(水面處、水下2 cm、4 cm、6 cm、8cm、10cm、12cm、14cm、16cm處)進行多次重復(fù)試驗和觀測錄像,每次只讀取攝像頭水平位置上下2 cm范圍的參數(shù),可大致保證位置數(shù)據(jù)的準確性。從開始運動的第1幀開始,逐幀讀取影像數(shù)據(jù),找到各幀所對應(yīng)的位移和時刻,計算前后兩幀圖像對應(yīng)狀態(tài)的瞬時速度。

圖1 沉降試驗示意圖(單位:cm)

第3步:在水槽外側(cè)靜水位下30cm處和110 cm處分別畫上刻度線,當球形顆粒經(jīng)過刻度線時,利用秒表記錄對應(yīng)時刻,計算勻速沉降時間,求得最終沉速。

3 數(shù)據(jù)分析與公式驗證

3. 1 沉降位移

表2為變加速沉降位移的試驗數(shù)據(jù)與式(20)計算結(jié)果的對比。從表1和表2可以看出,密度相等且初速度都為零的情況下,粒徑越大的球形顆粒紊流區(qū)變加速沉降運動歷時越長、位移越大;計算位移與實測值相比,相對誤差都小于5%,一般小于4%,兩者吻合較好,計算結(jié)果比較可靠。

表2 實測沉降歷時、位移與公式計算結(jié)果對比

3. 2 瞬時沉速

變加速運動瞬時沉速計算值和觀測值的比對如圖2所示(圖中每兩幀圖像之間的時間間隔為1/30 s)。從圖2可以看出,隨著沉降時間增加,瞬時沉速也隨之增大;隨沉降時間的增加,顆粒所受合力逐漸減小,瞬時沉速增大的幅度越來越小;當瞬時沉速接近一個常數(shù)時,球形顆粒完成加速沉降并達到勻速沉降狀態(tài)。圖2中,瞬時沉速計算值與試驗觀測值相對誤差都在7%以內(nèi),一般都在5%以內(nèi),相差較小,吻合較好,說明球形顆粒變加速運動瞬時沉速的計算公式比較可靠。

圖2 瞬時沉速計算值與實測值對比

4 結(jié) 語

基于單顆粒泥沙沉降的力學(xué)機理,在分析靜水中大雷諾數(shù)單球形顆粒受力狀況的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出變加速沉降運動過程中的瞬時沉速、沉降歷時及沉降位移公式。物理模型試驗結(jié)果表明,所推導(dǎo)公式的計算值與實測值吻合較好,推導(dǎo)的公式可靠,研究成果可以為球體變加速沉降運動分析提供一定的參考。

為進一步提高公式的計算精度,在后續(xù)的研究中需要適當考慮Basset力、Magnus力和Saffman力的影響。

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Theoretical analysis and experimental study of accelerating settlement of a spherical particle in still water with high Reynolds number

/ / YIN Zegao1,2, WANG Zhenlu2, ZHANG Li2, YIN Shengqiang2(1. Shandong Proυince Key Laboratory of Ocean Engineering, Ocean Uniυersity of China, Qingdao 266100, China; 2. College of Engineering, Ocean Uniυersity of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:The forces on a spherical particle settling in still water with a high Reynolds number were investigated based on the settlement mechanisms of single particles of sediment. The formulas of instantaneous settlement velocity, settlement duration, and settlement displacement during accelerating settlement were deduced. The computational results from the formulas were compared with the experimental results. It was found that the relative errors were all less than 5% between the computational displacement and experimental data, and most of them were less than 4%; and the relative errors were all less than 7% between the computational instantaneous settlement velocity and experimental data, and most of them were less than 5%, indicating that the computational values agreed with the experimental data.

Key words:spherical particle; accelerating settlement; settlement displacement; instantaneous settlement velocity; duration of settlement; Reynolds number

(收稿日期:2015- 01 26 編輯:鄭孝宇)

DOI:10. 3880/ j. issn. 1006 7647. 2016. 02. 002

作者簡介:尹則高(1977—),男,副教授,博士,主要從事水沙動力學(xué)研究。E-mail:yinzegao@ ouc. edu. cn

基金項目:國家自然科學(xué)基金(51579229,51009123);山東省科技發(fā)展計劃(2014GHY115026)

中圖分類號:TV142+. 1

文獻標志碼:A

文章編號:1006 7647(2016)02 0006 04