地磁測量衛(wèi)星的矢量磁場在軌標定算法仿真*

杜雯 黃河 周軍

(西北工業(yè)大學航天學院 西安 710072)

0 引言

地磁測量衛(wèi)星是獲取高精確地球磁場數(shù)據(jù)的重要手段，可為資源勘探、磁場導航、空間環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域提供技術(shù)支撐[1,2]，例如丹麥Oersted 衛(wèi)星、德國CHAMP 衛(wèi)星、歐空局Swarm 星座任務以及中國張衡一號電磁監(jiān)測試驗衛(wèi)星等。中國目前正在開展高精度磁場測量衛(wèi)星的研制，然而對于高精度磁場測量衛(wèi)星的數(shù)據(jù)標定問題，特別是從0 級到1 級數(shù)據(jù)的處理，還缺少系統(tǒng)研究[3]。

高精度地磁測量衛(wèi)星的地磁場測量載荷主要包括矢量磁強計、標量磁強計和星敏感器。其中，矢量磁強計探測三分量矢量磁場，標量磁強計探測地磁場強度。通常為了避免衛(wèi)星本體磁場干擾對磁強計測量的影響，將磁強計安裝在星體外伸展桿的光學平臺上。由于工藝水平的限制，矢量磁強計在實際使用過程中受到三軸非正交角、標度因子以及偏差的影響，其測量值不能作為絕對準確值。在衛(wèi)星發(fā)射前，矢量磁強計會在實驗室進行校正和對準（飛行前校正）[4]。由于衛(wèi)星在軌運行的環(huán)境條件實驗室無法真實模擬，同時矢量磁強計的偏差和標度因子受時間和溫度的影響，矢量磁強計數(shù)據(jù)的定期校準是保證精確測量的必然選擇[5]。

地球磁測衛(wèi)星磁場數(shù)據(jù)校正精度要求高，校正過程需考慮測量儀器參數(shù)的變化以及矢量磁強計所處平臺的條件，保證校正后的磁場誤差在滿足精度要求的前提下盡可能節(jié)省運算時間。

對于衛(wèi)星地磁場數(shù)據(jù)校正問題，主要有兩種思路：一是采用基于橢球軌跡約束的誤差修正方法，即針對固定點的磁場測量值約束在橢球軌跡上[6-7]，該方法限制磁場強度為定值，不符合地磁測量衛(wèi)星大范圍磁場測量的要求；二是衛(wèi)星在軌工作過程中，對磁強計進行標定，其基本思想是基于大量在軌實測磁場強度數(shù)據(jù)和磁場三分量矢量數(shù)據(jù)，由兩種數(shù)據(jù)獲取磁場強度的標量差值，進而辨識磁強計誤差參數(shù)，保證在儀器參數(shù)變化情況下仍能獲取高精度磁場數(shù)據(jù)。對于矢量磁強計的標定問題，文獻[8,9]利用CryoSat-2衛(wèi)星在軌數(shù)據(jù)，探討了星體內(nèi)平臺磁強計測量數(shù)據(jù)的預處理和校準步驟，并考慮了蓄電池、太陽能電池以及磁力矩器引起的磁干擾；文獻[10]結(jié)合已校準的磁場數(shù)據(jù)和地磁臺數(shù)據(jù)對多個衛(wèi)星平臺磁強計的參數(shù)和磁場參數(shù)進行聯(lián)合估計，建立了時變地磁場模型；文獻[11]針對高精度星敏感器受溫度影響帶來的誤差進行研究，采用歐拉角與平臺不同位置溫度的線性關(guān)系進行建模分析，改善了姿態(tài)確定精度，得出星敏感器坐標系與地磁參考系之間的誤差角并非完全由光行差引起，同時受平臺溫度分布影響的結(jié)論。文獻[12] 研究了在CHAMP 衛(wèi)星與SWARM 衛(wèi)星數(shù)據(jù)空缺的情況下，采用線性化方法對衛(wèi)星平臺式磁強計數(shù)據(jù)進行校準整理，彌補了數(shù)據(jù)空缺；文獻[13]采用改進的最小二乘算法，對磁通門磁強計三軸正交性和零點漂移進行修正，但其校正模型需進行多項式代入合并，過程較為繁復。對于矢量磁強計多參數(shù)估計的情況，計算過程更加復雜。

本文針對地磁測量衛(wèi)星數(shù)據(jù)精度要求高、外部環(huán)境條件不確定等特點，考慮矢量磁強計非正交角、標度因子和偏差的影響，建立矢量磁強計9 參數(shù)線性誤差模型，利用標量磁強計的磁場強度數(shù)據(jù)，分別設計了基于小量近似的線性校正算法和基于參數(shù)辨識更新的非線性校正算法并進行仿真校驗，實現(xiàn)對矢量磁強計參數(shù)的辨識分析，考慮了測量噪聲對校正算法精度的影響。同時，為避免標量測量值中的異常值對算法精度的影響，將算法中的權(quán)重函數(shù)改進為Tukey 權(quán)重函數(shù)。結(jié)果表明，在矢量磁強計9 參數(shù)誤差模型及特定的噪聲狀態(tài)下，線性算法與非線性算法校正結(jié)果相似，誤差均在0.5 nT 以內(nèi)，滿足高精度磁場數(shù)據(jù)探測的需求，適用于地磁測量衛(wèi)星的0 級數(shù)據(jù)校正。

1 矢量磁強計線性輸出模型

地磁測量衛(wèi)星為保證地磁場測量的精確性，配備有多種磁場測量載荷，包括VFM 矢量磁強計、ASM標量磁強計以及高精度星敏感器。在衛(wèi)星進行磁場數(shù)據(jù)處理之前，應已根據(jù)GNSS 載荷觀測得到精密軌道數(shù)據(jù)；矢量磁強計測量其坐標系下磁場三分量值，標量磁強計測量地磁場總強度，校準磁場矢量測量結(jié)果；去除衛(wèi)星本體的磁場擾動，對磁場數(shù)據(jù)進行重采樣，結(jié)合慣性姿態(tài)信息將磁強計輸出磁場轉(zhuǎn)換至地理坐標系下。所有處理部分均依賴于發(fā)射前在地面對載荷與衛(wèi)星進行的標定與測試，其標定測試的參數(shù)結(jié)果準確性決定了星上數(shù)據(jù)處理的精度。為獲取矢量磁強計的精確指向信息，同時保證磁場測量精度，矢量磁強計與星敏感器安裝在星體外伸展桿中部的光學平臺上[14]。高精度星敏感器包含三個觀測單元，測量矢量磁強計的慣性姿態(tài)信息（孔間角誤差＜3''）。該安裝結(jié)構(gòu)在Oersted，CHAMP 和SWARM 衛(wèi)星上都有所應用。此結(jié)構(gòu)既減小了矢量磁強計內(nèi)部線圈對標量磁強計磁場測量的影響，還可以確保磁強計輸出結(jié)果中來自衛(wèi)星本體磁場的磁凈度。本文重點研究矢量磁強計輸出數(shù)據(jù)在非正交角、標度因子以及偏差的影響下，利用標量磁強計讀數(shù)對磁場矢量進行標量校正的數(shù)據(jù)處理方法。

矢量磁強計線性輸出模型如下[15]：

式中，BVFM=[Bx,By,Bz]T（單位nT）為矢量磁強計處的真實磁場矢量，E=[Ex Ey Ez]T（單位nT）為矢量磁強計輸出磁場矢量，矩陣S∈R3×3為矢量磁強計的標度因子矩陣，矩陣P∈R3×3描述正交系下真實磁場矢量轉(zhuǎn)換至矢量磁強計的非正交系下，b=[bx0by0bzo]T（單位nT）描述矢量磁強計三軸固有偏差。

矢量磁強計的標度因子矩陣S為三軸靈敏度構(gòu)成的對角陣形式，不考慮軸間干擾，可寫為

式中，Sx，Sy，Sz分別為三軸標度因子，三者均為接近1 的常數(shù)（無量綱），不考慮軸間串擾。

考慮到矢量磁強計機械軸不可能完全正交，三軸非正交角定義如圖1 所示。Ox′y′z′表示矢量磁強計測量磁場非正交坐標系，Oxyz為正交坐標系，U1，U2，U3表示正交系與非正交系之間的夾角，三者均為小角度。非正交系坐標軸x′軸投影在Oxy，Oxz平面，與x軸的夾角分別為非正交角U2，U3；y′軸與y軸的夾角為非正交角U1；z′軸與正交系z軸重合。

圖1 非正交角定義Fig.1 Definition of the non-orthogonalities

描述矢量磁強計非正交性的矩陣可表示為

2 標量校正算法設計

針對以SWARM 為代表的地磁測量衛(wèi)星矢量磁強計與標量磁強計的安裝特點以及工作原理進行校正算法設計。

標量磁強計利用塞曼效應進行磁場測量，其測量值與磁場方向、溫度和時間無關(guān)。而且，由于標量磁強計距離衛(wèi)星本體較遠且不受外界環(huán)境影響，可利用磁場標量測量值對矢量數(shù)據(jù)進行校正。

2.1 基于小量近似的線性校正算法

在矢量磁強計線性輸出模型基礎上，由于U1，U2，U3均為小角度，式（3）可簡化為[16]

式中，ax′y′，ax′z′，ay′z′表示傳感器任意兩軸間夾角。式（4）可記為

式中，k1～k6為線性校正模型的校正系數(shù)。

矢量磁強計處的地磁場強度為

矢量磁強計三軸輸出值為

式中，ΔBx,y,z為矢量磁強計測量誤差。由式（5）可進一步得到

矢量磁強計與標量磁強計磁場測量的標量殘差可表示為

具體推導為

式中，F(xiàn)ASM為標量磁強計測量的磁場標量值，具體表示為

將式（8）代入式（9）中，標量殘差可表示為矩陣形式

式中，k為待求校正參數(shù)矢量；M為磁場數(shù)據(jù)矢量，具體表示為

針對上述線性模型采用迭代重加權(quán)最小二乘（Iteratively Reweighted Least Squares，IRLS）算法實現(xiàn)。損失函數(shù)定義為

待求參數(shù)矢量為

R為正則化項，減少迭代過程中由于矩陣奇異造成結(jié)果不準確的情況。通過適當選取參數(shù)p、正則化項以及迭代次數(shù)，實現(xiàn)損失函數(shù)的極小化。

2.2 基于參數(shù)辨識更新的非線性校正算法

基于參數(shù)辨識更新的非線性校正算法采用非線性最小二乘方法，從極小化磁場標量殘差的角度出發(fā)，直接考慮非正交角、偏差以及標度因子矩陣對磁場測量的影響。相比線性校正算法中簡化非正交性矩陣得到的線性校正模型，非線性校正算法直接對矢量磁強計的誤差參數(shù)進行辨識更新，直接得到非正交角、偏差以及標度因子的校正結(jié)果。

由式（3）矢量磁強計處的磁場矢量，得到磁場標量表達式為[17]

式中，矢量磁強計標度因子、非正交角及偏差共9 個參數(shù)，可由參數(shù)矢量m表示，有

矢量磁強計與標量磁強計磁場測量的標量殘差可以表示為

式中，δdk為第k次迭代的殘差；Gk為Jacobi 矩陣；權(quán)重矩陣在每次迭代中更新，為對角陣形式。具體表示為

式中kwi為第k次迭代中權(quán)重矩陣的對角線元素，取決于第k次迭代中每個樣本點對應的殘差量大小。

3 仿真校驗

3.1 仿真數(shù)據(jù)模擬

由于目前國際上SWARM 等衛(wèi)星并未公開磁場探測的0 級數(shù)據(jù)，為驗證本文算法的有效性，為中國后續(xù)高精度地磁測量衛(wèi)星磁場標定提供參考，這里通過數(shù)學仿真的方式構(gòu)造原始探測數(shù)據(jù)。由國際通用地磁場模型IGRF13 系數(shù)以及磁位函數(shù)的球諧表達式，建立地球磁場模型[18]。地磁位的球諧函數(shù)表達式為

式中，a為地球半徑，r為觀測點離開地心的徑向距離，θ為地理余緯；λ為 東經(jīng)；(cosθ)為n階m次的締合勒讓德函數(shù)；N′取14；和為地磁場球諧系數(shù)。圖2 給出了全球地磁場仿真結(jié)果。

圖2 全球等強度地磁分布Fig.2 Global geomagnetic map of equal intensity

針對某地磁測量衛(wèi)星，軌道高度400 km，軌道傾角87.357°，升交點赤經(jīng)297.019°，衛(wèi)星軌道為圓軌道，考慮地球扁率攝動的影響。

假定標量磁強計與矢量磁強計初始采樣頻率均為50 Hz，標量磁強計測量值的固定誤差設置為0.3 nT，其他仿真參數(shù)在表1 中給出。衛(wèi)星本體坐標系定義為：O點位于衛(wèi)星質(zhì)心，Ox軸在軌道平面內(nèi)指向速度方向，Oz軸指向地心，Oy軸垂直于軌道平面且與Ox和Oz軸構(gòu)成右手坐標系。假設衛(wèi)星本體系與矢量磁強計坐標系重合。

表1 不同情況下非線性校正算法參數(shù)辨識結(jié)果與初始參數(shù)對比Table 1 Parameter identification results of the nonlinear correction algorithm in different cases compared with the initial parameters

3.2 標量校正算法對比

在上述初始參數(shù)給定的情況下，研究引入傳感器誤差后兩種校正方法的有效性。將兩種校正方法進行對比分析，在仿真中不考慮其他磁場干擾的影響。

衛(wèi)星本體坐標系下的磁場仿真數(shù)據(jù)（共計124000 組）如圖3 所示。從圖4 可以看出，傳感器初始參數(shù)設置帶來的x軸磁場測量誤差最高達85 nT，y軸誤差最高達98 nT，z軸誤差最高達81 nT。

圖3 采樣頻率為50 Hz 時的磁場仿真數(shù)據(jù)Fig.3 Magnetic field simulation data at sampling frequency of 50 Hz

圖4 三軸初始測量誤差Fig.4 Initial measurement errors of the three axes

圖5 表明，經(jīng)線性校正算法校正后，三軸誤差在±0.352 nT 范圍內(nèi)變化，標量殘差在±0.0008 nT 范圍內(nèi)變化。圖6 表明，經(jīng)非線性算法校正后，磁場三軸誤差在±0.341 nT 范圍內(nèi)變化，標量殘差在±0.0007 nT 范圍內(nèi)變化。

圖5 經(jīng)線性模型校正后的磁場三軸誤差變化曲線以及標量殘差Fig.5 Magnetic field errors and scalar residuals after linear model correction

圖6 經(jīng)非線性模型校正后的磁場三軸誤差以及標量殘差變化曲線Fig.6 Magnetic field errors and scalar residuals after nonlinear model correction

對比兩種算法的校正結(jié)果，在考慮矢量磁強計非正交角、標度因子和偏差的影響下，兩種算法校正結(jié)果基本相同。

基于小量近似的線性校正算法通過更新磁場矢量數(shù)據(jù)和誤差模型參數(shù)實現(xiàn)校正效果，最終的辨識參數(shù)為校正后矢量磁場數(shù)據(jù)（誤差＜0.5 nT）對應的誤差參數(shù)；基于參數(shù)辨識更新的非線性校正算法通過不斷更新誤差模型參數(shù)，使其逼近磁場矢量測量數(shù)據(jù)對應的誤差參數(shù)，實現(xiàn)校正效果。

非線性校正后的傳感器參數(shù)辨識結(jié)果列于表1，偏差量誤差在±0.23 nT 以內(nèi)，三軸標度因子誤差保持在±0.000006 nT 以內(nèi)，非正交角誤差在±0.0004°以內(nèi)，辨識后傳感器參數(shù)均保持在較高精度。

3.3 噪聲干擾情況下仿真對比

分析矢量磁強計不同形式測量噪聲干擾對校正方法的精度影響。由于兩種校正方法在噪聲干擾情況下的校正結(jié)果相似，因此這里給出了非線性方法的校正結(jié)果。

添加幅值為0.15 nT 的高斯白噪聲，校正后三軸誤差由于受矢量磁強計誤差的限制，其振蕩幅值在±0.6 nT 以內(nèi)。標量殘差受噪聲影響較大，其范圍由±0.0007 nT 增大至±0.5 nT。添加幅值為1 nT 的高斯白噪聲，三軸誤差水平基本保持在±2.5 nT 以內(nèi)。對比圖7 和圖8 可以看出，校正后三軸誤差與標量殘差的幅值均與噪聲相關(guān)，表明噪聲對傳感器誤差造成了疊加影響，標量殘差受噪聲影響較大。圖9 給出了矢量磁強計存在幅值為0.5 nT 的均勻分布噪聲和周期性噪聲時，經(jīng)算法校正后的三軸誤差。結(jié)果表明，校正誤差不受噪聲形式影響，基本與噪聲的幅值水平保持一致，誤差分布與噪聲具體分布相關(guān)。結(jié)合表1 不同形式的噪聲干擾對比結(jié)果可以得出，參數(shù)辨識結(jié)果僅與噪聲幅值相關(guān)，與噪聲形式無關(guān)。

圖7 添加幅值為0.15 nT 高斯白噪聲干擾后的校正結(jié)果Fig.7 Calibrating results disturbed by Gaussian white noise which amplitude is 0.15 nT

圖8 添加幅值為1 nT 高斯白噪聲干擾后的校正結(jié)果Fig.8 Calibrating results disturbed by Gaussian white noise which amplitude is 1 nT

圖9 添加幅值為0.5 nT 均勻分布噪聲和周期性噪聲干擾后的校正結(jié)果Fig.9 Calibrating results disturbed by uniform noise and periodical noise which amplitude is 0.5 nT

3.4 異常擾動情況下仿真對比

考慮標量磁強計測量過程中，可能由于數(shù)據(jù)處理單元電壓的瞬變導致測量結(jié)果中出現(xiàn)異常值[19]，同時考慮該異常體現(xiàn)在標量磁場測量值的瞬間突變，且無法通過數(shù)據(jù)預處理進行消除。這里針對磁場標量數(shù)據(jù)的異常擾動問題，對線性和非線性校正算法的處理結(jié)果進行分析。

在標量數(shù)據(jù)中添加單次大小為2 nT 的異常擾動，該異常擾動由瞬間脈沖仿真實現(xiàn)，矢量數(shù)據(jù)不受標量異常的影響。

由圖10 可以看出，標量數(shù)據(jù)存在2 nT 的異常擾動時，對線性算法校正精度影響較大?？紤]線性校正算法第k次迭代中利用k-1 次校正結(jié)果，將異常值造成的誤差反復迭代，因此受標量數(shù)據(jù)異常值的影響較大。增大異常擾動至5 nT，非線性校正算法精度也受到影響。由于兩種算法均通過最小化均方誤差實現(xiàn)參數(shù)求解，擴大了異常值帶來的影響。為提高算法的魯棒性，將權(quán)重函數(shù)改進為Tukey 權(quán)重[20]，有

圖10 標量數(shù)據(jù)中添加2 nT 異常擾動后的校正結(jié)果Fig.10 Calibrating results of scalar data adding 2 nT anomaly perturbation

式中，δi為數(shù)據(jù)殘差，ε為定義異常值的削波函數(shù)。Tukey 權(quán)重函數(shù)通過削弱標量數(shù)據(jù)中異常值的權(quán)重，提高算法的魯棒性。數(shù)據(jù)中的異常值由削波函數(shù)ε體現(xiàn)，當數(shù)據(jù)對應的擬合殘差大于ε定義的閾值時，則視為異常值。Tukey 權(quán)重函數(shù)使異常值處權(quán)重為0，不參與算法運算，降低干擾。改進權(quán)重函數(shù)后，標量數(shù)據(jù)添加10 nT 的異常擾動，兩種校正算法的標量殘差如圖11 所示，兩種算法基本不受異常值的影響。同時，由表1 非線性算法參數(shù)辨識結(jié)果可以看出，權(quán)重函數(shù)的改進提高了非線性校正算法的參數(shù)辨識性能。這表明在應用Tukey 權(quán)重函數(shù)有利于提高算法的抗干擾能力。

圖11 標量數(shù)據(jù)中添加10 nT 異常擾動后的校正結(jié)果Fig.11 Calibrating results of scalar data adding 10 nT anomaly perturbation

4 結(jié)論

針對地磁測量衛(wèi)星矢量磁強計測量誤差的在軌標定問題，分別設計了基于小量近似的線性校正算法和基于參數(shù)辨識更新的非線性校正算法，仿真了傳感器誤差影響下的磁場測量數(shù)據(jù)，校驗分析了兩種磁場標定算法的效果。其中，基于小量近似的線性校正算法在考慮矢量磁強計非正交角均為小量的基礎上進行設計，同時矢量磁強計的誤差模型僅考慮非正交角、標度因子和偏差的影響，因此線性校正算法的近似是允許的。衛(wèi)星在軌運行期間，由于不確定性因素引起的建模誤差，對于小量近似的線性模型校正方法具有一定局限性。非線性校正算法從矢量磁強計誤差模型參數(shù)辨識更新的角度出發(fā)，通過求解矢量磁強計誤差參數(shù)矢量的Jacobi 矩陣實現(xiàn)磁場測量數(shù)據(jù)校正。相比線性校正算法，基于參數(shù)辨識更新的非線性校正算法的參數(shù)擴展性更強，更適用于復雜誤差模型的磁場數(shù)據(jù)校正。

仿真結(jié)果表明，在考慮矢量磁強計標度因子、偏差、小角度非正交角的影響且矢量磁強計測量噪聲幅值低于0.5 nT 的情況下，兩種算法校正后的三軸誤差均在0.5 nT 以內(nèi)，非線性校正的辨識參數(shù)與初始參數(shù)誤差在合理范圍內(nèi)，算法不受測量噪聲的影響。同時，將算法中關(guān)于殘差的權(quán)重函數(shù)改進為Tukey 權(quán)重函數(shù)提高了算法的魯棒性，適用于地磁測量衛(wèi)星磁場探測數(shù)據(jù)的在軌標定。研究結(jié)果可為中國張衡一號、澳門科學一號等高精度地磁測量衛(wèi)星數(shù)據(jù)處理提供參考。