超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模與解耦控制

王有懿，湯 亮，何英姿

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模與解耦控制

王有懿1，2，湯 亮1，2，何英姿1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

以超靜平臺(tái)在未來高精度航天器主動(dòng)隔振和精確指向控制中的應(yīng)用為基礎(chǔ)，針對(duì)柔性鉸形式超靜平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)以及超靜平臺(tái)基礎(chǔ)和載荷擾動(dòng)作用的影響，建立一般形式的超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型;進(jìn)一步推導(dǎo)解耦力控制方法，將超靜平臺(tái)由高度耦合的多輸入多輸出系統(tǒng)變?yōu)閱屋斎雴屋敵鼍€性時(shí)不變系統(tǒng)，以此消除各支桿之間的相互作用，極大地簡(jiǎn)化了控制器設(shè)計(jì);在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)值仿真分析與驗(yàn)證.仿真結(jié)果表明:基于所建立的一般形式超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，采用解耦力控制方法能夠很好地實(shí)現(xiàn)超靜平臺(tái)的主動(dòng)振動(dòng)控制，并且方法簡(jiǎn)單易于工程實(shí)現(xiàn).

超靜平臺(tái);動(dòng)力學(xué)建模;解耦力控制;柔性鉸

0 引言

未來空間科學(xué)觀測(cè)、深空激光通信以及高分辨率對(duì)地觀測(cè)等任務(wù)對(duì)航天器的控制精度和穩(wěn)定度提出了極為苛刻的指標(biāo)要求［1-3］.而星上的各種擾動(dòng)源，如飛輪、控制力矩陀螺、大型天線及太陽帆板的定向驅(qū)動(dòng)裝置、斯特林制冷機(jī)以及姿軌控發(fā)動(dòng)機(jī)等引起的低頻振動(dòng)和高頻抖動(dòng)將會(huì)嚴(yán)重影響高精度航天器的控制精度和穩(wěn)定度，明顯降低有效載荷的工作性能.

針對(duì)上述問題，國(guó)外自上世紀(jì)90年代開始研究一種安裝于衛(wèi)星本體和有效載荷之間，具有振動(dòng)隔離和高精度指向控制的有效載荷搭載平臺(tái)，稱之為“超靜平臺(tái)”［4］，以滿足未來航天任務(wù)的迫切需求.隨后，一些研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者致力于超靜平臺(tái)相關(guān)方面的深入研究.Sullivan等［5］研究了用于從星體擾動(dòng)和載荷制冷機(jī)振動(dòng)中隔離紅外相機(jī)載荷，同時(shí)實(shí)現(xiàn)相機(jī)指向調(diào)節(jié)的超靜平臺(tái);在他們的研究中，超靜平臺(tái)中每個(gè)支桿載荷端的加速度傳感器作為反饋測(cè)量敏感器，通過音圈電機(jī)作動(dòng)器實(shí)現(xiàn)控制.Anderson等［6］采用主動(dòng)作動(dòng)器和被動(dòng)隔振器串聯(lián)方式，通過支桿中的檢波器速度傳感器測(cè)量反饋，控制壓電作動(dòng)器實(shí)現(xiàn)超靜平臺(tái)的主動(dòng)隔振和抑制.Chen等［7］研究了立方體構(gòu)型超靜平臺(tái)，基于三對(duì)正交的作動(dòng)器，實(shí)現(xiàn)了超靜平臺(tái)六自由度方向的振動(dòng)隔離，但此平臺(tái)不具有指向控制和調(diào)節(jié)功能.Thayer等［8］采用一系列傳感器，包括三軸力傳感器，LVDT位移傳感器以及有效載荷端和基礎(chǔ)端檢波器速度傳感器，研究對(duì)比了超靜平臺(tái)在不同傳感器配置下的控制方法.Hanieh［9］研究了兩種不同形式的超靜平臺(tái)，第一種為柔性超靜平臺(tái)，能夠?qū)崿F(xiàn)六自由度方向的主動(dòng)隔振;第二種為剛性超靜平臺(tái)，能夠提供柔性有效載荷安裝界面處的主動(dòng)阻尼;除此之外，兩者都具有指向調(diào)節(jié)能力.Mclnroy等［10］等通過在超靜平臺(tái)上安裝光學(xué)指向敏感器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)載荷的兩軸主動(dòng)指向控制及支桿失效后的冗余控制.

上述超靜平臺(tái)支桿與載荷端和基礎(chǔ)端的連接大多采用柔性鉸連接方式，以此消除普通鉸帶來的摩擦和間隙影響，從而提高了超靜平臺(tái)的控制精度.然而在超靜平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)建模中卻較少考慮采用柔性鉸引起的超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)特性變化以及基礎(chǔ)和載荷擾動(dòng)的影響，并且所設(shè)計(jì)的控制器也大多忽略了各支桿之間的相互耦合作用.

基于此，本文推導(dǎo)了易于實(shí)現(xiàn)控制的超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，通過解耦方法，減少了超靜平臺(tái)各支桿之間的相互耦合作用。首先，建立了包含超靜平臺(tái)基礎(chǔ)和載荷擾動(dòng)的一般形式動(dòng)力學(xué)模型，在此模型中，充分考慮了柔性鉸引起的超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)特性變化;其次，推導(dǎo)了解耦力控制方法，實(shí)現(xiàn)了一般形式動(dòng)力學(xué)模型中各支桿之間的控制解耦，在提高超靜平臺(tái)控制性能的同時(shí)，極大地簡(jiǎn)化了控制器設(shè)計(jì);最后，給出了數(shù)值仿真算例與結(jié)果分析。

1 一般形式的超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

圖1給出了一般構(gòu)型超靜平臺(tái)的結(jié)構(gòu)示意圖，其由基礎(chǔ)平臺(tái)、有效載荷平臺(tái)和6個(gè)相同的可伸縮支桿組成.支桿通過兩端的柔性鉸與基礎(chǔ)平臺(tái)和載荷平臺(tái)連接.其中，pi(i=1，2，…，6)為6個(gè)支桿與載荷平臺(tái)的連接鉸點(diǎn)，bi(i=1，2，…，6)為6個(gè)支桿與基礎(chǔ)平臺(tái)的連接鉸點(diǎn).

1.1 支桿動(dòng)力學(xué)模型

如圖2所示的第i個(gè)支桿，支桿的質(zhì)量為mi，彈簧剛度為ki，阻尼系數(shù)為ci，作動(dòng)器輸出力為fmi，fpi為有效載荷對(duì)作動(dòng)支桿的作用力，pi表示支桿上端與載荷平臺(tái)連接鉸點(diǎn)的位置矢量，bi表示支桿下端與基礎(chǔ)平臺(tái)連接鉸點(diǎn)的位置矢量，li表示支桿的長(zhǎng)度，lri表示支桿的原始長(zhǎng)度.定義向量vi=pi－bi為支桿下端到上端的向量，則支桿的長(zhǎng)度，沿支桿的單位方向向量為ui=vi/li.

圖1 一般構(gòu)型超靜平臺(tái)Fig.1 A general configuration of ultra quiet platform

圖2 第i個(gè)支桿的動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 The dynamic model of the ith strut

在支桿動(dòng)力學(xué)建模過程中，由于柔性鉸的存在，考慮有效載荷作用力fpi方向近似于第i個(gè)支桿的軸向［11］，因此支桿對(duì)有效載荷只有6個(gè)支桿方向的軸向作用力.

由圖2(b)得超靜平臺(tái)6個(gè)支桿組合而成的動(dòng)力學(xué)模型為

式中:

1.2 有效載荷動(dòng)力學(xué)模型

考慮有效載荷為剛體，則動(dòng)力學(xué)方程為

式中:Mx為慣性坐標(biāo)系中有效載荷的質(zhì)量/慣量矩陣;為慣性坐標(biāo)系中有效載荷質(zhì)心處的廣義加速度;F為慣性坐標(biāo)系中作用于有效載荷質(zhì)心處的廣義力.

在柔性鉸形式超靜平臺(tái)中，6個(gè)支桿作用于有效載荷質(zhì)心處的廣義力表示為［9］

式中UJ為慣性坐標(biāo)系中關(guān)聯(lián)支桿運(yùn)動(dòng)和載荷運(yùn)動(dòng)的雅克比矩陣，左上標(biāo)符號(hào)表示所在的坐標(biāo)系.

考慮作用于有效載荷的外部擾動(dòng)力Fd和所受到的重力，聯(lián)立式(2)和(3)，得到超靜平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型為

式(4)給出了超靜平臺(tái)的一般形式動(dòng)力學(xué)模型，但并沒有完全建立起支桿空間(l)和工作空間(χ)之間的關(guān)系.

1.3 支桿空間和工作空間的關(guān)系推導(dǎo)

超靜平臺(tái)6個(gè)支桿基礎(chǔ)端加速度和基礎(chǔ)平臺(tái)廣義加速度的關(guān)系表示為

為科式加速度相關(guān)矩陣;ωB表示基礎(chǔ)平臺(tái)坐標(biāo)系{B}相對(duì)于慣性坐標(biāo)系{U}的角速度;UBR為基礎(chǔ)平臺(tái)坐標(biāo)系{B}到慣性坐標(biāo)系{U}的轉(zhuǎn)換矩陣，包含了兩個(gè)相同的3×3維坐標(biāo)變換矩陣;符號(hào)×表示向量的叉乘運(yùn)算.

有效載荷相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)與基礎(chǔ)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)和載荷平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系表示為

式(6)將慣性坐標(biāo)系中有效載荷加速度分解為載荷工作空間加速度分量和基礎(chǔ)平臺(tái)工作空間加速度分量.

聯(lián)立式(5)和(6)，得到支桿空間l和載荷工作空間χ的關(guān)系為:

1.4 支桿空間動(dòng)力學(xué)模型

將式(7)代入式(4)，得到支桿空間動(dòng)力學(xué)模型為

式中:Fc包含所有科氏力相關(guān)項(xiàng);G包含所有重力相關(guān)項(xiàng).

2 超靜平臺(tái)解耦力控制方法

在上述一般形式超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，本部分采用解耦力控制方法研究超靜平臺(tái)的六自由度主動(dòng)隔振問題.

為了實(shí)現(xiàn)超靜平臺(tái)六自由度方向的主動(dòng)隔振，需要最大限度地控制外部擾動(dòng)從支桿基礎(chǔ)端傳遞到載荷端的力，因而在每個(gè)支桿載荷端安裝力傳感器，則6個(gè)支桿力傳感器的輸出力向量fp為

考慮到航天器所受微振動(dòng)擾振的量級(jí)較小，并且柔性鉸轉(zhuǎn)動(dòng)范圍有限，因此柔性鉸形式超靜平臺(tái)僅僅能夠進(jìn)行小位移運(yùn)動(dòng)，方程(8)中的G、JC、JB、J均為常數(shù)矩陣;除此之外，在工程上，一定范圍頻率的小位移運(yùn)動(dòng)速度相關(guān)的科氏力影響可忽略.通過彈簧伸縮抵消重力作用，lr和G兩項(xiàng)也可消除.基于此，方程(8)簡(jiǎn)化為:

由于式(10)是線性時(shí)不變的，聯(lián)立式(9)和式(10)，并進(jìn)行Laplace變換，得到支桿作動(dòng)器輸出力向量fm到支桿載荷端輸出力向量fp的傳遞函數(shù)為:

式(11)產(chǎn)生的36個(gè)由fm到fp的傳遞函數(shù)是高度耦合的，為了簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)，需尋求解耦方法.

如果式(12)滿足以下條件，由u到y(tǒng)的傳遞函數(shù)將會(huì)實(shí)現(xiàn)解耦，則超靜平臺(tái)由高度耦合的多輸入多輸出系統(tǒng)變?yōu)榫€性時(shí)不變的單輸入單輸出系統(tǒng): (1)Mx為對(duì)角陣;(2)UJTUJ為對(duì)角陣.

對(duì)于近似對(duì)稱的有效載荷，Mx為對(duì)角陣，滿足上述條件(1);針對(duì)經(jīng)典的“Cubic”構(gòu)型［9］，如圖3中的實(shí)線構(gòu)型，有效載荷的質(zhì)心與正交支桿形成的立方體中心重合時(shí)，UJTUJ為對(duì)角陣，滿足條件(2).

對(duì)經(jīng)典立方體構(gòu)型進(jìn)行局部截取，形成新的立方體構(gòu)型(如圖3中虛線部分)，雅克比矩陣UJ的表達(dá)式［12］:

圖3 經(jīng)典立方體構(gòu)型及新構(gòu)型(★表示載荷質(zhì)心位置)Fig.3 Classical cubic configure and new configure (★denotes the location of the payload’s center of mass)

3 仿真算例與分析

針對(duì)上述推導(dǎo)的一般形式超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型與解耦力控制方法，進(jìn)行數(shù)值仿真分析與驗(yàn)證.仿真參數(shù)為:

支桿與載荷平臺(tái)連接鉸點(diǎn)坐標(biāo)(載荷平臺(tái)坐標(biāo)系):

支桿與基礎(chǔ)平臺(tái)連接鉸點(diǎn)坐標(biāo)(基礎(chǔ)平臺(tái)坐標(biāo)系):

平臺(tái)高度h=0.03 m，載荷質(zhì)心在基礎(chǔ)平臺(tái)坐標(biāo)系中的位置為［0 0 0.05］m;載荷質(zhì)量/慣量矩陣為:Mx=diag{18 kg，18 kg，18 kg，0.4 kg·m2，0.6 kg·m2，0.6 kg·m2};支桿質(zhì)量Ms=0.1 kg，支桿的剛度和阻尼系數(shù)分別為k=3 700 Ν/m，c=2.7 Ν·s/m，其仿真結(jié)果如圖4～5，給出了未解耦和解耦后支桿3作動(dòng)器輸出力到各支桿載荷端力傳感器輸出力的響應(yīng)對(duì)比圖.

由圖4的仿真結(jié)果可得:即使采用立方體構(gòu)型的一般形式超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，各個(gè)支桿之間仍是高度耦合的，特別在共振模態(tài)附近.圖5顯示了輸入u到輸出y的解耦結(jié)果;從圖中可以看出，輸入u產(chǎn)生的響應(yīng)y與輸入u產(chǎn)生的其他響應(yīng)相差300 dB以上，各個(gè)支桿得以完全解耦.盡管此處僅僅顯示了輸入u產(chǎn)生的6個(gè)響應(yīng)，但其他輸入具有相似的解耦特性.

圖4 支桿3作動(dòng)器輸出力產(chǎn)生的響應(yīng)Bode幅值圖Fig.4 Bode magnitude plot of response caused by actuator force of strut 3

圖5 輸入u產(chǎn)生的響應(yīng)Bode幅值圖Fig.5 Bode magnitude plot of response caused by input u

圖6給出了由支桿作動(dòng)器輸出力到支桿載荷端輸出力的開環(huán)、耦合力控制、解耦力控制頻域?qū)Ρ葓D;圖7給出了超靜平臺(tái)基礎(chǔ)施加低頻正弦擾動(dòng)和隨機(jī)擾動(dòng)條件下，載荷端力傳感器輸出力的時(shí)域?qū)Ρ葓D.

圖6 開環(huán)、耦合控制和解耦控制對(duì)比圖Fig.6 The comparison plot with open loop，coupled control and decoupled control

圖7 耦合控制和解耦控制時(shí)域效果對(duì)比圖Fig.7 The comparison plot of time-domain effect with coupled control and decoupled control

從圖6的仿真結(jié)果可以看出:在無控制的開環(huán)情況下力的傳遞是最大的，耦合控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)一定頻域范圍內(nèi)的主動(dòng)隔振控制，而相對(duì)于耦合控制方法，解耦控制方法可以達(dá)到最好的主動(dòng)隔振效果.圖7的時(shí)域仿真結(jié)果也表明:在低頻和隨機(jī)擾動(dòng)作用下，相對(duì)于耦合控制方法，解耦控制方法會(huì)進(jìn)一步提升超靜平臺(tái)的主動(dòng)隔振能力.

4 結(jié)論

以未來高精度航天器的有效載荷超靜平臺(tái)為研究對(duì)象，本文對(duì)超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模與控制相關(guān)問題進(jìn)行了深入研究，其主要結(jié)論為:

1)考慮柔性鉸對(duì)超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)特性的改變，以及超靜平臺(tái)基礎(chǔ)和載荷擾動(dòng)的影響，建立了一般形式的超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，為控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供精確的動(dòng)力學(xué)模型，

2)推導(dǎo)了解耦力控制方法，實(shí)現(xiàn)了超靜平臺(tái)各支桿相互之間的解耦，并通過進(jìn)一步分析降低了超靜平臺(tái)解耦控制所需滿足條件的限制.

3)數(shù)值仿真結(jié)果表明:采用解耦方法可以很好地消除超靜平臺(tái)各支桿相互之間的耦合作用，并且對(duì)于基礎(chǔ)擾動(dòng)的主動(dòng)振動(dòng)隔離，解耦力控制方法具有更好的主動(dòng)隔振效果，且方法簡(jiǎn)單易工程應(yīng)用.

本文建立的一般形式超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型和推導(dǎo)的解耦控制方法可以進(jìn)一步推廣應(yīng)用到超靜平臺(tái)的主動(dòng)指向控制中.

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Dynamic Modeling and Decoupled Control of Ultra Quiet Platform

WANG Youyi1，2，TANG Liang1，2，HE Yingzi1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China; 2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100190，China)

Based on active vibration isolation and precision pointing control of ultra quiet platform for high precision spacecraft in the future，considering the dynamic characteristics of flexure jointed ultra quiet platform，as well as the effect of base and payload disturbances，the general dynamic model of ultra quiet platform is built.Then the decoupled force control method is derived，and the highly coupled multi-input and multi-output system for ultra quiet platform is converted into single-input and single-output linear time invariant system so that the interaction of different struts is eliminated.The method also greatly simplifies the controller design.On this basis，the numerical simulation analysis and verification are made.The simulation results show that the decoupling force control method using a general dynamic model can achieve good control effect for active vibration control of ultra quiet platform，which is simple and easy to implement.

ultra quiet platform;dynamic modeling;decoupled force control;flexure jointed

V448.2

A

1674-1579(2016)04-0006-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.04.002

王有懿(1983—)，男，博士，研究方向?yàn)楹教炱髦鲃?dòng)隔振與精確指向控制;湯 亮(1976—)，男，研究員，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制;何英姿(1970—)，女，研究員，研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程。

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61573060).

2016-03-20