輸入受限不確定線性系統(tǒng)混合鎮(zhèn)定

林燦煌,孫洪飛(廈門大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,福建廈門361005)

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輸入受限不確定線性系統(tǒng)混合鎮(zhèn)定

林燦煌,孫洪飛*
(廈門大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,福建廈門361005)

摘要:針對輸入受限不確定線性系統(tǒng),同時考慮其暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,提出了混合穩(wěn)定的概念和控制策略.使得閉環(huán)系統(tǒng)在滿足給定的輸入約束條件下,在給定的時間區(qū)間內(nèi)有限時間穩(wěn)定,在無窮時間區(qū)間上漸近穩(wěn)定.分別將有限時間控制問題和無窮時間控制問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(LMI)約束的可行解問題.本質(zhì)上混合穩(wěn)定控制器是關(guān)于時間的分段函數(shù).為了減緩前后兩個控制器在切換時刻的不連續(xù)性所帶來的潛在的抖振,本文通過引入一個時間緩沖得到改進的混合穩(wěn)定控制器,并通過某高超聲速飛行器再入數(shù)學(xué)模型仿真,驗證了控制器設(shè)計方法的有效性.

關(guān)鍵詞:混合穩(wěn)定;輸入受限;有限時間穩(wěn)定;漸近穩(wěn)定;高超聲速飛行器

過去幾十年中Lyapunov穩(wěn)定性理論受到廣泛研究[1].Lyapunov穩(wěn)定性關(guān)注的是無窮時間區(qū)間里系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性、漸近性,但并不能反映系統(tǒng)的暫態(tài)性質(zhì).一個在無窮時間內(nèi)漸近穩(wěn)定的系統(tǒng),未必有很好的暫態(tài)性能(例如過渡時間可能很長、超調(diào)量可能很大),甚至根本無法在實際中應(yīng)用.為了研究系統(tǒng)在一段時間內(nèi)的性能,Dorato[2]提出了有限時間穩(wěn)定的概念.有限時間穩(wěn)定要求在一個固定的時間區(qū)間內(nèi),系統(tǒng)的狀態(tài)不會超過指定的界限.Amato等[3]針對存在擾動的非線性系統(tǒng),推廣了有限時間穩(wěn)定,提出了有限時間有界的概念,得到了系統(tǒng)受到不確定和外部干擾影響情況下,通過狀態(tài)反饋保證系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的充分條件,這一條件隨后利用線性矩陣不等式(LMI)轉(zhuǎn)化為一個凸優(yōu)化問題.Amato等[4]對離散線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定做了研究.由于實際系統(tǒng)狀態(tài)難以測量,Amato 等[5]設(shè)計輸出反饋控制器保證系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定或者有限時間有界.除了常規(guī)系統(tǒng)外,Amato等[6-7]對跳躍系統(tǒng)、脈沖系統(tǒng)的有限時間控制也做了相應(yīng)的研究.

實際應(yīng)用中,控制系統(tǒng)應(yīng)該具有良好的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能,為同時保證暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能需要將兩者結(jié)合.目前,同時考慮暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能的研究還鮮有報道.

在實際控制系統(tǒng)中,每一個系統(tǒng)的機構(gòu)執(zhí)行能力都是有限的,被控對象的實際輸入和控制器的輸出不會總是相等.輸入受限直接影響閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能,甚至?xí)斐上到y(tǒng)不穩(wěn)定.在Lyapunov穩(wěn)定意義范疇內(nèi),執(zhí)行器飽和控制系統(tǒng)的設(shè)計方法大致可歸為兩大類:直接設(shè)計法和抗飽和方法.

直接設(shè)計方法:在控制器設(shè)計時提前考慮飽和問題,避免飽和的發(fā)生.Glattfelder等[8]研究了一個帶飽和執(zhí)行器的單輸入單輸出系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,通過采用圓盤定理和Popov穩(wěn)定性判據(jù)來分析飽和系統(tǒng)的穩(wěn)定性.Mesquine等[9]針對狀態(tài)和輸入均受限的不確定系統(tǒng),基于正不變集概念提出了魯棒狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方法,并將穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)換為LMI形式.

抗飽和設(shè)計方法:首先忽略飽和非線性,設(shè)計滿足給定性能指標(biāo)的控制器,然后以執(zhí)行機構(gòu)的輸入輸出差作為抗飽和補償器的輸入,設(shè)計補償器弱化飽和的影響.Kothare等[10]提出了抗飽和控制框架,并采用回饋計算和跟蹤策略,即在系統(tǒng)的控制器發(fā)生積分飽和期間,引入一個反饋信號來調(diào)整控制器的輸出信號,以減少積分飽和問題對系統(tǒng)運行的不利影響,并使系統(tǒng)盡快退出飽和區(qū).基于抗飽和的思想設(shè)計控制器需要加入抗飽和補償器,增加了系統(tǒng)的維數(shù),從而增加了計算負擔(dān)[10].輸入受限系統(tǒng)的研究基本上均在無窮時間區(qū)間上展開.有限時間區(qū)間上輸入受限的研究還比較少見.

本文針對具有結(jié)構(gòu)不確定性的線性系統(tǒng),同時兼顧了系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,設(shè)計控制器以使閉環(huán)系統(tǒng)按照期望的暫態(tài)和穩(wěn)定指標(biāo)運行.閉環(huán)系統(tǒng)對所有滿足一定假設(shè)條件的不確定性,既要求有限時間穩(wěn)定又要求漸近穩(wěn)定(本文稱之為混合穩(wěn)定).在考慮輸入受限影響下,采用直接設(shè)計方法設(shè)計狀態(tài)反饋控制器,利用有限時間穩(wěn)定的理論設(shè)計暫態(tài)控制器,利用漸近穩(wěn)定理論設(shè)計穩(wěn)態(tài)控制器,將混合穩(wěn)定控制器設(shè)計成關(guān)于時間的分段函數(shù)為有限時間穩(wěn)定控制器,u2為漸近穩(wěn)定控制器.利用LMI技術(shù),將u1和u2均設(shè)計為狀態(tài)反饋形式.本研究一方面解決了有限時間區(qū)間上輸入受限不確定系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定的控制問題,另一方面解決了同時考慮系統(tǒng)帶有不確定性和輸入受限約束的情況下如何設(shè)計控制器使得系統(tǒng)具有良好的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能問題.將本文設(shè)計的控制器在某高超聲速飛行器的再入非線性數(shù)學(xué)模型上進行了仿真,結(jié)果表明所設(shè)計的混合穩(wěn)定控制器能保證飛行器能以較小的超調(diào)量和較快的速度完成某種姿態(tài)的鎮(zhèn)定.

1 問題描述

考慮如下不確定線性系統(tǒng):

其中x∈Rn,u∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸入.A ∈Rn×n,B∈Rn×m是描述標(biāo)稱系統(tǒng)模型的已知實常數(shù)矩陣.ΔA,ΔB是系統(tǒng)的不定參數(shù)矩陣并假設(shè)它們是范數(shù)有界的,且可寫為如下形式[11]:

其中Δ(t)∈Rd×e是一個滿足Δ(t)TΔ(t)≤I的不確定矩陣,F∈Rn×d,E1∈Re×n,E2∈Re×m是已知的常數(shù)矩陣,反映了不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)信息.

控制輸入滿足:

下面給出有限時間穩(wěn)定和混合穩(wěn)定的概念.

定義1 考慮如下線性時變系統(tǒng):

對于給定的四元數(shù)組(C1,C2,T,R'),其中C1< C2,T>0,0

那么稱該系統(tǒng)關(guān)于(C1,C2,T,R')是有限時間穩(wěn)定的.其中x(0)=x0是系統(tǒng)的初始狀態(tài).

定義2 考慮不確定系統(tǒng)(4),如果系統(tǒng)關(guān)于(C1, C2,T,R')是有限時間穩(wěn)定的,且在無窮時間區(qū)間上是LAS(Lyapunov asymptotic stability)的,那么稱系統(tǒng)是混合穩(wěn)定的.

問題1 本文要解決的問題是設(shè)計混合穩(wěn)定控制器

使得u(t)滿足輸入受限條件(3),系統(tǒng)(1)和控制器(5)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)混合穩(wěn)定.其中,K(t)為待求的時變狀態(tài)反饋增益矩陣.

2 控制器設(shè)計

為解決問題1,將K(t)寫成如下形式:

其中K1,K2為常數(shù)矩陣.控制器(6)本質(zhì)上是關(guān)于時間的分段函數(shù).u1=K1x的作用是使得閉環(huán)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定,u2=K2x的作用是使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.下面分別設(shè)計控制器u1和u2.

2.1有限時間控制器設(shè)計

首先考慮不確定線性系統(tǒng)(1)的暫態(tài)性能要求,設(shè)計控制器u1使得閉環(huán)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定.后文推導(dǎo)需要如下引理.

引理1[12]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D和E,其中Y是對稱的,則Y+DΔ(t)E+ETΔT(t)DT<0對所有滿足ΔT(t)Δ(t)≤I的矩陣Δ(t)成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個ε>0,使得Y+εDDT+ε-1ETE<0.

下面定理給出了系統(tǒng)(1)在滿足輸入受限約束條件(3)情況下,有限時間穩(wěn)定的一個充分條件.

定理1 如果存在兩個標(biāo)量ρ>0,ε>0,對稱正定矩陣Q1∈Rn×n和矩陣L∈Rm×n,使得

證明 設(shè)V(x)=xT?Q-11x,用V·表示V沿系統(tǒng)(1)軌線的導(dǎo)數(shù):

其中,A1=A+BK1,ΔA1=ΔA+ΔBK1=FΔ(t)(E1+ E2K1)=FΔ(t)E3,由Schur補引理知,式(7)等價于

因此,由式(8)可知xT(t)R'x(t)

設(shè)t1≤t2,則dt1≤dt2,就有εt1?εt2,可得到關(guān)系式∪t∈[0,T]εt=εT.

下面證明在給定的有限時間內(nèi),系統(tǒng)控制輸入總是滿足輸入受限約束條件(3).因為u=L?Q-11x,所以

將定理1轉(zhuǎn)化為如下基于LMI的可行解問題.

定理2 給定正數(shù)ρ>0,如果存在標(biāo)量ε>0,對稱正定矩陣Q1∈Rn×n和矩陣L∈Rm×n,使得式(7)和下列LMI成立:

因此當(dāng)式(19)成立,就可以保證式(9)成立.因此定理2滿足定理1,由定理1可知閉環(huán)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定且控制輸入滿足式(3).證畢.

2.2漸近穩(wěn)定控制器設(shè)計

考慮不確定系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)性能,設(shè)計控制器u2和初始狀態(tài)的允許集合Ω使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且對于從任意初始條件x(T)=x0∈Ω出發(fā)的狀態(tài)x(t),都有控制輸入u2=K2x滿足輸入約束條件(3).

引理2[13]如果存在正定對稱矩陣P∈Rn×n,K2∈Rm×n,常數(shù)ε>0,使得

那么,在不考慮輸入受限情況下,系統(tǒng)(1)連同控制器u2=K2x所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.給出如下定理用于解決考慮輸入受限情況下的漸近穩(wěn)定控制器設(shè)計問題.

定理3 如果存在矩陣Q=QT>0,Y∈Rm×n,常數(shù)ε>0使得

其中Yi是矩陣Y的第i行.

那么一定存在初始狀態(tài)的允許集合Ω和狀態(tài)反饋控制器u2(t)=YQ-1x(t)使得系統(tǒng)(1)連同該控制器所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,且當(dāng)x(T)∈Ω時,對任何t≥T系統(tǒng)輸入滿足約束條件(3).

證明 設(shè)V(x)=xTPx,其中,P=Q-1,沿系統(tǒng)(1)的軌跡求導(dǎo)得由Schur補引理可知式(22)等價于式(21),因此當(dāng)式(22)成立時,有式(21)成立.

由引理1知,式(24)等價于P[A+BK2+DΔ(t) (E1+E2K2)]+[A+BK2+DΔ(t)(E1+E2K2)]TP <0,即

其中,Q=P-1,Yi=KiQ.

因此當(dāng)條件(22),(23)滿足時,存在一個狀態(tài)反饋控制器u2=K2x,使得從任意初始條件x(T)=x0∈Ω出發(fā)的狀態(tài)x(t)都有控制輸入u2=K2x滿足收入受限約束條件(3),且系統(tǒng)(1)連同該控制器所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.證畢.

2.3混合穩(wěn)定控制器設(shè)計

定理4 給定正數(shù)ρ>0,如果存在2個標(biāo)量ε> 0,ε1>0對稱正定矩陣Q∈Rn×n,Q1∈Rn×n和矩陣L ∈Rm×n,Y∈Rm×n使得(7)～(19),(22)～(23)和下列LMI成立:

那么系統(tǒng)(1)存在一個混合穩(wěn)定控制器u(t)=

使得系統(tǒng)(1)連同該控制器所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是混合穩(wěn)定的,且系統(tǒng)輸入滿足輸入受限約束(3).

證明 由定理2和定理3可知,條件(7),(18), (19)保證了輸入受限情況下,閉環(huán)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定.條件(22),(23)保證了輸入受限情況下,閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.因此只需指出:當(dāng)控制器從K1x切換到K2x時,系統(tǒng)的初態(tài)在Ω內(nèi),即,該條件可由式(26)來保證.證畢.

2.4 改進控制器設(shè)計

由于定理4給出的混合穩(wěn)定控制器本質(zhì)是切換控制器.在t=T時刻,由于控制輸入的不連續(xù)性會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)跳變甚至抖振,從而影響系統(tǒng)的性能.為了消弱跳變的影響,需要對混合穩(wěn)定控制器(5)進行改進.基本思想是:引入一個小的時間段作為前后兩個控制器切換的緩沖,也就是切換不是在T時刻完成,而是需要經(jīng)過一小段時間來完成.為此,將控制器改寫為u=K(t)x.

需要注意的是緩沖時間應(yīng)盡可能少,使得漸近穩(wěn)定控制器盡量快速工作.但是時間過少也可能產(chǎn)生抖振,故需結(jié)合仿真結(jié)果進行判斷,并無一般原則.

3　數(shù)值仿真

以某高超聲速再入飛行器為例驗證本文所提出控制方法的有效性.高超聲速再入飛行器模型[14]如下:

其中,Ω=[α,β,μ]T,α,β,μ表示攻角、側(cè)滑角和傾斜角;w=[p,q,r]T,p,q,r分別為滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度、偏航角速度;δ=[δe,δa,δr]T為氣動舵面偏轉(zhuǎn)角.fs,gs,f1,g1,g2表達式參考文獻[14].控制輸入[15]滿足:

本節(jié)控制目的是考慮不確定和輸入受限影響下,設(shè)計混合控制器使得過渡時間在700 s內(nèi),超調(diào)量不超過10%.α,β,μ3個姿態(tài)角分別穩(wěn)定在平衡點α*, β*,μ*.平衡點處狀態(tài)x*=[α*,β*,μ*,p*,q*, γ*]T=(4.784,-0.002 5,1.589 7,0,0,0)T和輸入u*= [δ*e,δ*α,δ*r]T= (0.357 8,-0.752 8, 4.022 3)T.將高超聲速飛行器再入模型(28)在平衡點(x*,u*)線性化,誤差系統(tǒng)為:

?x=[A+ΔA(t)]x(t)+[B+ΔB(t)]u(t),(30)其中,x=[α,β,μ,p,q,r]T-x*,u=[δe,δα,δr]T-u*.輸入ui滿足:-30°-u*i≤ui≤30°-u*i,i=1,2, 3.矩陣A,B具體數(shù)值參考附錄.ΔA(t),ΔB(t)表示由于線性化和參數(shù)攝動所引起的誤差.ΔA(t),ΔB(t)分別滿足‖ΔA(t)‖≤0.2,‖ΔB(t)‖≤0.2,將ΔA(t),ΔB(t)寫成式(2),其中:

為了實現(xiàn)控制目的,選取(C1,C2,T,R')=(10,11, 700,I6×6).給定ρ=4.8,設(shè)緩沖時間t12=10.由定理4可得狀態(tài)反饋控制器增益K1,K2,具體數(shù)值參考附錄,由此可得到混合穩(wěn)定控制器u.分別將氣動力矩參數(shù)和慣量系數(shù)拉偏20%,對得到的控制器在高超聲速再入非線性模型(28)進行仿真.得到仿真結(jié)果如圖1～3所示.為了更好地說明混合穩(wěn)定控制器的優(yōu)越性,對式(28)分別使用混合穩(wěn)定控制器和漸近穩(wěn)定控制器,得到圖4在兩個不同控制器作用下的攻角變化曲線.

圖1　三姿態(tài)角變化曲線Fig.1 Response curves of attitude angles

由仿真結(jié)果圖可以看出,高超聲速飛行器在不確定和輸入受限情況下,三姿態(tài)角最終收斂到平衡點,系統(tǒng)的狀態(tài)不超過指定的界限,超調(diào)量小且再入全過程滿足輸入受限約束條件.且由圖4可以看出單獨使用漸近穩(wěn)定控制器,攻角變化曲線過渡時間長,超調(diào)量大.這說明本文設(shè)計的混合穩(wěn)定控制器方法的有效性和優(yōu)越性,保證了高超聲速飛行器的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能.

圖2　控制力矩變化曲線Fig.2 Curves of control inputs

圖3　xTRx變化曲線Fig.3 Curve of xTRx

圖4　分別使用混合穩(wěn)定控制器和LAS控制器攻角變化曲線Fig.4 Curves of attack angles under mixed controller and LAS controller

4 結(jié) 論

本文針對具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性且輸入受限的不確定系統(tǒng)提出了混合穩(wěn)定的概念.分別給出了閉環(huán)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的充分條件,將這些條件轉(zhuǎn)化為求解LMI.本質(zhì)上混合穩(wěn)定控制器是關(guān)于時間的分段函數(shù).為了減緩前后兩個控制器在切換時刻的不連續(xù)性所帶來的潛在的抖振,通過引入一個時間緩沖得到改進的混合穩(wěn)定控制器.高超聲速再入飛行器仿真結(jié)果表明,在參數(shù)不確定和輸入受限影響的情況下,該控制方案達到了預(yù)期的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的要求.飛行器系統(tǒng)姿態(tài)控制過程中超調(diào)量小,且全過程控制輸入幅值不超過給定的界限.

附 錄

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Mixed Stabilization of Uncertain Linear Systems with Input Constrains

LIN Canhuang,SUN Hongfei*
(School of Information Science and Engineering,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

Abstract:In view of the transient and steady performance,we propose a mixed-stability-control scheme for the uncertain linear systems with input constraints.This scheme guarantees both the finite-time stability and the asymptotic stability in the sense of Lyapunov for the closed-loop system.The control problem is expressed as a feasibility counterpart of linear-matrix-inequality(LMI)constraints.The mixed controller is a piecewise function of time,and thus potentially causes the transient jump due to the discontinuity of the controller at the switching time.For the purpose ofretarding the vibration,this paper introduces a time-interval buffer to modify the mixed controller.Finally,the numerical simulation applied to the mathematical model of a reentry hypersonic vehicle shows the validity of the proposed approach.

Key words:mixed stability;input constraints;finite-time stability;asymptotic stability;hypersonic vehicle

*通信作者:sunhf@xmu.edu.cn

基金項目:國家自然科學(xué)基金(61273153,61374037)

收稿日期:2015-07-16 錄用日期:2015-09-21

中圖分類號:TP 273

文獻標(biāo)志碼:A

文章編號:0438-0479(2016)02-0244-07

引文格式:林燦煌,孫洪飛.輸入受限不確定線性系統(tǒng)混合鎮(zhèn)定[J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,55(2):244-250.

Citation:LIN C H,SUN H F.Mixed stabilization of uncertain linear systems with input constrains[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55(2):244-250.(in Chinese)