環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)下基坑開(kāi)挖引起臨近地鐵盾構(gòu)隧道變形的能量計(jì)算法

周順華，何　超，肖軍華

(1.同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海　201804；2.同濟(jì)大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海　201804)

隨著地鐵規(guī)模的不斷擴(kuò)大，臨近運(yùn)營(yíng)地鐵隧道的基坑工程日益增多，以2014年9月對(duì)杭州地鐵1號(hào)線保護(hù)區(qū)內(nèi)的施工活動(dòng)巡查為例，沿線施工的基坑數(shù)量多達(dá)19個(gè)[1]?；娱_(kāi)挖會(huì)直接引發(fā)臨近運(yùn)營(yíng)地鐵盾構(gòu)隧道的不均勻變形，由此惡化輪軌動(dòng)力相互作用關(guān)系，加速隧道結(jié)構(gòu)性能損傷甚至失效，如盾構(gòu)隧道管片破壞、結(jié)構(gòu)滲漏水、軌下支承塊及道床破裂、鋼軌斷裂等，對(duì)地鐵運(yùn)營(yíng)安全造成嚴(yán)重威脅。為此上海市地鐵沿線建筑施工保護(hù)地鐵技術(shù)管理暫行規(guī)定[2]：地鐵結(jié)構(gòu)最終絕對(duì)位移不能超過(guò)20 mm。故研究基坑開(kāi)挖對(duì)臨近運(yùn)營(yíng)地鐵隧道的影響具有重要的實(shí)用價(jià)值。

針對(duì)此類(lèi)工程問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者已進(jìn)行了相關(guān)研究[3-16]。文獻(xiàn)[3，4]結(jié)合工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，分析了暗挖車(chē)站及盾構(gòu)隧道施工引起的臨近既有地鐵隧道變形規(guī)律；文獻(xiàn)[5，6]利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，推導(dǎo)了基坑開(kāi)挖卸荷引起臨近隧道豎向位移的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式；文獻(xiàn)[7—14]結(jié)合具體工程案例，采用有限單元法對(duì)周邊施工活動(dòng)引起的臨近隧道變形進(jìn)行數(shù)值模擬，將土體和隧道作為一個(gè)整體，模擬土體的彈塑性和土—隧道間復(fù)雜的相互作用特性；文獻(xiàn)[15，16]利用Mindlin解并結(jié)合彈性地基梁理論，推導(dǎo)了求解基坑和隧道開(kāi)挖引起臨近地鐵隧道變形的彈性地基梁法。綜上所述，目前的研究方法可分為經(jīng)驗(yàn)公式法、有限單元法、彈性地基梁法。經(jīng)驗(yàn)公式需依靠大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，使用范圍受數(shù)據(jù)來(lái)源限制；有限單元法計(jì)算的準(zhǔn)確性在很大程度上取決于土體本構(gòu)模型及參數(shù)的選取，且計(jì)算量大、建模復(fù)雜，需要專(zhuān)業(yè)軟件；彈性地基梁法屬于解析方法，通常采用差分法求解四階撓曲微分控制方程，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，需較多的分段數(shù)才能達(dá)到較好的計(jì)算精度，不適宜工程應(yīng)用。

SHEN W. Y.等[17-19]基于最小勢(shì)能原理，提出分析樁頂承受荷載作用時(shí)群樁變形和內(nèi)力的能量變分法，劉曉強(qiáng)等[20]將其應(yīng)用于分析隧道開(kāi)挖引起的管線響應(yīng)。相比有限單元法和彈性地基梁法，該方法具有積分求解簡(jiǎn)便、無(wú)需對(duì)隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化處理、且容易達(dá)到理想的計(jì)算精度等優(yōu)點(diǎn)，便于實(shí)際工程中推廣應(yīng)用。

然而無(wú)論彈性地基梁法還是能量變分法，均將隧道或管線視為等效均質(zhì)彈性地基梁，并假設(shè)其沿縱向發(fā)生彎曲變形。這種假設(shè)對(duì)于管線有其合理性，然而盾構(gòu)隧道在縱向上是由一系列襯砌環(huán)通過(guò)環(huán)間螺栓連接而成的多段式拼裝結(jié)構(gòu)體系，其可能的縱向變形模式有隧道頂、底部剛性張開(kāi)和環(huán)間錯(cuò)臺(tái)，王如路[21]結(jié)合工程實(shí)例分析得出盾構(gòu)隧道縱向變形模式為環(huán)間錯(cuò)臺(tái)方式，Shui-Long Shen[22]根據(jù)上海沉降數(shù)據(jù)分析也得出相同結(jié)論，因此將隧道視為等效均質(zhì)彈性地基梁的解法顯然與實(shí)際情況不符。

本文針對(duì)現(xiàn)有研究方法的不足，提出環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)下基坑開(kāi)挖引起盾構(gòu)隧道變形的能量計(jì)算法。利用Mindlin基本解計(jì)算基坑開(kāi)挖卸載引起的盾構(gòu)隧道附加應(yīng)力，并通過(guò)坐標(biāo)變換，使得隧道附加應(yīng)力計(jì)算能夠考慮基坑與隧道斜交的情況；然后將盾構(gòu)隧道襯砌環(huán)視為由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，建立隧道變形計(jì)算模型，利用最小勢(shì)能原理建立變分控制方程并求解，獲得環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)下基坑開(kāi)挖引起臨近盾構(gòu)隧道的豎向、水平位移和環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量。將計(jì)算結(jié)果與彈性地基梁法和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，以驗(yàn)證本文方法的正確性。

1　基坑開(kāi)挖引起的隧道附加應(yīng)力

首先作如下假定：①土體為各向同性的半無(wú)限彈性體；②基坑開(kāi)挖會(huì)導(dǎo)致基坑底面和側(cè)壁的卸載，坑底的應(yīng)力釋放率取100%，而側(cè)壁的釋放應(yīng)力全部由支撐體系平衡，不作考慮；③不考慮隧道存在對(duì)土體附加應(yīng)力計(jì)算的影響。

定義參數(shù)：L，B和h分別為基坑開(kāi)挖的長(zhǎng)度、寬度和深度；Z0為隧道軸線的埋深；L0為隧道軸線距離基坑中心的水平距離；D為隧道外徑；γ為土體重度；μ為泊松比；Ω為基坑開(kāi)挖區(qū)域。

當(dāng)基坑與臨近盾構(gòu)隧道平行時(shí)，兩者的位置關(guān)系如圖1所示。

圖1　基坑與臨近隧道位置關(guān)系

基于上述假定，基坑開(kāi)挖的力學(xué)效應(yīng)，理論上可認(rèn)為是在基坑底部施加豎直向上的均布荷載。以地表處基坑中心為原點(diǎn)建立三維直角坐標(biāo)系x′y′z′，根據(jù)Mindlin基本解[23]可知，在基坑底部某點(diǎn)(ξ,η,h)的荷載(γhdξdη)作用下，引起隧道軸線上點(diǎn)(x′,L0,Z0)的豎向附加應(yīng)力σz和水平附加應(yīng)力σy分別為

(1)

(2)

其中，

β1=Z0-h

β2=Z0+h

針對(duì)基坑與隧道斜交的情況，則可在兩者平行的基礎(chǔ)上通過(guò)坐標(biāo)變換進(jìn)行考慮。如圖2所示，隧道軸線上距離基坑中心最近點(diǎn)為(x0′,y0′,z0′)，以該點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)(x0′,y0′, 0)為原點(diǎn)，隧道軸線方向?yàn)閤軸，與隧道軸線垂直方向?yàn)閥軸，豎直方向?yàn)閦軸建立新坐標(biāo)系xyz。因此隧道軸線上的點(diǎn)在新坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)(x,y,z)可分別按下式由原坐標(biāo)(x′,y′,z′)得到，即

(3)

式中：θ為斜交夾角，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。

圖2　基坑與隧道斜交時(shí)計(jì)算模型平面投影圖

2　考慮環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)的隧道縱向變形計(jì)算

2.1　基坑開(kāi)挖引起臨近盾構(gòu)隧道的總勢(shì)能

將盾構(gòu)隧道視為一系列由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，基坑開(kāi)挖會(huì)導(dǎo)致盾構(gòu)隧道發(fā)生錯(cuò)臺(tái)變形，由此建立的隧道縱向變形計(jì)算模型如圖3所示。任取1環(huán)寬為δ編號(hào)為m的襯砌環(huán)，其所受荷載Fl由3部分組成。①基坑開(kāi)挖引起的土體附加荷載；②地基抗力；③環(huán)間剪切力。Fl可表示為

Fl=Pl(x)-kDsl(x)-kt[wl((m+1)δ)-wl(mδ)]-kt[wl(mδ)-wl((m-1)δ)]

(4)

其中，Pl(x)=Dσl

式中：Pl(x)為隧道受到的土體附加荷載；σl為基坑開(kāi)挖引起的隧道附加應(yīng)力， 由式(1)和式(2)確定；l為坐標(biāo)方向，l=2, 3分別對(duì)應(yīng)于y和z坐標(biāo)方向，即隧道的水平方向和豎向；sl(x)為地基彈簧的位移， 根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件可知sl(x)=wl(x)， 而wl(x)為盾構(gòu)隧道位移；kt為環(huán)間剪切剛度；k為地基基床系數(shù)，采用Vesic[24]公式計(jì)算；Es為地基土彈性模量；Et為盾構(gòu)隧道襯砌環(huán)的彈性模量；It為慣性矩。

圖3　考慮環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)的隧道縱向變形計(jì)算模型

根據(jù)隧道每環(huán)管片受力情況，可得基坑開(kāi)挖引起的臨近盾構(gòu)隧道總勢(shì)能也由以下3部分組成。

(5)

式中：2N為受基坑開(kāi)挖影響的隧道襯砌環(huán)數(shù)。

(6)

(7)

綜合式(5)—式(7)可得基坑開(kāi)挖引起的臨近盾構(gòu)隧道總勢(shì)能為

(8)

2.2　盾構(gòu)隧道位移的級(jí)數(shù)展開(kāi)

在基坑與隧道斜交情況下，盾構(gòu)隧道位移并非左右對(duì)稱(chēng)，故將其展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)包含正弦和余弦2部分，即

=(Tcn(x)Tsn(x))(AlBl)T

(9)

其中，

Al=(al0al1…aln)T

Bl=(bl1bl2…bln)T

式中：Al和Bl為傅里葉級(jí)數(shù)中的待求系數(shù)矩陣；n為傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)階數(shù)。

2.3　變分控制方程及其求解

將隧道位移展開(kāi)式(9)帶入式(8)，基于最小勢(shì)能原理，對(duì)隧道總勢(shì)能取極值，即

(10)

對(duì)式(10)求解，整理得環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)下基坑開(kāi)挖對(duì)臨近盾構(gòu)隧道影響的變分控制方程為

1)δ)Tsn((m+1)δ))-(Tcn(mδ)Tsn(mδ))]+

(11)

將式(11)化簡(jiǎn)并寫(xiě)成矩陣形式可得

(Kt+Ks)(AlBl)T=(PlcnPlsn)T

(12)

其中，

(Tcn((m+1)δ)-Tcn(mδ)Tsn((m+1)δ)-Tsn(mδ))

式中：Kt為隧道環(huán)間剪切剛度矩陣；Ks為土體剛度矩陣。

由式(12)可求得系數(shù)矩陣Al和Bl，將其代入式(9)便可求得基坑開(kāi)挖引起臨近盾構(gòu)隧道的豎向位移和水平向位移。

任意相鄰襯砌環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量Δwl的計(jì)算公式為

Δwl=wl(mδ)-wl((m-1)δ)

(13)

3　算例分析

選取2個(gè)臨近隧道的基坑工程實(shí)例，工程概況見(jiàn)表1。

表1　臨近盾構(gòu)隧道的基坑工程實(shí)例

3.1　工程實(shí)例1

采用本文方法計(jì)算得到工程實(shí)例1中上、下行線盾構(gòu)隧道的豎向位移，如圖4所示；為了驗(yàn)證本文方法的正確性，將彈性地基梁法的計(jì)算結(jié)果[15]以及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)[10]也繪于圖4中。由圖4可知：本文方法計(jì)算得到的與實(shí)測(cè)的盾構(gòu)隧道豎向位移變化規(guī)律基本一致，均呈明顯的高斯正態(tài)分布；相對(duì)于彈性地基梁法，本文方法所得的隧道變形槽寬度更小，并且與實(shí)測(cè)結(jié)果更為接近；本文方法計(jì)算所得上、下行線隧道最大豎向位移與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的偏差量分別為2.1和4.9 mm，能夠滿(mǎn)足實(shí)際工程預(yù)測(cè)需要。此外，由于本文方法無(wú)需對(duì)隧道進(jìn)行離散化處理，具有更高的計(jì)算效率。由此說(shuō)明本文方法可應(yīng)用于實(shí)際工程中估算基坑開(kāi)挖引起盾構(gòu)隧道的豎向位移。

采用本文方法并按照考慮和不考慮基坑與隧道斜交2種情況計(jì)算隧道的豎向位移，如圖5所示。由圖5(a)可知：對(duì)于上行線隧道(位于基坑正下方)，無(wú)論是否考慮基坑與隧道斜交，所得的隧道豎向位移曲線基本一致，最大豎向位移僅相差0.3 mm，說(shuō)明當(dāng)隧道位于基坑正下方時(shí)，斜交角度對(duì)隧道縱向位移影響很小，可忽略不計(jì)。由圖5(b)可知：對(duì)于下行線隧道(距離基坑中心線18 m)，考慮基坑與隧道斜交與否，所得的盾構(gòu)隧道豎向位移相差較大；考慮斜交時(shí)所得的盾構(gòu)隧道豎向位移與實(shí)測(cè)的更加吻合；不考慮斜交時(shí)所得的盾構(gòu)隧道最大豎向位移僅為2.4 mm，遠(yuǎn)小于實(shí)測(cè)的11.9 mm；說(shuō)明當(dāng)隧道不位于基坑正下方，特別是從基坑側(cè)旁穿行時(shí)，須考慮斜交角度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，這主要是因?yàn)楫?dāng)隧道位于基坑旁側(cè)時(shí)，斜交角度的不同會(huì)導(dǎo)致隧道至開(kāi)挖區(qū)域間的距離差別較大，使得隧道受基坑開(kāi)挖影響引起的附加荷載差異較大，進(jìn)而導(dǎo)致隧道的變形差異也較大；而當(dāng)隧道位于基坑正下方時(shí)，則不存在此現(xiàn)象。

圖4　工程實(shí)例1隧道豎向位移對(duì)比

圖5　考慮基坑與隧道斜交與否對(duì)隧道豎向位移的影響

隧道環(huán)間錯(cuò)臺(tái)是影響盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)安全的重要因素之一，過(guò)大的錯(cuò)臺(tái)量會(huì)引發(fā)管片局部開(kāi)裂、接縫滲漏、甚至凹凸榫碎裂等病害，從而嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)和行車(chē)的安全，因此對(duì)基坑開(kāi)挖引起的隧道環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量進(jìn)行估算十分必要。

對(duì)于工程實(shí)例1，采用本文方法計(jì)算得到的隧道環(huán)間錯(cuò)臺(tái)分布如圖6所示。由圖6可知：在豎向位移最大值位置上基本不發(fā)生環(huán)間錯(cuò)臺(tái)；隨著位移減小，環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量逐漸增大，直到位移高斯曲線的反彎點(diǎn)上，環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量達(dá)到最大，隨后錯(cuò)臺(tái)量逐漸減小；較大的錯(cuò)臺(tái)量主要集中在豎向位移曲線反彎點(diǎn)兩側(cè)一定范圍內(nèi)，即隧道差異變形較大的區(qū)域。工程實(shí)例1中基坑開(kāi)挖引起上、下行隧道環(huán)間最大錯(cuò)臺(tái)量分別為1.3和0.6 mm，可見(jiàn)，即便基坑開(kāi)挖引起的環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量較小，但在基坑開(kāi)挖影響范圍內(nèi)隧道豎向變形仍然可以累積到較大的量值。

圖6　工程實(shí)例1隧道環(huán)間錯(cuò)臺(tái)分布

3.2　工程實(shí)例2

對(duì)于工程實(shí)例2，采用本文方法計(jì)算所得下行線盾構(gòu)隧道的豎向位移和水平位移如圖7所示，并與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)[13]對(duì)比分析。由圖7可知：計(jì)算所得下行線盾構(gòu)隧道的豎向位移和水平位移與實(shí)測(cè)結(jié)果基本一致，計(jì)算所得的最大豎向位移、水平位移分別為3.6和5.3 mm，相比實(shí)測(cè)值，分別僅相差0.3和1.6 mm，說(shuō)明本文方法可同時(shí)應(yīng)用于實(shí)際工程中估算基坑開(kāi)挖引起隧道的豎向位移和水平位移。

圖7　工程實(shí)例2隧道豎向和水平位移曲線對(duì)比

4　結(jié)　論

(1)將隧道視為由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，提出環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)下基坑開(kāi)挖引起臨近盾構(gòu)隧道變形的能量計(jì)算法。首先采用Mindlin基本解計(jì)算基坑開(kāi)挖卸載引起的隧道附加應(yīng)力，并通過(guò)坐標(biāo)變換使其可以考慮隧道與基坑軸線存在夾角的情況；然后將盾構(gòu)隧道襯砌視為由剪切彈簧連接的彈性地基短梁，建立隧道變形計(jì)算模型，利用最小勢(shì)能原理建立變分控制方程并求解，從而獲得環(huán)間錯(cuò)臺(tái)效應(yīng)下基坑開(kāi)挖引起臨近盾構(gòu)隧道的豎向位移、水平位移和環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量。將計(jì)算結(jié)果與彈性地基梁法和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比可知，本文方法與實(shí)際情況吻合更好，且本文方法無(wú)需對(duì)隧道進(jìn)行離散化處理，具有更高的計(jì)算效率，可用于實(shí)際工程中預(yù)測(cè)基坑開(kāi)挖引起臨近盾構(gòu)隧道的豎向位移、水平位移和環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量。

(2)當(dāng)盾構(gòu)隧道位于基坑正下方時(shí)，無(wú)論考慮斜交角度與否，所得結(jié)果基本一致；而當(dāng)盾構(gòu)隧道位于基坑旁側(cè)時(shí)，斜交角度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響很大，考慮斜交角度的計(jì)算結(jié)果更加符合實(shí)際情況。

(3)基坑開(kāi)挖引起的盾構(gòu)隧道最大環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量所在位置并非位于最大位移點(diǎn)處，而是在位移高斯曲線的反彎點(diǎn)上，即盾構(gòu)隧道差異變形最大處；且即便基坑開(kāi)挖引起的環(huán)間錯(cuò)臺(tái)量較小，但在基坑開(kāi)挖影響范圍內(nèi)盾構(gòu)隧道的豎向變形仍然可以累積到較大的量值。

[1]杭州杭港地鐵有限公司.杭州地鐵1號(hào)線地鐵保護(hù)區(qū)巡查月度報(bào)告[R]. 杭州: 杭州杭港地鐵有限公司, 2014.

[2]上海市市政工程管理局. 上海市政法(94)第854號(hào) 上海市地鐵沿線建筑施工保護(hù)地鐵技術(shù)管理暫行規(guī)定[S]. 上海: 上海市市政工程管理局, 1994.

[3]張成平, 張頂立, 吳介普, 等. 暗挖地鐵車(chē)站下穿既有地鐵隧道施工控制[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2009,30(1): 69-73.

(ZHANG Chengping, ZHANG Dingli, WU Jiepu, et al. Construction Control of a Newly-Built Subway Station Undercrossing the Existing Subway Tunnel[J]. China Railway Science, 2009,30 (1): 69-73.in Chinese)

[4]孫玉永, 周順華, 向科, 等. 近距離下穿既有隧道的盾構(gòu)施工參數(shù)研究[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2010, 31(1): 54-58.

(SUN Yuyong, ZHOU Shunhua, XIANG Ke, et al. Study on the Construction Parameters of Shield Tunneling in Short-Distance Undercrossing the Existing Tunnel[J]. China Railway Science, 2010, 31(1): 54-58.in Chinese)

[5]李志高, 劉浩, 劉國(guó)彬, 等. 基坑開(kāi)挖引起下臥隧道位移的實(shí)測(cè)分析[J]. 地下空間與工程學(xué)報(bào), 2005,1(4): 619-623.

(LI Zhigao, LIU Hao, LIU Guobin, et al. Influence Analysis of Deep-Dip Excavation on Down Tunnel Based on the Measured Displacement[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2005, 1(4): 619-623.in Chinese)

[6]魏綱. 基坑開(kāi)挖對(duì)下方既有盾構(gòu)隧道影響的實(shí)測(cè)與分析[J]. 巖土力學(xué), 2013, 34(5): 1421-1428.

(WEI Gang. Measurement and Analysis of Impact of Foundation Pit Excavation on Below Existed Shield Tunnels[J]. Rock and Soil Mechanics, 2013, 34(5): 1421-1428.in Chinese)

[7]DOLEZALOVA M. Tunnel Complex Unloaded by a Deep Excavation[J]. Computers and Geotechnics, 2001, 28(6/7): 469-493.

[8]HU Z F, YUE Z Q, ZHOU J, et al. Design and Construction of a Deep Excavation in Soft Soils Adjacent to the Shanghai Metro Tunnels[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2003, 40(5): 933-948.

[9]房倩, 張頂立. 淺埋暗挖地鐵車(chē)站下穿既有線結(jié)構(gòu)施工方法研究[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2007, 28(5): 71-77.

(FANG Qian, ZHANG Dingli. Study on the Shallow Tunnel Construction Methods for a New-Built Subway Station Passing Through the Bottom of the Existing Subway[J]. China Railway Science, 2007, 28(5): 71-77.in Chinese)

[10]徐凌, 黃宏偉. 基坑開(kāi)挖對(duì)下臥地鐵隧道的影響研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2008, 30(增刊): 164-166.

(XU Ling, HUANG Hongwei. Effect of Foundation Pit Excavation on Underlying Metro Tunnels[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2008, 30(Supplement):164-166.in Chinese)

[11]張玉成, 楊光華, 姚捷, 等. 基坑開(kāi)挖卸荷對(duì)下方既有地鐵隧道影響的數(shù)值仿真分析 [J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2010,32(增刊1): 109-115.

(ZHANG Yucheng, YANG Guanghua, YAO Jie, et al. Numerical Simulation and Analysis of Effect of Excavation of Foundation Pits on Metro Tunnels[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(Supplement 1): 109-115.in Chinese)

[12]陳孟喬, 楊廣武. 新建地鐵車(chē)站近距離穿越既有地鐵隧道的變形控制[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2011,32(4): 53-59.

(CHEN Mengqiao, YANG Guagwu. Deformation Control of a Newly-Built Subway Station Crossing the Adjacent Existing Subway Tunnel[J]. China Railway Science, 2011, 32(4): 53-59.in Chinese)

[13]邵華, 王蓉. 基坑開(kāi)挖施工對(duì)鄰近地鐵影響的實(shí)測(cè)分析[J].地下空間與工程學(xué)報(bào), 2011, 7(增刊1):1403-1408.

(SHAO Hua, WANG Rong. Monitoring Data Analysis on Influence of Operating Metro Tunnel by Nearly Excavation Construction[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2011, 7 (Supplement 1):1403-1408.in Chinese)

[14]黃宏偉, 黃栩, SCHWEIGER F Helmut. 基坑開(kāi)挖對(duì)下臥運(yùn)營(yíng)盾構(gòu)隧道影響的數(shù)值模擬研究[J]. 土木工程學(xué)報(bào),2012, 45(3): 182-189.

(HUANG Hongwei, HUANG Xu, SCHWEIGER F Helmut. Numerical Analysis of the Influence of Deep Excavation on Underneath Existing Road Tunnel[J]. China Civil Engineering Journal, 2012, 45(3): 182-189.in Chinese)

[15]張治國(guó), 黃茂松, 王衛(wèi)東. 鄰近開(kāi)挖對(duì)既有軟土隧道的影響[J]. 巖土力學(xué), 2009, 30(5): 1373-1380.

(ZHANG Zhiguo, HUANG Maosong, WANG Weidong. Responses of Existing Tunnels Induced by Adjacent Excavation in Soft Soils[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(5): 1373-1380.in Chinese)

[16]許有俊, 陶連金, 文中坤, 等. 新建地鐵隧道上穿既有隧道引起的結(jié)構(gòu)隆起變形[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2014, 35(6): 48-54.

(XU Youjun, TAO Lianjin, WEN Zhongkun, et al. Upheaval Deformation Induced by Newly-Built Metro Tunnel Upcrossing Existing Tunnel[J]. China Railway Science, 2014, 35(6): 48-54. in Chinese)

[17]SHEN W Y，Chow Y K，Yong K Y. Variational Approach for Vertical Loaded Pile Groups in an Elastic Half Space [J]. Geotechnique,1999, 49(2): 199-213.

[18]SHEN W Y，Chow Y K，Yong K Y. A Variational Approach for the Analysis of Pile Group-Pile Cap Interaction [J]. Geotechnique, 2000, 50(4): 349-357.

[19]SHEN W Y, TEH C I. Analysis of Laterally Loaded Pile Groups Using a Variational Approach [J]. Geotechnique,2002, 52(3): 201-208.

[20]劉曉強(qiáng), 梁發(fā)云, 張浩,等. 隧道穿越引起地下管線豎向位移的能量變分分析方法[J]. 巖土力學(xué), 2014, 35(增刊2): 217-222，231.

(LIU Xiaoqiang, LIANG Fayun, ZHANG Hao, et al. Energy Variational Solution for Settlement of Buried Pipeline Induced by Tunneling[J]. Rock and Soil Mechanics, 2014, 35(Supplement 2): 217-222，231.in Chinese)

[21]王如路. 上海地鐵盾構(gòu)隧道縱向變形分析[J]. 地下工程與隧道, 2009 (4):1-6.

(WANG Rulu. Analysis on the Longitudinal Deformation of Shield Tunnel of Shanghai Metro[J]. Underground Engineering and Tunnels, 2009 (4): 1-6.in Chinese)

[22]SHEN Shuilong, WU Huaina, CUI Yujun, et al. Long-Term Settlement Behaviour of Metro Tunnels in the Soft Deposits of Shanghai[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2014, 40:309-323.

[23]MINDLIN R D. Forces at a Point in the Interior of a Semiinfinite Solid[J]. Journal of Applied Physics, 1936, 7(5): 195-202.

[24]VESIC A B. Bending of Beams Resting on Isotropic Elastic Solids[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1961, 87(2): 35-53.

[25]閆治國(guó), 彭益成, 丁文其, 等. 青草沙水源地原水工程輸水隧道單層襯砌管片接頭荷載試驗(yàn)研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2011, 33(9): 1385-1390.

(YAN Zhiguo, PENG Yicheng, DING Wenqi, et al. Load Tests on Segment Joints of Single Lining Structure of Shield Tunnel in Qingcaosha Water Conveyance Project[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2011, 33(9): 1385-1390.in Chinese)

[26]朱偉, 黃正榮, 梁精華. 盾構(gòu)襯砌管片的殼-彈簧設(shè)計(jì)模型研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2006, 28(8): 940-947.

(ZHU Wei, HUANG Zhengrong, LIANG Jinghua. Studies on Shell-Spring Design Model for Segment of Shield Tunnels[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2006, 28(8): 940-947.in Chinese)