寒區(qū)隧道溫度場的時空演化規(guī)律及溫控措施研究

周小涵，曾艷華，范　磊，周曉軍

(1.西南交通大學(xué) 交通隧道工程教育部重點實驗室，四川 成都　610031；2.中鐵大橋勘測設(shè)計院集團有限公司，湖北 武漢　430050；3.中鐵二院工程集團有限責(zé)任公司 土建一院隧道所，四川 成都　610031)

寒區(qū)隧道溫度場的準(zhǔn)確預(yù)測有助于設(shè)計者選擇合適的防寒抗凍措施。國內(nèi)學(xué)者對多條寒區(qū)隧道進行了溫度場的現(xiàn)場監(jiān)測及研究[1-5]。張耀等[6-7]通過對隧道現(xiàn)場實測氣溫資料的整理，建立了圓形隧道傳熱方程，得到了寒區(qū)有隔熱層的圓形隧道溫度場解析解和簡化計算方法。肖琳等[8]利用模型試驗，探討了地鐵隧道圍巖內(nèi)部溫度場的分布規(guī)律。M.Krarti等[9]根據(jù)能量守恒原理獲得了地下風(fēng)洞內(nèi)氣體溫度場的解析解。YM Lai等[10]采用攝動技術(shù)，通過無量綱法推導(dǎo)出圓形隧道凍結(jié)過程溫度場的解析解。Prashant K J等[11]，Suneet S[12]等利用疊加原理和分離變量方法得到了圓形斷面隧道在考慮溫度隨坐標(biāo)變化的對流邊界條件下瞬態(tài)溫度場的解析解。夏才初等[13]計算了考慮襯砌和隔熱層的寒區(qū)隧道溫度場解析解。陳功勝[14]研究了巷道圍巖調(diào)熱圈半徑及溫度場分布規(guī)律。江亦元[15]和王引生[16]分別對寒區(qū)昆侖山隧道的排水系統(tǒng)進行了保暖的探討和試驗研究。這些研究得到了關(guān)于寒區(qū)隧道溫度場的解析計算公式及隔熱層簡化計算方法，而以隧道洞口風(fēng)溫及洞內(nèi)風(fēng)速為邊界條件，同時考慮空氣、襯砌、保溫隔熱層和圍巖的對流換熱和熱傳導(dǎo)耦合作用的研究還未見報道。

本文推導(dǎo)寒區(qū)隧道圍巖—襯砌—氣流的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的有限差分方程，以在建的牡綏鐵路綏陽隧道為例，計算分析寒區(qū)隧道溫度場隨通風(fēng)時間的變化規(guī)律以及隔熱層對寒區(qū)隧道溫度場的影響規(guī)律等；并與現(xiàn)場的實測溫度場對比，驗證有限差分方程的準(zhǔn)確度。

1　理論推導(dǎo)

在寒區(qū)隧道圍巖—襯砌—氣流傳熱系統(tǒng)中，冷空氣與隧道襯砌和圍巖進行熱交換，引起隧道圍巖溫度的降低。能量交換存在熱傳導(dǎo)、對流換熱和熱輻射3種方式：圍巖與隧道襯砌之間的能量交換屬于熱傳導(dǎo)；襯砌與隧道內(nèi)氣流之間的傳熱則既含有對流換熱，又有熱輻射，相對于對流換熱而言，熱輻射引起的熱量傳遞很小，在此忽略不計；同時隧道內(nèi)的氣流自身也存在熱交換，這種熱交換使得隧道內(nèi)的氣流溫度趨于平均分布。故隧道圍巖—襯砌—氣流系統(tǒng)的傳熱過程主要是指圍巖與隧道襯砌的熱傳導(dǎo)和隧道襯砌與氣流之間的對流換熱。

1.1　隧道溫度場的控制方程

隧道溫度場計算模型如圖1所示，圖中R為隧道洞室當(dāng)量半徑。

圖1　隧道溫度場計算模型

隧道溫度場的形成及重新調(diào)整屬于熱傳導(dǎo)過程，笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)微分方程的一般形式[17]為

(1)

式中：ρ為襯砌或圍巖的密度，kg·m-3；cp為襯砌或圍巖的恒壓比熱容，J·(kg·℃)-1；λ為襯砌或圍巖的導(dǎo)熱系數(shù)， W·(m·℃)-1；t為襯砌或圍巖內(nèi)部任一點的溫度，℃；τ為通風(fēng)時間，s；φ為單位時間內(nèi)通過某一給定面積的熱量，W。

隧道圍巖的徑向傳熱量遠大于其軸向[13]，隧道斷面面積相對于研究區(qū)域很小，洞內(nèi)氣溫只沿隧道軸線方向變化；假定圍巖的導(dǎo)熱系數(shù)λ為常數(shù)，溫度場是無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)分布；則微分方程(1)可轉(zhuǎn)化為如下柱坐標(biāo)系下的計算方程。

(2)

式中：r為襯砌或圍巖中任一點到隧道中心的距離，m。

1.2　隧道溫度場計算模型的離散化

隧道貫通后，受到氣流溫度影響的圍巖厚度(調(diào)熱圈)增大，并最終到達極限值。隧道斷面內(nèi)非穩(wěn)態(tài)傳熱分析基于如下假定：隧道橫斷面為圓形，其直徑采用當(dāng)量直徑；對于圍巖和每一種襯砌而言，都為獨立的、各向同性的、均勻的連續(xù)介質(zhì)；在計算零時刻，襯砌溫度等于圍巖原始溫度，圍巖原始溫度沿徑向不變；隧道內(nèi)氣流與壁面發(fā)生對流換熱。

沿徑向，將二襯、初支和隔熱層按等厚劃分網(wǎng)格。為計算精確且節(jié)省時間，將隧道外圍巖區(qū)域劃分為2部分，如圖2所示。第1部分為D1(r≤10R)，步長為Δr1；第2部分為D2(r>10R)，步長為Δr2，Δr1<Δr2。圖2中：節(jié)點1為對流邊界，節(jié)點6，8，13為復(fù)合材料傳熱邊界，節(jié)點14為圍巖內(nèi)部的點。

圖2　斷面內(nèi)差分節(jié)點劃分示意圖

1.3　有限差分方程

1.3.1圍巖溫度的近似表達式

用偏微分方程的替代法建立中心有限差分方程，求出其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)并代入式(2)中，可得圍巖內(nèi)部節(jié)點j(j≥14)的溫度tj, n+1的近似計算式為

(3)

其中，

式中：tj,n+1為節(jié)點j在n+1時刻的溫度，℃；Fo為傅里葉準(zhǔn)數(shù)；Δri為距離步長，m；Δτ為時間步長，s。

1.3.2對流邊界節(jié)點溫度的近似表達式

節(jié)點1為對流邊界條件，其傳熱模型如圖3所示，θ為所取區(qū)域范圍的夾角，弧度。

根據(jù)能量守恒定律，節(jié)點1單元控制體積吸收的熱量等于其增加的內(nèi)能，則有

圖3　對流換熱模型

(4)

其中，

Qf-1=h(tf-t1,n)Rθ

式中：Qf-1為風(fēng)流向?qū)α鬟吔绲膶?dǎo)熱量；Q2-1為襯砌向?qū)α鬟吔绲膶?dǎo)熱量；t1,n+1為節(jié)點1在n+1時刻的溫度，℃；t1,n為節(jié)點1在n時刻的溫度，℃；t2,n為節(jié)點2在n時刻的溫度，℃。tf為風(fēng)流溫度，℃；h為對流換熱系數(shù)，W·(m2·℃)-1。

整理式(4)可得對流邊界節(jié)點1的溫度t1,n+1近似計算式

(5)

其中，

式中：Bi為畢奧數(shù)。

1.3.3復(fù)合材料交界點處節(jié)點溫度的近似表達式

節(jié)點兩側(cè)的距離步長、傳熱介質(zhì)的熱物性參數(shù)均不相同，其節(jié)點溫度按能量守恒法推導(dǎo)。其傳熱模型如圖4所示。

復(fù)合材料交界節(jié)點j所在的單元控制體積內(nèi)包含了2種材料，對于非穩(wěn)態(tài)問題，須求出ρcp項的當(dāng)量值，其值可由下式給出。

(6)

其中，

圖4　復(fù)合材料交界處傳熱模型

式中：u和v分別為單元控制體中介質(zhì)1和2的體積；Δra為a種介質(zhì)步長；Δrb為b種介質(zhì)步長；rj為節(jié)點j距隧道中心的距離。

根據(jù)能量守恒定律可得

(7)

式中：Qa-j為介質(zhì)a向節(jié)點j的導(dǎo)熱量；Qb-j為介質(zhì)b向節(jié)點j的導(dǎo)熱量。

整理可得復(fù)合材料交界點處節(jié)點j(節(jié)點6、節(jié)點8、節(jié)點13)的溫度tj,n+1的近似計算式為

(8)

2　實例分析

2.1　溫度實測斷面和測點的選取

以牡綏線鐵路改造工程中在建的綏陽隧道為例展開研究。綏陽隧道于2013年9月貫通，長度為6 170 m(DK491+549—DK497+719)。2015年1月對隧道內(nèi)的風(fēng)速、風(fēng)向和溫度場進行了實測。測試斷面沿隧道縱向分布，自DK491+770起每隔250 m左右設(shè)置1個測試斷面，每個測試斷面內(nèi)布置5個測點，其位置如圖5所示。使用機械風(fēng)表對隧道內(nèi)的風(fēng)速和風(fēng)向進行了實測。測試結(jié)果為：綏陽隧道內(nèi)的平均自然風(fēng)速約為3.8 m·s-1，其值為隧道正中測點和隧道排水溝上部測點的平均值；風(fēng)向都是自小里程端吹向大里程端。使用紅外線測溫儀GM1150對隧道斷面二襯4個測點的溫度進行實測，使用溫度記錄儀Testo174T對隧道保溫側(cè)溝的溫度進行實測。

圖5　隧道斷面內(nèi)測點分布圖

2.2　計算參數(shù)的選取及溫度場的計算

應(yīng)用式(3)、式(5)和式(8)計算隧道貫通后的溫度場。選擇洞內(nèi)距離小里程端洞口2 211 m(DK493+760)斷面(簡稱為計算斷面)上的溫度進行分析。

根據(jù)當(dāng)?shù)氐牡貙訙囟忍荻? ℃·(100 m)-1和隧道斷面埋深得出計算斷面上原始巖溫tw=9.35 ℃。隧道斷面的等效水力半徑R′=2.5 m，即當(dāng)量半徑R=5 m。參考關(guān)于對流換熱系數(shù)的實驗研究[18]，取對流換熱系數(shù)h=15.9 W·(m2·℃)-1。斷面各介質(zhì)材料參數(shù)見表1。

表1　介質(zhì)材料參數(shù)

對綏陽隧道所在綏芬河地區(qū)自該隧道貫通時起至溫度實測時止的氣流溫度進行統(tǒng)計分析，得出風(fēng)流溫度tf(℃)隨時間i(自隧道貫通之日開始統(tǒng)計的天數(shù))變化的關(guān)系，并根據(jù)實測隧道內(nèi)氣溫對洞口風(fēng)流溫度隨時間的變化函數(shù)進行修正，修正后的計算斷面處風(fēng)流溫度的計算公式見式(9)，可見風(fēng)流溫度變化曲線為正弦曲線。

(9)

在隔熱層厚度為0(即無隔熱層)的條件下，徑向距離分別取5.0，5.6，12.6，22.6，32.6，42.6，52.6 m(其中，徑向距離5.0 m對應(yīng)于對流換熱節(jié)點1，徑向距離5.6 m對應(yīng)于初支與圍巖交界的節(jié)點，徑向距離12.6～52.6 m分別對應(yīng)于圍巖內(nèi)部的5個節(jié)點)，計算自隧道貫通時起共24個月的隧道計算斷面沿徑向各點的各月平均溫度隨貫通時間的變化，如圖6所示。

圖6　隧道計算斷面徑向各點溫度隨貫通時間的變化曲線

由圖6可知：隧道貫通后，隨著時間的推移，距離襯砌表面一定范圍內(nèi)襯砌和圍巖溫度的變化曲線也為正弦曲線，與風(fēng)流溫度的相同；越往斷面徑向深處，溫度的變化越小且相位滯后越大；隨著徑向深度的增加，圍巖溫度振幅(最高溫與最低溫之差)劇烈衰減，在r≈10R時，振幅衰減為0，深度繼續(xù)增加，圍巖溫度不再隨氣流溫度作周期性變化。

2.3　溫度場的實測值與計算值的對比

在隧道貫通后第455天，計算斷面上測點1到測點4的溫度實測值分別為-8.300，-8.600，-8.675，-9.125 ℃，這4個測點的實測平均值為-8.675 ℃；保溫側(cè)溝測點的溫度實測值為-5.080 ℃。此時計算斷面的計算值(圖2中的節(jié)點1)為-9.050 ℃，計算斷面襯砌背后圍巖(圖2中的節(jié)點13)的溫度計算值為-5.555 ℃。

對比計算斷面的實測溫度與計算溫度可知：測點1(拱頂)的溫度最高，測點4(軌面)的溫度最低；從拱頂?shù)杰壝?測點1到測點4)的溫度逐漸降低，且這4個測點的溫度平均值與測點3(拱腰)的溫度接近；溫度的計算值低于4個測點的實測平均值約0.375 ℃，但滿足工程使用精度要求；保溫側(cè)溝測點的溫度高于4個測點的實測平均值約3.595 ℃，經(jīng)查，與計算斷面襯砌背后圍巖溫度接近，保溫側(cè)溝測點的溫度高出計算斷面襯砌背后圍巖溫度約0.475 ℃。

3　加設(shè)隔熱層對溫度場的影響

選用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱材料，該材料的密度為ρ=370 kg·cm-3，恒壓比熱容為cp=1 500 J·(kg·℃)-1，導(dǎo)熱系數(shù)為λ=0.021 5 W·(m·℃)-1。圍巖初始溫度取tw=12℃，參考隧道內(nèi)最冷月平均溫度選取恒定風(fēng)溫tf=-11.8 ℃。隔熱材料分為2種鋪設(shè)方式：中隔式(在初支和二襯之間)，外貼式 (在二襯表面)。隔熱層厚度分別取0(無隔熱層)，0.03， 0.05， 0.07， 0.09， 0.10 m。取連續(xù)30 d的計算斷面溫度進行分析，不同工況下隔熱層對隧道二襯背后節(jié)點(圖2中的節(jié)點6)溫度場的影響如圖7和圖8所示。選取2種鋪設(shè)方式中分別設(shè)置0.03和0.05 m厚隔熱層后隧道二襯背后節(jié)點(圖2中的節(jié)點6)的溫度進行對比，如圖9所示。

圖7不同厚度的中隔式隔熱層對隧道二襯背后節(jié)點溫度的影響

圖8不同厚度的外貼式隔熱層對隧道二襯背后節(jié)點溫度的影響

由圖7和圖8可知：采用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱層，可以有效提高寒區(qū)隧道襯砌和圍巖溫度；隔熱層厚度越大，二襯背后初襯以及圍巖的降溫越慢；隔熱層厚度為0.05 m左右時，工作效率最高；厚度大于0.07 m后，繼續(xù)增加厚度所提升的保溫效果不再顯著，通過增加隔熱層厚度來提高隧道襯砌和圍巖溫度的效果也是有限的。

如圖9可知：外貼式和中隔式隔熱層均能起到較好的保溫效果；相比較而言，對于二襯背后節(jié)點溫度，鋪設(shè)0.03 m厚的隔熱層時，外貼式比中隔式高0.36 ℃左右，鋪設(shè)0.05 m厚的隔熱層時，外貼式比中隔式高0.45 ℃左右，可見外貼式的保溫效果更好。考慮到外貼式隔熱層便于維護和更換，而中隔式隔熱層遇水及受擠壓均易變形，因此，在施工工藝允許的前提下，建議采用外貼式隔熱層。

圖9不同隔熱層鋪設(shè)方式及厚度對隧道二襯背后節(jié)點溫度的影響

4　結(jié)　論

通過推導(dǎo)寒區(qū)隧道斷面內(nèi)非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的有限差分方程，得到了隧道襯砌及圍巖的溫度場數(shù)值解，通過對寒區(qū)隧道溫度場的計算和現(xiàn)場溫度實測及保溫隔熱材料的分析，得到以下結(jié)論。

(1)隧道貫通后，隨著時間的推移，距離襯砌表面一定范圍內(nèi)襯砌和圍巖溫度的變化曲線與風(fēng)流溫度的相同；往斷面徑向越深處，溫度的變化越小且相位滯后越大；隨著徑向深度的增加，圍巖溫度振幅劇烈衰減，在r≈10R時，振幅衰減為0，深度繼續(xù)增加，圍巖溫度不再隨氣溫做周期性變化。

(2)隧道二襯拱頂處的溫度最高，軌面處的溫度最低，從拱頂?shù)杰壝娴臏囟戎饾u降低，各測點溫度的平均值與拱腰處的溫度接近；二襯溫度的計算值稍低于實測平均值，但滿足工程使用精度要求。保溫側(cè)溝處的溫度與計算襯砌背后圍巖溫度接近。

(3)采用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱層，可以有效提高寒區(qū)隧道襯砌和圍巖溫度。隔熱層厚度為0.05 m左右時，工作效率最高；厚度大于0.07 m時，繼續(xù)增加厚度所提升的保溫效果不再顯著。

(4)計算表明，外貼式和中隔式隔熱層均能起到良好的保溫效果，而外貼式的保溫效果更優(yōu)；同時，考慮到外貼式隔熱層便于維護和更換，而中隔式隔熱層遇水及受擠壓均易變形，因此在材料及施工工藝允許的前提下，建議采用外貼式隔熱層。

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