帶Lvy過程的正倒向?qū)ε枷到y(tǒng)隨機(jī)控制問題

冉啟康

(上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,上?！?00433)

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冉啟康

(上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,上海200433)

摘要：討論了一類控制系統(tǒng)是帶L′evy過程的正倒向?qū)ε茧S機(jī)微分方程的隨機(jī)控制問題.本文假定控制區(qū)域?yàn)橥辜?最優(yōu)解是使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小的控制過程.使用帶L′evy過程的It?o公式及Ekeland變分原理,作者建立了這類隨機(jī)控制問題極值原理的一個(gè)必要條件.

關(guān)鍵詞：正倒向?qū)ε茧S機(jī)微分方程;隨機(jī)控制問題;變分不等式;極值原理; It?o公式

1　引言

自1990年P(guān)ardoux與彭實(shí)戈在文獻(xiàn)[1]中首先證明了由標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的非線性倒向隨機(jī)微分方程適應(yīng)解的存在唯一性以來,由于倒向隨機(jī)微分方程在控制論、金融數(shù)學(xué)、偏微分方程理論等眾多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用而引起了許多科學(xué)工作者的重視,到目前為止,相關(guān)的文獻(xiàn)數(shù)不勝數(shù). 1994年,文獻(xiàn)[2]中引入了倒向?qū)ε茧S機(jī)微分方程,即方程包含兩個(gè)隨機(jī)積分,一個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)積分一個(gè)是倒向隨機(jī)積分證明了當(dāng)系數(shù)滿足一致Lipschitz條件時(shí),方程

證明了當(dāng)系數(shù)滿足一致Lipschitz條件時(shí),方程存在唯一的適應(yīng)解.控制系統(tǒng)是一個(gè)正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)控制問題最先是彭實(shí)戈在文獻(xiàn)[4]中提出的,在控制區(qū)域是凸集的條件下,建立了一個(gè)極值原理由.之后,大量的結(jié)果不斷出現(xiàn)[5-9].最近,文獻(xiàn)[10]中討論了控制系統(tǒng)為:

的隨機(jī)控制問題,建立了一個(gè)極值原理的必要條件.本文是文獻(xiàn)[10]的推廣,利用文獻(xiàn)[3]的結(jié)論,借鑒文獻(xiàn)[10]的主法,建立了一類控制系統(tǒng)是帶L′evy過程的正倒向?qū)ε茧S機(jī)微分方程的隨機(jī)控制問題,建立了這類控制問題的極值原理的一個(gè)必要條件.

2　預(yù)備知識(shí)及引理

首設(shè)T是一個(gè)正常數(shù), (?,F,P)是一個(gè)完備的概率空間,

是三個(gè)相互獨(dú)立的過程,其中, {Wt: t∈[0,T]}與{Bt: t∈[0,T]}是兩個(gè)一維標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng), {Lt: t∈[0,T]}是一維右連左極L′evy過程,滿足: Lt= bt + bt, {bt}的跳時(shí)間是不可達(dá)停時(shí); Lt對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)L′evy測(cè)度ν滿足下列條件:

2)對(duì)所有ε＞0和某個(gè)λ＞0,有

記

其中P0表示P-零測(cè)集全體, G1∨G2表示由G1∪G2生成的σ-代數(shù).顯然{Ft,0≤t≤T}不滿足通常性條件,因?yàn)樗炔粏握{(diào)增加,又不單調(diào)減少.設(shè)(H(i))i≥1是由{Lt: t∈[0,T]}生成的Teugel鞅,即

其中

由文獻(xiàn)[11]知, (H(i))i≥1的分量是兩兩正交的,且[H(i),H(j)]t=δijt.

下面,引入文中所需的正向或倒向SDE的解空間.

(1) H2的元素Z :?×[0,T]→R,滿足:

(i)

(ii)?t∈[0,T], Zt是Ft可測(cè)的.用M2表示H2中的可料過程構(gòu)成的子空間.

(2) S2的元素Y :?×[0,T]→R,滿足:

(i)

定義2.1設(shè)U是R中的非空凸子集,稱Ft-適應(yīng)過程v為一個(gè)容許控制,如果它滿足:

(i) v的值在U中;

本文中,控制系統(tǒng)是下列正倒向?qū)ε茧S機(jī)微分方程組:

為了記號(hào)簡(jiǎn)單,在余下的部分,將省去積分的箭頭.

定義2.2對(duì)任意給定的v∈U,稱(Xv,Yv,Zv,Uv)為方程(5)對(duì)應(yīng)于v的解,如果(Xv,Yv,Zv,Uv)∈S2×S2×M2×M2(l),且滿足方程(5).

定義2.3稱u∈U為最優(yōu)控制,如果它使成本函數(shù)

達(dá)到最小值,即

假設(shè)函數(shù)f(t,x,y,z,u,v), g(t,x,y,z,u,v), b(t,x,v),σ(t,x,v), h(t,x,y,z,u,v),Φ(x),Ψ(y)滿足下列條件:

(H1)所有函數(shù)關(guān)于(x,y,z,u)都是連續(xù)可微的,關(guān)于t∈[0,T]是可測(cè)的.

(H3)

其中, B表示b,σ, h中任一函數(shù),γ表示x,y,z,u,v中任一變量.

為了引入本文的主要結(jié)論,首先引入兩個(gè)引理,它們是由文獻(xiàn)[10]中相應(yīng)引理推廣而來.設(shè)u?是一個(gè)最優(yōu)控制是對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略.設(shè)因?yàn)閁是凸的,所以,?0≤p≤1,有為下列正倒向?qū)ε糞DE的唯一解:

設(shè)(Xp,Yp,Zp,Up)為方程(5)中v = up對(duì)應(yīng)的解,記

則有

引理2.1假定條件(H1)- (H3)成立.那么

證明由文獻(xiàn)[12]中引理4.1知, (7)式成立.因?yàn)?/p>

其中

此處及以后,均用fx(t)表示其他函數(shù)也用同樣的表示.

類似于文獻(xiàn)[10],有

由引理2.1可得下列結(jié)論:

引理2.2假定條件(H1)-(H3)成立.如果u?是最優(yōu)控制,那么下列變分不等式成立:

證明使用引理2.1,與文獻(xiàn)[10]中引理2.5完全類似,可得引理2.2結(jié)論成立.

3　主要結(jié)論及證明

定理3.1假定條件(H1)-(H3)成立.如果u?是最優(yōu)控制, (X?,Y?,Z?,U?)是對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略,那么,對(duì)任意v∈U,必有

其中

的解.

將(16), (17)式代入(14)式,得

在(19)式中取?v = v?u?立即得定理3.1的結(jié)論成立.

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2010 MSC: 60H10, 93E20

The stochastic control problem for forward-backward doubly system with L′evy processes

Ran Qikang
(School of Mathematics, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai 200433, China)

Abstract:In this paper, we discuss a class of stochastic control problem whose control system is a forwardbackward doubly stochastic differential equations system. We assume the control domain is convex and the optimum solution is to minimize the objective function. We prove a necessary condition of maximum principle for this class of stochastic optimization problem , by using It?o formula of L′evy processes and Ekeland variational principle.

Key words:forward-backward doubly stochastic differential equation, stochastic control problem, variational inequation, the maximum principle, It^o formula

作者簡(jiǎn)介：冉啟康(1964-),博士,教授,研究方向：隨機(jī)分析、金融數(shù)學(xué).

收稿日期：2015-08-28.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.002

中圖分類號(hào)：O211.63

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-5513(2016)01-0006-08