計(jì)算結(jié)果的近似處理方法

于夢(mèng)梅

在解答物理計(jì)算問(wèn)題時(shí)，計(jì)算結(jié)果往往會(huì)出現(xiàn)非整數(shù)（小數(shù)點(diǎn)位數(shù)較多或除不盡）的情況，需對(duì)其作必要的近似處理。由于物理計(jì)算是應(yīng)用物理知識(shí)通過(guò)一定的計(jì)算研究物理量之間的關(guān)系，其計(jì)算結(jié)果不僅是數(shù)量關(guān)系的表述，而且具有一定的實(shí)際的物理意義，若近似處理不當(dāng)，會(huì)使整個(gè)解題功虧一簣，因此，能否正確處理計(jì)算結(jié)果是解題成功與否的關(guān)鍵一步，掌握正確處理計(jì)算結(jié)果的方法，是運(yùn)用物理知識(shí)分析解決相關(guān)問(wèn)題的必備的技能之一。對(duì)于具體問(wèn)題，應(yīng)在應(yīng)用相關(guān)物理知識(shí)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，以符合有關(guān)的物理規(guī)律和實(shí)際情況為前提，確定正確、合理的處理方法。常用的計(jì)算結(jié)果的近似處理方法有以下幾種：

一、四舍五入法

一般情況下，可依數(shù)學(xué)上的“四舍五入法”來(lái)處理計(jì)算結(jié)果（計(jì)算結(jié)果用有限小數(shù)表示），即根據(jù)題意確定保留位數(shù)，之后的那一位數(shù)字若小于或等于4，則將它和后面的數(shù)字全部舍去；若大于或等于5，則在需保留的最后一位數(shù)字上加1，再舍去后面的數(shù)字。

1.根據(jù)題目要求“四舍五入”

有些計(jì)算中，考題明確提出“保留×位小數(shù)”，只需按要求對(duì)計(jì)算結(jié)果“四舍五入”即可。

圖1例1.有一種電子秤的原理圖如圖1所示，它主要由三部分構(gòu)成：踏板和壓力杠桿ABO，壓力傳感器R（電阻值會(huì)隨所受壓力大小發(fā)生變化的可變電阻），顯示重力大小的儀表（實(shí)質(zhì)是電流表），其中AO長(zhǎng)20cm，BO長(zhǎng)5cm，壓力傳感器R的阻值與所受壓力的關(guān)系如下表所示。踏板和杠桿組件的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，電源電壓為6V。

（1）重300N的學(xué)生站在踏板上時(shí)，雙腳與踏板的接觸面積為0.07m2，此時(shí)對(duì)踏板的壓強(qiáng)是多大？

（2）當(dāng)重300N的學(xué)生站在踏板上時(shí)，通過(guò)壓力傳感器R的電流為

________________________________________

A。（保留兩位小數(shù)）

解析：（1）學(xué)生對(duì)踏板的壓強(qiáng)p=FNS=GS=300N0.07m2≈4285.71428571Pa

采用“四舍五入法”，因保留的兩位小數(shù)后的那一位是“4”，應(yīng)舍去“4”及其后面的所有數(shù)字，故學(xué)生對(duì)踏板的壓強(qiáng)p≈4285.71Pa。

（2）當(dāng)重300N的學(xué)生站在踏板上時(shí)，根據(jù)杠桿平衡條件可得F×AO=F′×BO，故壓力傳感器所受的壓力

F=F′×BOAO=300N×5cm20cm=75N

分析表格數(shù)據(jù)可知，每當(dāng)壓力增大50N時(shí)，壓力傳感器R的電阻減小3Ω。當(dāng)壓力為50N時(shí)壓力傳感器R的電阻為27Ω，故壓力為75N時(shí)壓力傳感器R的電阻等于27Ω減去3Ω的一半，即R′=27Ω-1.5Ω=25.5Ω。此時(shí)通過(guò)壓力傳感器R的電流

I=UR′=6V25.5Ω≈0.235294A

采用“四舍五入法”，因保留的兩位小數(shù)之后的那一位是“5”，應(yīng)進(jìn)位加“1”，“5”后面的所有數(shù)字舍去，故通過(guò)壓力傳感器R的電流I≈0.24A。

2.根據(jù)實(shí)際情況“四舍五入”

有些計(jì)算中，考題并沒(méi)有明確提出“保留x位小數(shù)”的要求，需根據(jù)實(shí)際情況、經(jīng)驗(yàn)常識(shí)或相關(guān)知識(shí)對(duì)計(jì)算結(jié)果“四舍五入”。

例2.小明用一把刻度尺測(cè)量物理課本的長(zhǎng)度，四次測(cè)量結(jié)果依次為：25.79cm、25.80cm、25.81cm、25.82cm。則物理課本的長(zhǎng)度是

cm。

解析：多次測(cè)量，用求平均值的方法來(lái)處理測(cè)量數(shù)據(jù)，可減小測(cè)量誤差

物理課本的長(zhǎng)度

l=25.79cm+25.80cm+25.81cm+25.82cm4=25.805cm

根據(jù)刻度尺的使用規(guī)則，測(cè)量值的最后一位數(shù)字是估讀的數(shù)字，故該刻度尺的分度值是mm。平均值所取的位數(shù)必須與題中所給測(cè)量值的位數(shù)相同，即小數(shù)點(diǎn)后應(yīng)保留兩位小數(shù)，將小數(shù)點(diǎn)后第三位的“5”“四舍五入”，故物理課本的長(zhǎng)度應(yīng)是25.81cm。

例3.有甲、乙兩個(gè)金屬工藝品，從外觀上很難辨認(rèn)出它是什么物質(zhì)?，F(xiàn)測(cè)得甲的體積和質(zhì)量分別為15cm3、290g，乙的體積和質(zhì)量分別為5.4cm3、48g。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷出這兩個(gè)工藝品可能分別是由物質(zhì)制成的。

解析：密度是物質(zhì)的基本性質(zhì)之一，利用密度可鑒別物質(zhì)。

甲工藝品的密度

ρ甲=m甲V甲=290g15cm3≈19.333333g/cm3

乙工藝品的密度

ρ乙=m乙V乙=48g5.4cm3≈8.888888g/cm3

由密度表可知，固體的密度一般保留一位小數(shù)，“四舍五入”后，ρ甲≈19.3g/cm3=19.3×103kg/m3，ρ乙≈8.9g/cm3=8.9×103kg/m3，故甲物質(zhì)可能是金，乙物質(zhì)可能是銅。

例4.在“測(cè)量小燈泡的電功率”實(shí)驗(yàn)中，電源電壓保持不變，小燈泡的額定電壓為2.5V。某實(shí)驗(yàn)小組的實(shí)驗(yàn)記錄分析表如下：

（1）你認(rèn)為該小組的數(shù)據(jù)處理過(guò)程是否正確？

答：

________________________________________

；理由是：

________________________________________

。

（2）小燈泡正常發(fā)光時(shí)的電阻為

________________________________________

Ω。

解析：（1）由實(shí)驗(yàn)記錄分析表可知，實(shí)驗(yàn)小組的計(jì)算結(jié)果P額=0.48W+0.70W+0.96W3≈0.713333W，將計(jì)算結(jié)果“四舍五入”保留與測(cè)量值的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同，即得P額=0.71W。這種計(jì)算額定功率及其處理計(jì)算結(jié)果的方法貌似正確，其實(shí)是錯(cuò)誤的。因?yàn)樾襞菰诓煌妷合碌膶?shí)際功率不同，小燈泡在額定電壓下的功率是額定功率，由數(shù)據(jù)表可知，P額=0.70W，故求不同電壓下的實(shí)際功率的平均值作為小燈泡的額定功率是錯(cuò)誤的；理由是：額定功率不等于各功率的平均值。

（2）小燈泡正常發(fā)光，即其兩端電壓等于額定電壓，此時(shí)小燈泡的電阻

R=U額I額=2.5V0.28A≈8.928571Ω

由于實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的電壓值和電流值的小數(shù)點(diǎn)后最多為兩位，故計(jì)算結(jié)果也應(yīng)保留兩位小數(shù)，“四舍五入”后，小燈泡正常發(fā)光時(shí)的電阻為R=8.93Ω。

點(diǎn)評(píng)：通常情況下，“四舍五入法”是處理計(jì)算結(jié)果的首選方法，計(jì)算結(jié)果大多只需保留二至三位小數(shù)即可。若考題沒(méi)有明確要求，則計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)應(yīng)與題給的相關(guān)數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同。

二、收尾進(jìn)一法

有些情況下，不能采用“四舍五入法”，而應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要采用“收尾進(jìn)一法”來(lái)處理計(jì)算結(jié)果，即不管計(jì)算結(jié)果的尾數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)）是多大，均向整數(shù)部分的個(gè)位上進(jìn)一后取整數(shù)。這類考題中常有“至少”、“最少”、“最多”等關(guān)鍵詞，多為解答有關(guān)最值（最大值、最小值）或計(jì)算結(jié)果為整數(shù)的問(wèn)題。

例5.每只瓶子的容積均為1.5L，現(xiàn)要裝質(zhì)量為35kg的酒精，則至少需要多少個(gè)這樣的瓶子？（酒精的密度為0.8×103kg/m3）

解析：質(zhì)量為35kg的酒精的體積

V=mρ=35kg0.8×103kg/m3=0.04375m3=43.75L（1m3=103L）

需要瓶子數(shù)

n=VV瓶=43.75L1.5L≈29.166666個(gè)

因瓶子個(gè)數(shù)必須為整數(shù)而不能為小數(shù)，若采用“四舍五入法”取n=29個(gè)，顯然裝不完酒精，故應(yīng)采用“收尾進(jìn)一法”，將尾數(shù)去掉進(jìn)一后取整，即至少需要30個(gè)這樣的瓶子。

圖2例6.一貨箱重104N，一根繩子只能承擔(dān)3×103N的力。現(xiàn)要站在地面上向下拉繩子使貨箱上升，至少要用幾個(gè)滑輪？如何繞繩，畫出其裝置圖。

解析：根據(jù)滑輪組的動(dòng)力與阻力的關(guān)系可知，承擔(dān)貨箱重力的繩子段數(shù)n=GF=104N3×103N=3.33段

因繩子的段數(shù)必須為整數(shù)而不能為小數(shù)，故不能采用“四舍五入法”而認(rèn)為n=3段。若取n=3段，則繩子實(shí)際承擔(dān)的力

F=Gn=104N3=3.33×103N>3×103N

超出了繩子承受力的限度，繩子會(huì)被拉斷。因此，應(yīng)采用“收尾進(jìn)一法”，即取n=4段。

組成F=14G的裝置，至少需要3個(gè)滑輪，其中2個(gè)動(dòng)滑輪，1個(gè)定滑輪；又因人站在地面上向下拉繩子，應(yīng)再加1個(gè)定滑輪。如圖2所示。

例7.學(xué)校用標(biāo)有“36V 25W”字樣的彩色燈泡來(lái)布置晚會(huì)會(huì)場(chǎng)，在照明電路上可以串聯(lián)多少盞這樣的彩燈？

解析：照明電路的電壓為220V，每盞彩燈的額定電壓為36V。串聯(lián)的彩燈數(shù)

n=UU燈=220V36V=6.11盞

由生活經(jīng)驗(yàn)可知，彩燈盞數(shù)不能為小數(shù)，若依“四舍五入法”的原則，取彩燈盞數(shù)n=6時(shí)，串聯(lián)后每盞彩燈兩端的實(shí)際電壓

U實(shí)=Un=220V6=36.7V>36V

此時(shí)彩燈兩端的實(shí)際電壓大于其額定電壓，燈泡容易被燒壞，造成電路斷路，故應(yīng)采用“收尾進(jìn)一法”，即取n=7盞。若再增加串聯(lián)的彩燈數(shù)，則每盞彩燈因分壓過(guò)低而不能“正常發(fā)光”，可見(jiàn)串聯(lián)7盞彩燈是唯一的答案。

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際問(wèn)題中，遇到計(jì)算結(jié)果不能為小數(shù)只能取整數(shù)時(shí)，如瓶子個(gè)數(shù)、繩子段數(shù)、彩燈盞數(shù)等均應(yīng)為整數(shù)，此時(shí)要考慮采用“收尾進(jìn)一法”。具體分析時(shí)，可先按“四舍五入法”取整數(shù)，再根據(jù)實(shí)際情況的“限制條件”進(jìn)行判定，如例5中應(yīng)將酒精裝完、例6中繩子承受拉力的限度、例7中彩燈的實(shí)際電壓不能超過(guò)其額定電壓，從而確定是否將小數(shù)部分“收尾進(jìn)一”。

三、去尾取整法

有些情況下，根據(jù)實(shí)際情況應(yīng)采用“去尾取整法”來(lái)處理計(jì)算結(jié)果，即將計(jì)算結(jié)果的尾數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)）不論大小一律舍去，只保留整數(shù)。

例8.教學(xué)樓的總保險(xiǎn)盒中的保險(xiǎn)絲允許通過(guò)的最大電流為30A，樓內(nèi)有24間教室，每間教室裝有6盞40W日光燈。當(dāng)全部日光燈都發(fā)光時(shí)，最多還能在樓梯走廊處再接25W的電燈多少盞？

解析：照明電路的電壓為220V，保險(xiǎn)絲允許接入的總功率

P總=UI=220V×30A=6600W

教學(xué)樓日光燈的總功率

P日光燈=40W×24×6=5760W

最多接入的電燈盞數(shù)

n=P總-P日光燈P電燈=6600W-5760W25W

=33.6盞

因電路中最大工作電流不得大于保險(xiǎn)絲允許通過(guò)的最大電流，或者電路中用電器的總功率不得大于保險(xiǎn)絲允許接入的總功率，否則保險(xiǎn)絲容易熔斷。若采用“四舍五入法”或“去尾進(jìn)一法”，取34盞，則教學(xué)樓日光燈和電燈的總功率

P總′=40W×24×6+25W×34=6610W>6600W

（或電路中最大正常工作電流：I=P總′U=6610W220V=30.1A>30A）。

故應(yīng)采用“去尾取整法”，即取n=33盞。

圖3例9.在新農(nóng)村建設(shè)中，用一種厚度為8cm、密度為2.4×103kg/m3的長(zhǎng)方體磚砌墻，砌墻使用的水泥砂漿的密度為2.2×103kg/m3，磚縫間水泥砂漿的厚度為1cm，如圖3所示。為保證安全，墻體對(duì)墻基的壓強(qiáng)不得超過(guò)4.9×105Pa，求此磚墻的高度不得超過(guò)多少？

解析：設(shè)墻的底面積為S，砌好的墻中磚的總厚度為h1，磚縫間水泥砂漿的總厚度為h2，則墻的高度h=h1+h2。因磚的厚度為8cm，砂漿的厚度為1cm，則有h1∶h2=8∶1，故h1=8h2。 墻體中磚的總重

G1=m1g=ρ1gh1S

砂漿的總重

G2=m2g=ρ2gh2S。

墻體對(duì)墻基的壓強(qiáng)

p=G1+G2S=ρ1gh1+ρ2gh2=（8ρ1+ρ2）gh2

故砂漿的總厚度

h2=p（8ρ1+ρ2）g

=4.9×105Pa（8×2.4×103kg/m3+2.2×103kg/m3）×9.8N/kg

≈2.34m

磚的總厚度

h1=8h2=8×2.34m=18.72m

墻的最大高度

h=h1+h2=18.72m+2.34m=21.06m

若不對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行處理，取墻的最大高度為h=21.06m，則墻體對(duì)墻基的壓強(qiáng)

p=（8ρ1+ρ2）gh2

=（8×2.4×103kg/m3+2.2×103kg/m3）×9.8N/kg×2.34m

=4.907448×105Pa>4.9×105Pa，超過(guò)了墻基能承受的壓強(qiáng)。

若采用“四舍五入法”或“去尾進(jìn)一法”，取h=21.1m或h=22m，則墻體對(duì)墻基的壓強(qiáng)同樣超過(guò)了墻基能承受的壓強(qiáng)。故應(yīng)采用“去尾取整法”，即磚墻的高度不得超過(guò)h=21m。

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際問(wèn)題中，可先采用“四舍五入法”或“去尾進(jìn)一法”處理計(jì)算結(jié)果，若不能保證“安全”或超出“限制條件”時(shí)，考慮將小數(shù)部分“去尾取整”。