基于概率-凸集混合模型的汽車正面碰撞結構可靠性優(yōu)化設計

李方義, 榮見華, 胡　林, 李鳳玲， 易繼軍

(1. 長沙理工大學 橋梁工程安全控制省部共建教育部重點實驗室，長沙　410114； 2. 汽車運輸安全保障技術交通行業(yè)重點實驗室，西安　710064；3. 長沙理工大學 工程車輛安全性設計與可靠性技術湖南省重點實驗室，長沙　410114)

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基于概率-凸集混合模型的汽車正面碰撞結構可靠性優(yōu)化設計

李方義1,2, 榮見華3, 胡林3, 李鳳玲3， 易繼軍3

(1. 長沙理工大學 橋梁工程安全控制省部共建教育部重點實驗室，長沙410114； 2. 汽車運輸安全保障技術交通行業(yè)重點實驗室，西安710064；3. 長沙理工大學 工程車輛安全性設計與可靠性技術湖南省重點實驗室，長沙410114)

摘要：基于概率和凸集模型研究汽車正面碰撞可靠性優(yōu)化設計問題。根據(jù)汽車吸能結構厚度、材料參數(shù)等不確定參數(shù)類型，分別采用概率和多橢球凸模型進行描述，以汽車安全性可靠性指標為約束，考慮汽車吸能結構質量為優(yōu)化目標，建立混合模型可靠性優(yōu)化設計模型。采用拉丁方試驗設計構造目標函數(shù)和約束函數(shù)的Kriging近似模型，利用功能度量法評定概率約束，通過基于移動因子序列優(yōu)化與可靠性評定將嵌套優(yōu)化解耦為單層次優(yōu)化。實際算例表明算法具有較高的計算效率及精度，對實際設計工作有一定參考價值。

關鍵詞：概率；凸模型；混合模型；序列優(yōu)化與可靠性評定；優(yōu)化

目前，安全性設計已成為現(xiàn)代汽車工業(yè)領域的研究熱點，因此，考慮結構優(yōu)化設計提高汽車碰撞安全性已經(jīng)進行了廣泛研究[1-2]。然而在產(chǎn)品設計、制造過程中，存在大量的不確定性，如幾何尺寸、材料屬性、載荷和邊界條件等。這些不確定因素將影響汽車碰撞安全性，使得設計響應超出設計約束，導致設計可靠性大大降低[3]。故對汽車碰撞安全進行可靠性優(yōu)化設計很有必要。

傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設計以概率模型建模不確定性，需要知道不確定參數(shù)的精確概率分布。但對于復雜工程問題往往很難獲得構建不確定參數(shù)精確概率分布所需的大量樣本信息。在許多情況下，相對于精確概率分布信息，參數(shù)不確定性的幅度和界限更容易獲得，我們稱為未知但有界參數(shù)，這種不確定性適合用非概率凸模型來描述。目前基于凸模型的結構可靠性分析和設計得到學者的廣泛關注[4-6]。

許多實際工程應用中，常常碰到這樣的情況:一部分不確定參數(shù)信息量足夠，適合采用概率模型描述；另一部不確定量由于缺乏足夠的樣本信息而僅知其擾動界限，適合采用非概率凸模型參數(shù)描述。因此，研究概率模型-凸模型混合可靠性分析與設計具有重要的實際工程意義[7-8]。

近年來，國內外學者研究隨機參數(shù)與區(qū)間并存的結構可靠性評估問題。如區(qū)間分析方法[9]、兩級功能函數(shù)[10]等。目前，混合模型可靠性優(yōu)化設計仍處于起步階段，部分學者研究此類優(yōu)化問題。程遠勝等[11]提出了在概率不確定性和非概率不確定性同時存在時的約束函數(shù)魯棒性和目標函數(shù)魯棒性的實現(xiàn)策略及結構魯棒設計方法。Du等[12]提出了一種處理區(qū)間和概率混合情況的最不利可靠性優(yōu)化方法。上述文獻主要研究隨機變量和區(qū)間變量共存的問題，但區(qū)間只是凸模型的特例之一。隨后，亢戰(zhàn)和羅陽軍等[13]提出一種處理概率模型與多橢球模型混合情況下的結構可靠性優(yōu)化設計方法，采用線性近似方法減少計算量，其研究是基于單循環(huán)策略來求解混合模型可靠性優(yōu)化問題。Du 和Chen[14]提出另外一種解耦方法—序列優(yōu)化與可靠性評定方法(Sequential Optimization and Reliability Assesment,SORA)，將優(yōu)化與可靠性分析進行解耦分離，極大減少了計算量。因此，將該方法引入到概率模型與多橢球模型的混合可靠性優(yōu)化問題中，開發(fā)一種適合于此類問題的高效解耦算法顯得尤為必要。

本文基于移動向量的序列優(yōu)化與可靠性評定方法研究汽車正面碰撞混合不確定可靠性優(yōu)化設計問題。利用概率-凸模型混合模型描述汽車正面碰撞中不確定參數(shù)；以概率模型描述汽車碰撞主要吸能結構厚度；材料屬于參數(shù)由于缺乏足夠樣本數(shù)據(jù)，采用多橢球凸模型對其進行描述。以混合模型可靠度指標為約束，建立混合模型的汽車正面碰撞安全可靠性優(yōu)化設計模型。采用序列與可靠性評定方法求解該模型，將多重可靠性優(yōu)化轉化為序列優(yōu)化環(huán)，每一環(huán)中包含一次優(yōu)化問題和一次可靠性分析，將嵌套優(yōu)化問題簡化為一系列確定性優(yōu)化問題求解，從而提高了汽車碰撞安全可靠性優(yōu)化設計效率。

1混合模型的可靠性優(yōu)化設計

1.1混合模型描述

采用概率模型描述隨機變量y={y1,y2,…,ym}T，采用如下形式描述其概率特征分布，

y～{pj(yj),j=1,2,…,m}

(1)

式中：pj(yj)為隨機變量yj的概率密度函數(shù)。

分析計算時，需將隨機變量標準化，即

Fyj(yj)=Φ(uj)

(2)

式中，F(xiàn)yj(yj)為隨機變量yj的累積分布函數(shù)，Φ(·)為標準正態(tài)累積分布函數(shù)。

隨機變量標準化也可表示為

u=T(y)或y=T-1(u)

(3)

對于有界變量x={x1,x2,…,xe}T，采用多橢球凸模型來描述[5]，即

i=1,2,…,e}

(4)

根據(jù)文獻[12]，將多維橢球進行標準化，首先對Wi進行特征值分解

QTiWiQi=Λi

(5)

式中QTiQi=I，Λ為特征值組成的對角矩陣。

引入向量

(6)

代入式(4)中，原多橢球轉換為單位多橢球

(7)

1.2基于混合模型的概率功能度量求解

結構所處的狀態(tài)由極限函數(shù)(功能函數(shù))G(y,x)來表示。G(y,x)>0表示結構滿足功能要求。通過上述對不確定參數(shù)進行標準變換后，原極限函數(shù)G(y,x)映射為其標準化形式g(u,q)。

根據(jù)文獻[12]，采用功能度量法，建立如下優(yōu)化問題求解最小功能目標點。

s.t.　

(8)

式中：βt為預先給定的可靠性指標目標值。本文采用序列二次規(guī)劃算法[15]進行求解。

1.3混合模型可靠性優(yōu)化設計

在滿足可靠性指標的前提下，建立如下混合模型的可靠性優(yōu)化數(shù)學模型

findd,μy

s.t.β[Gj(d,y,x)]≥βt,j(j=1,2,…,N)

(9)

s.t.αj(d)≥0(j=1,2,…,N)

(10)

式中：αj(d)為目標功能值, 其計算如下

(11)

式(10)和(11)表示混合可靠性優(yōu)化為一嵌套優(yōu)化問題。針對復雜結構優(yōu)化問題，兩層嵌套求解難度大，計算效率低。

根據(jù)文獻[12]，假設經(jīng)過第k次優(yōu)化迭代，在最優(yōu)解處，運用Karush-Kuhn-Tucker條件，可以得到第k+1次不確定變量的最優(yōu)解迭代更新公式，如下

(u(k+1)T,q(k+1)T)=

(12)

式中，Gu和Gq為功能函數(shù)的偏導數(shù)。

1.4序列優(yōu)化與可靠性評定方法及求解流程

本文基于文獻[14]將序列優(yōu)化與可靠性評定方法(SORA)引入到混合可靠性優(yōu)化設計問題中。基本思想是通過將近似概率約束轉化為近似等價的確定性約束，將優(yōu)化與可靠性分析兩個過程進行解耦，先執(zhí)行確定性優(yōu)化，再執(zhí)行可靠性分析。公式如下：

findd,μy

where

(13)

在初中數(shù)學課程標準中，要求學生能夠通過對數(shù)學這門課程的深入學習，將所學知識應用在生活中。這就需要教師在教學中注重生活化。這樣不僅能夠進一步提高學生學習這門課程的積極性和主動性，還極大的提高其對問題的分析能力和解決能力。

基于序列優(yōu)化與可靠評定方法的流程圖如圖1所示。每一循環(huán)包含兩部分，首先是進行確定性的優(yōu)化設計，然后進行可靠性的評定。在每一步循環(huán)中，首先將上一循環(huán)中獲得的近似最小功能目標點yMPTP和最不利點x*替代確定性優(yōu)化中的相關變量，進行確定優(yōu)化，得到新的設計點。然后進行可靠性評定，用當前的近似最小功能目標點yMPTP和最不利點x*重新規(guī)劃約束，并根據(jù)移動向量移動約束函數(shù)邊界，以確保在可行域內進行接下來的確定性優(yōu)化設計。重復循環(huán)步驟直到目標函數(shù)收斂且滿足可靠度要求。

圖1　流程圖Fig.1 Flow chart

2測試函數(shù)

參考文獻[16]，考慮如下混合可靠性優(yōu)化問題：

find[μ1,μ2]T

minf=(μ1+3)2+(μ2+3)2

s.t.β(G1(y,x))≥3.0

β(G2(y,x))≥3.0

1 ≤μ1≤10, 0.01≤μ2≤10

where

G1(y,x)=y1(y2+x1)-x2

(14)

設計變量初值均取為μ1=μ2=(2,2)，計算結果如表1所示。由表可知，相對于兩層優(yōu)化，本文調用功能函數(shù)42次，雙層循環(huán)調用功能函數(shù)558次，計算結果表明本文方法計算效率較高。表2給出了迭代過程，由表可知僅需6個循環(huán)，本文方法能迅速收斂于最優(yōu)值。

表1　優(yōu)化結果

表2　優(yōu)化迭代過程

3汽車正面耐撞性可靠性優(yōu)化設計

3.1問題描述

在整車結構安全設計中主要考慮使變形吸能部件在碰撞過程中最大可能吸收能量, 使得車體加速度峰值盡可能小, 從而達到保護乘員安全的目的[17]。因此，選取汽車車體前部關鍵吸能部件板料厚度為設計變量，如前縱梁、防火墻等，如圖2所示?？紤]整車輕量化，以吸能部件質量W作為設計目標。考慮碰撞安全性，以B柱加速度峰值GA和關鍵部件吸收能量GE為約束。

圖2　設計變量 Fig.2 Design variables

由于板料制造精度以及沖壓過程的影響，板材厚度存在波動性。工程實踐中常用正態(tài)分布來描述板料厚度的分布情況[18]，因此，厚度作為概率型的隨機變量，服從正態(tài)分布。在材料的實際生產(chǎn)中，材料的化學組成、熱處理過程和制造過程等多方面的因素都會影響材料的特性，因此，材料特性是在一定的范圍內波動[19]。選定圖3所示部件材料的屈服應力作為未知但有界參數(shù)，假定其不確定性用一個超橢球描述，所有不確定量的性質列于表3中。

圖3　材料不確定Fig.3 The material of considering uncertainty

故建立如下汽車安全的可靠性優(yōu)化設計問題：

findμt1,μt2,μt3,μt4,μt5

minf(μt1,μt2,μt3,μt4,μt5)=W

s.t.β[GE(t1,t2,t3,t4,t5,σ1,σ2,σ3)≥42 kJ]≥βt,1

β[GA(t1,t2,t3,t4,t5,σ1,σ2,σ3)≤50 g]≥βt,2

0.5 mm≤μt1,μt2,μt3,μt4,μt5≤2.5 mm

(15)

表3　正面碰撞問題不確定變量描述

3.2有限元模型與Kriging模型

整車正面碰撞有限元模型如圖4所示，該車有限元模型由196103個單元和200362個節(jié)點組成。在整車正面碰撞有限元仿真過程中，車輛以50 km/h的速度撞擊固定剛性墻，整個系統(tǒng)的碰撞仿真過程在120 ms內完成，在4核CPU 2.40 GHz.2G內存的電子計算機上，采用商業(yè)軟件LS-DYNA實施運算，單次碰撞仿真需耗時約2小時。圖5展示了其中一種典型變形情況。

圖4 正面碰撞的有限元模型Fig.4Finiteelementmodelofvehicle圖5 正面碰撞變形結果Fig.5Thedeformationofthefullfrontalimpact

可靠度評估直接調用該有限元模型計算較耗時，因此，采用拉丁方采樣構造目標函數(shù)和約束的Kriging

模型。Kriging 插值法在空間相關范圍分析的基礎上,用相關范圍內的采樣點來估計待插點屬性值。在Kriging模型中，假定待求函數(shù)Y(x)的表達式如下

Y(x)=f(x)+Z(x)

(16)

式中，f(x)是關于x的已知函數(shù)(通常取為固定的常數(shù))，Z(x)是一個高斯過程，f(x)提供模擬的全局近似，即Y(x)的數(shù)學期望。Z(x)用于估計f(x)的偏差以確保Kriging精確通過每個訓練樣本點，有關Kriging模型的構建方法見文獻[20]。

3.3結果分析

吸能部件板料厚度t和材料參數(shù)σ同時作為輸入變量，通過拉丁方采樣生成65個樣本點，利用LS-DYNA軟件進行有限元分析得到樣本點的響應值，部分樣本點和響應值見表4。依據(jù)表4，構建目標函數(shù)與約束的Kriging模型，并通過多個驗證點校核Kriging模型的精度。在此模型基礎上進行混合可靠性優(yōu)化設計。

表4　部分試驗設計表

由表5可知，確定性優(yōu)化結果得到吸能結構較輕，當存在不確定性參數(shù)時，整車吸收能量以及B柱加速度峰值的可靠性指標為負值，不滿足可靠性要求。經(jīng)過可靠性優(yōu)化設計后，整車吸收能量以及B柱加速度峰值的可靠度指標為3.0，滿足可靠性設計要求。圖6給出了優(yōu)化迭代歷程，表明該算法具有良好的收斂性和穩(wěn)定性。

表5　汽車正面碰撞的可靠性優(yōu)化結果

圖6　優(yōu)化迭代歷程Fig.6 Iteration history of optimization

4結論

本文基于概率-凸集?；旌夏Ｐ偷目煽啃詢?yōu)化方法研究了轎車正面耐撞性結構可靠性優(yōu)化問題。采用基于移動因子的序列優(yōu)化與可靠性評定方法對兩層嵌套優(yōu)化問題進行解耦，減少了計算量。通過測試函數(shù)和正面碰撞算例表明本文提出算法的正確性和有效性。本方法不僅可以應用到正面碰撞結構優(yōu)化設計問題，還可以應用到側面碰撞、偏置碰撞等優(yōu)化設計問題，為整車安全性設計提供一種新的解決方案。

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Reliability-based optimization design of structure subjected to vehicle frontal impact based on probability-convex hybrid model

LIFang-yi1,2,RONGJian-hua3,HULin3,LIFeng-ling3,YIJi-jun3

(1. Key Laboratory for Safety Control of Bridge Engineering, Ministry of Education and Hunan Province,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China；2. Key Laboratory for Automotive Transportation Safety Enhancement Technology of the Ministry of Communication, PRC 710064, China;3. Hunan Province Key Laboratory of Safety Design and Reliability Technology for Engineering Vehicle,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China)

Abstract:In order to describe the different types of uncertainty parameters for the thickness and material parameters of absorbing energy structure, probability and convex set models were adopted. The reliability indices for vehicle frontal impact safety were chosen as the reliability constraints and the weight of absorbing energy structure was selected as the objective of optimization. Then, an optimization design of structures subjected to vehicle frontal impact was formulated. The Kriging models for obiective and constraint functions were constructed by using the method of Latin hypercube experiment design. A performance measure method was adopted to evaluate probabilistic constraints. The nested optimization was transformed into single-level optimization problem by using the sequential optimization and reliability assessment (SORA) based on shifting factors. Some practical examples show the efficiency and accuracy of the presented algorithm, which could supply some beneficial references to designers．

Key words:probability; convex model; hybrid model; sequential optimization and reliability assessment; optimization

中圖分類號:U463.82;TH122

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.034

收稿日期：2014-08-07修改稿收到日期：2015-01-22

基金項目：國家自然科學基金(11302033;11372055;51408069);汽車運輸安全保障技術交通行業(yè)重點實驗室開放課題資助項目 (2014G1502013);湖南省教育廳科研項目(13C1033);長沙理工大學橋梁工程安全控制省部共建教育部重點實驗室開放基金資助項目(12KB04)資助

第一作者 李方義 男，博士，副教授，1978年生