Levenberg-Marquardt算法在空間三維測(cè)邊網(wǎng)中的應(yīng)用

王羅剛，王同合，范百興，程志強(qiáng)，王偉杰

(1.信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001；2.浙江華東建設(shè)工程有限公司，浙江 杭州 310000)

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Levenberg-Marquardt算法在空間三維測(cè)邊網(wǎng)中的應(yīng)用

王羅剛1，王同合1，范百興1，程志強(qiáng)1，王偉杰2

(1.信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001；2.浙江華東建設(shè)工程有限公司，浙江 杭州 310000)

摘要：高精度三維坐標(biāo)控制網(wǎng)是進(jìn)行空間大尺寸精密坐標(biāo)測(cè)量的基礎(chǔ)，在對(duì)大尺寸機(jī)構(gòu)和大型設(shè)備的安裝、調(diào)試、監(jiān)測(cè)過(guò)程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。現(xiàn)階段，激光測(cè)距的精度可達(dá)微米級(jí)，因此，利用激光測(cè)距可建立高精度的三維控制網(wǎng)。與邊角網(wǎng)中點(diǎn)位精度受測(cè)角和測(cè)距精度兩者的影響不同，三維測(cè)邊網(wǎng)中點(diǎn)位精度僅受測(cè)距誤差的影響。為了建立全局的精密三維控制網(wǎng)，文中基于激光測(cè)距建立了三維測(cè)邊網(wǎng)整體平差模型，解算出測(cè)站點(diǎn)與定向點(diǎn)坐標(biāo)，并利用Levenberg-Marquardt(LM)優(yōu)化算法根據(jù)距離前方交會(huì)原理對(duì)三維網(wǎng)進(jìn)行優(yōu)化。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，優(yōu)化算法提高了定向點(diǎn)的精度。

關(guān)鍵詞：三維控制網(wǎng)；激光測(cè)距；Levenberg-Marquardt算法；距離前方交會(huì)

在精密工程測(cè)量領(lǐng)域，各種大型精密機(jī)械和實(shí)驗(yàn)設(shè)備安裝工程的測(cè)量都離不開(kāi)三維坐標(biāo)控制網(wǎng)，例如大型飛機(jī)部件的裝配、大型粒子加速器工程磁鐵定位、大口徑天線的安裝、汽車(chē)船舶的制造等現(xiàn)代工業(yè)方面對(duì)測(cè)量精度提出了很高的要求[1，2]。激光跟蹤儀采用單頻激光干涉測(cè)距原理，可以獲取極高精度的空間距離觀測(cè)值，按球坐標(biāo)原理求解出點(diǎn)位精度高達(dá)±(15 μm+6 μm/m)，是當(dāng)前精度最高的移動(dòng)式坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)。利用激光跟蹤儀建立大范圍精密控制網(wǎng)已經(jīng)取得了成功的運(yùn)用，比如大型粒子加速器工程控制網(wǎng)、高速鐵路軌道控制網(wǎng)(CPIII)等[3-6]。為充分發(fā)揮激光測(cè)距精度高的特點(diǎn)而又避免受到測(cè)角誤差的影響，利用徠卡新型激光測(cè)距儀μ-base建立三維測(cè)邊網(wǎng)，在自由網(wǎng)整體平差基礎(chǔ)上，運(yùn)用最Levenberg-Marquardt(LM)優(yōu)化算法，對(duì)定向點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，以提高定向點(diǎn)的精度。

1空間三維測(cè)邊網(wǎng)

1.1μ-base測(cè)距儀

激光測(cè)距儀μ-base采用絕對(duì)距離測(cè)量技術(shù)(Absolute Distance Meter，ADM)，基于斐索干涉原理(Fizeau’s principle),運(yùn)用調(diào)制和偏振紅外光，將周期性脈沖信號(hào)通過(guò)外部調(diào)制器疊加于紅外光束，光束經(jīng)過(guò)光電晶體時(shí)因?yàn)橄鄬?duì)于光軸位置的不同(不同折射率) 導(dǎo)致線性偏振光具有不同的傳播速度。通過(guò)調(diào)制頻率獲取整數(shù)級(jí)次N以及對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)λ，即可計(jì)算出距離

(1)

測(cè)距儀μ-base由主機(jī)、電源適配器、接口盒及計(jì)算機(jī)等單元組成，如圖1所示。

圖1　μ-base測(cè)距儀

激光跟蹤儀與μ-base測(cè)距儀的測(cè)距技術(shù)參數(shù)如表1所示。

表1　主要技術(shù)參數(shù)

徠卡新型激光測(cè)距儀μ-base在160 m測(cè)量范圍內(nèi)測(cè)距精度高達(dá)±10 μm，較之徠卡AT901-B型激光跟蹤儀80 m量程有很大的優(yōu)勢(shì)，意味著可以減少儀器設(shè)站次數(shù)，減弱系統(tǒng)誤差累積的影響。

1.2距離交會(huì)原理

在已知m個(gè)測(cè)站點(diǎn)對(duì)未知點(diǎn)P(x,y,z)進(jìn)行距離測(cè)量得到S1,…,Sm，以各測(cè)站為中心，觀測(cè)距離Si為半徑，按兩點(diǎn)間距離公式列方程組求出未知點(diǎn)P的坐標(biāo)值，即為距離前方交會(huì)(見(jiàn)圖2)；反之，在未知測(cè)站測(cè)量已知坐標(biāo)的定向點(diǎn)求解測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)為距離后方交會(huì)[7]。在平面控制網(wǎng)中，至少需要2個(gè)測(cè)站才可交會(huì)求出點(diǎn)位平面坐標(biāo)；空間三維控制網(wǎng)中，至少需要3個(gè)測(cè)站交會(huì)求出三維坐標(biāo)值，多數(shù)情況下，常設(shè)3站以上保證有多余觀測(cè)量求最優(yōu)解。

圖2　距離前方交會(huì)

從第i個(gè)測(cè)站觀測(cè)未知點(diǎn)P，可得到該觀測(cè)邊Si的誤差方程式

(2)

1.3控制網(wǎng)布設(shè)條件

布設(shè)獨(dú)立測(cè)邊網(wǎng)時(shí)，采用自由設(shè)站法，因此測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)和定向點(diǎn)坐標(biāo)都是未知的。在三維網(wǎng)中，無(wú)已知坐標(biāo)、方位角和高度角作為基準(zhǔn)則為自由網(wǎng)(無(wú)約束網(wǎng))[8]。m個(gè)測(cè)站觀測(cè)n個(gè)定向點(diǎn)產(chǎn)生mn個(gè)距離誤差方程式，整個(gè)測(cè)邊網(wǎng)中未知數(shù)只有測(cè)站點(diǎn)和定向點(diǎn)的三維坐標(biāo)，不涉及各測(cè)站之間的旋轉(zhuǎn)參數(shù)和尺度因子，因此，共有r=3(m+n)個(gè)未知數(shù)。要解算出整個(gè)控制網(wǎng)中全部未知數(shù)，測(cè)站數(shù)與定向點(diǎn)數(shù)需滿足如下條件：

(3)

式中，m，n均取整數(shù)，測(cè)站數(shù)m與定向點(diǎn)數(shù)n進(jìn)一步滿足以下關(guān)系：

(4)

由上式可看出，不論測(cè)站增加多少，定向點(diǎn)數(shù)不能少于4個(gè)，兩者最小取值對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2所示。

表2　測(cè)站數(shù)與定向點(diǎn)數(shù)關(guān)系

1.4整體平差方法

對(duì)式(2)距離觀測(cè)方程進(jìn)行線性化后得到誤差方程

(5)

(6)

利用式(5)建立誤差方程組

(7)

自由網(wǎng)平差中未知數(shù)向量只包括所有點(diǎn)的坐標(biāo)未知數(shù)，沒(méi)有固定基準(zhǔn)引起基準(zhǔn)秩虧，則在法方程矩陣N上加約束矩陣G消除奇異性并求出逆矩陣。通常三維網(wǎng)的基準(zhǔn)數(shù)d=6，其矩陣中G滿足NG=0，以重心為基準(zhǔn)的約束矩陣G的具體形式有[9，10]

(8)

(9)

距離觀測(cè)量互相獨(dú)立且為同一儀器測(cè)量得到，權(quán)陣P取單位陣。

2Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法

三維網(wǎng)整體平差后可得到全部測(cè)站點(diǎn)和定向點(diǎn)的三維坐標(biāo)，為提高定向點(diǎn)的點(diǎn)位精度，以測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)為基準(zhǔn)，按距離前方交會(huì)原理解算定向點(diǎn)坐標(biāo)，列出觀測(cè)距離殘差方程

(10)

對(duì)于方程個(gè)數(shù)多于未知數(shù)的超定方程沒(méi)有精確的求根公式，往往是在一定準(zhǔn)則下優(yōu)化逼近一組解作為最優(yōu)值。

Levenberg Marquardt(列文伯格—馬夸爾特法，LM)算法是廣泛應(yīng)用于各項(xiàng)領(lǐng)域的非線性最小二乘算法，可被看做是梯度下降法(gradient descent)和高斯牛頓法(Gauss-Newton)的組合，具備高斯牛頓法的局部收斂性和梯度下降法的全局特性[11，12]。

(11)

LM算法的基礎(chǔ)是函數(shù)f在p附近的線性逼近，將f(p)進(jìn)行泰勒一階展開(kāi)[13]

(12)

(13)

其標(biāo)準(zhǔn)最小二乘解為

(14)

當(dāng)ε很小時(shí)，等式中法方程系數(shù)陣N=JTJ近似于Hessian矩陣，容易導(dǎo)致矩陣秩虧而無(wú)法求取N-1。LM算法對(duì)N進(jìn)行改造，保持矩陣中非對(duì)角線元素不變，加入一對(duì)角陣μ(μ>0)，得到新的法方程矩陣

(15)

在矩陣中加入對(duì)角陣的這種方法稱為阻尼，μ為阻尼因子。將解算出的p+δp代入函數(shù)關(guān)系式，判斷ε變化情況：若ε減小，則接受此μ并繼續(xù)進(jìn)行下一步迭代；若ε增大，則加大μ，直至ε減小。LM算法可自適應(yīng)調(diào)整阻尼因子的大小，當(dāng)收斂較慢時(shí)，增大μ，蛻化為梯度下降法；當(dāng)收斂至最小值附近時(shí)，減小μ，更接近于高斯牛頓法。通過(guò)這種方式，得到δp的LM解

(16)

LM算法計(jì)算步驟如下：

1)給定初始參數(shù)向量p=p0并設(shè)定終止精度條件ε，計(jì)算εp=x-f(p)。k=0，μ=μ0，v>1。

LM優(yōu)化算法實(shí)質(zhì)是通過(guò)采用系數(shù)矩陣阻尼的方法改造矩陣JTJ的性態(tài)，避免成為病態(tài)矩陣以此保證函數(shù)模型可解。算法的解算速度和精度主要取決于初始參數(shù)設(shè)置、算法參數(shù)及測(cè)量誤差。

3實(shí)驗(yàn)與分析

3.1實(shí)驗(yàn)環(huán)境

在某室內(nèi)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)約15m×10m空間范圍內(nèi)，均勻布設(shè)16個(gè)定向點(diǎn)，分別固定于墻壁、地面和觀測(cè)墩之上，最大高差約為1.5m；在場(chǎng)地中央分別布設(shè)4個(gè)測(cè)站，測(cè)距儀近似水平，且最大高差約為0.2m。點(diǎn)位平面分布情況如圖3所示。

圖3　控制網(wǎng)點(diǎn)位分布示意圖

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，保持室內(nèi)溫度在25°左右，大氣壓強(qiáng)1 003.2kPa，濕度50%，最大限度減弱環(huán)境變化引起的測(cè)量誤差。

3.2數(shù)據(jù)分析

采用自由網(wǎng)平差模型解算三維測(cè)邊網(wǎng)，解算出測(cè)站點(diǎn)和定向點(diǎn)坐標(biāo)的平差結(jié)果，分別如表3、表4所示。

表3　測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)　mm

表4　定向點(diǎn)坐標(biāo) 　mm

從整網(wǎng)平差結(jié)果看，測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)精度明顯優(yōu)于定向點(diǎn)坐標(biāo)，但是z軸方向中誤差遠(yuǎn)大于x軸和y軸；用平差結(jié)果反算各測(cè)站至定向點(diǎn)距離，誤差平均值分別為2.8 μm，-2.8 μm，0.6 μm，1.5 μm。

3.3LM算法優(yōu)化

采用LM優(yōu)化算法對(duì)三維網(wǎng)整體平差后定向點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)比各點(diǎn)的平差與優(yōu)化后坐標(biāo)值中誤差大小。定向點(diǎn)LM優(yōu)化后效果如圖4所示。

圖4　定向點(diǎn)LM優(yōu)化后效果

從圖4中可以看出，經(jīng)LM算法優(yōu)化后x,y軸方向誤差大幅下降且趨于平穩(wěn)，點(diǎn)位的平面誤差平均值由0.97 mm降至0.031 mm，垂直方向由0.65 mm降至0.02 mm。

4結(jié)論

1)LM優(yōu)化算法充分利用激光測(cè)距精度高的優(yōu)勢(shì)，改善了整體平差結(jié)果，大幅提高了定向點(diǎn)的點(diǎn)位精度。

2)受實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地的限制，點(diǎn)位布設(shè)在垂直方向最大相差1.5 m，網(wǎng)型結(jié)構(gòu)較差導(dǎo)致三維網(wǎng)整體平差結(jié)果中z軸方向中誤差偏大，下一步計(jì)劃在更大空間范圍內(nèi)合理布置控制點(diǎn)，改善點(diǎn)位垂直方向的分布。

3)根據(jù)測(cè)站點(diǎn)與優(yōu)化后的定向點(diǎn)坐標(biāo)可反算出各個(gè)測(cè)站到定向點(diǎn)的距離，其與觀測(cè)距離差值優(yōu)于±20 μm。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

Application of Levenberg-Marquardt algorithm to 3D trilateration network

WANG Luogang1，WANG Tonghe1，F(xiàn)AN Baixing1，CHENG Zhiqiang1，WANG Weijie2

(1.Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China；2.Zhejiang Huadong Construction Engineering Co.，Ltd，Hangzhou 310000，China)

Abstract：High precision three-dimensional coordinate control network is the basis of large space precision coordinate measuring，which plays a vital role in large institutions and equipment installation，debugging and monitoring process.At present，laser ranging accuracy can reach micron grade，so it can be used to establish a high precision three-dimensional control network.Different from the traditional triangulateration network，the control network is affected by the measurement accuracy and the accuracy of the distance measurement.The trilateration network is only related to the accuracy of the distance measurement.In order to build a global precision three-dimensional control network，this paper,based on the laser ranging established trilateration network overall adjustment model，consequently calculates the station and orientation points coordinates，and the Levenberg-Marquardt algorithm is used to optimized the network according to the distance forward intersection.The results show that the optimization algorithm can improve the accuracy of the orientation points.

Key words：three-dimensional network；laser ranging；Levenberg-Marquardt algorithm；distance forward intersection

中圖分類號(hào)：P225

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-7949(2016)03-0068-05

作者簡(jiǎn)介：王羅剛(1991-)，男，碩士研究生.

收稿日期：2015-07-21