基于向量對方法的柔性空間機械臂建模與仿真

林 倩，袁 軍

(北京控制工程研究所，北京100090)

基于向量對方法的柔性空間機械臂建模與仿真

林 倩，袁 軍

(北京控制工程研究所，北京100090)

針對柔性自由漂浮基座空間機械臂系統(tǒng)建模的過程中存在的形式復(fù)雜計算量大等問題，本文采用向量對方法，以自由漂浮基座雙連桿柔性機械臂為研究對象，以單個體的動力學(xué)方程為基礎(chǔ)，分別列出相鄰兩個體之間的約束方程，利用拉格朗日乘子法組裝構(gòu)成系統(tǒng)的動力學(xué)方程.這種方法在建模時需要的信息較少，易于推導(dǎo)，得到的方程十分規(guī)范化，更加有利于柔性空間機械臂控制系統(tǒng)的設(shè)計.最后文章通過仿真驗證了模型的正確性.

柔性空間機械臂;動力學(xué)建模;向量對方法;剛?cè)狁詈?/p>

0 引 言

空間機械臂是一類典型的飛行器操作系統(tǒng)，它可以在太空中對衛(wèi)星等航天器進行維修裝配等在軌服務(wù)，極大地延長了衛(wèi)星的使用壽命，避免了重新發(fā)射一顆衛(wèi)星以及回收舊衛(wèi)星所帶來的巨大消費［1-2］.因此，空間機械臂的研究具有非常重要的工程實際意義.空間機械臂具有質(zhì)量輕，結(jié)構(gòu)長，剛度低，結(jié)構(gòu)阻尼弱等特點使自由漂浮空間機械臂系統(tǒng)成為了一種典型的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng).用一般的方法建立動力學(xué)模型推導(dǎo)過程十分復(fù)雜，計算量大，得到的動力學(xué)方程不利于求解和控制系統(tǒng)的設(shè)計.因此本文根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點，采用一種更加方便有效易于推導(dǎo)的建模方法，為進一步的柔性空間機械臂控制系統(tǒng)的設(shè)計提供更有利的模型，并且通過仿真驗證了模型的正確性.

對帶柔性附件衛(wèi)星的動力學(xué)研究已經(jīng)歷經(jīng)了很長的時間，Kane等［3］在1987年提出了建立連接在移動基上的懸臂梁的動力學(xué)模型的方法.文獻［4］將柔性影響視為加在剛體運動上的一個確定的擾動項，這樣柔性運動可以以類似重力柯氏力以及向心力形式被處理.文獻［5］研究了航天器大范圍剛體運動與其撓性附件彈性變形運動的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)，并且對航天器的姿態(tài)控制方法和撓性附件的振動控制也進行了研究.對于多體系統(tǒng)，每個物體之間存在著一定的位置關(guān)系.本文研究只有一條通路的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的自由漂浮基座空間機械臂系統(tǒng)，一般有兩種描述向量關(guān)系的方法.一種是向量鏈的方法，這種方法求得的動力學(xué)方程是一種耦合型的動力學(xué)方程，包含全部廣義坐標(biāo)，可以方便提供控制系統(tǒng)設(shè)計所需的設(shè)計模型，缺點是求解時十分復(fù)雜，運算量很大.另一種方法是向量對的方法，這種方法得到的方程比較規(guī)范化，需要的信息較少，并且可以提高計算效率，滿足實時仿真的需要［6］.在以往的針對柔性自由漂浮空間機械臂建模研究中，大多采用向量鏈的方法來描述系統(tǒng)中的向量關(guān)系，得到的方程十分復(fù)雜，不利于求解和仿真，更不利于控制系統(tǒng)的設(shè)計，因此本文采用向量對方法，利用第二類拉格朗日方程和拉格朗日乘子法建立多柔性體系統(tǒng)的動力學(xué)方程.

1 柔性臂桿彈性位移的描述

由假設(shè)模態(tài)法可以將柔性臂桿的彈性變形表示為［7］:

其中，Φ(x)=[φ1(x) φ2(x) … φn(x) ]T為假設(shè)模態(tài)，q(t)=[q1q2…qn]T，qi(t)為相應(yīng)的廣義坐標(biāo).

利用Lagrange方程可以求出廣義坐標(biāo)滿足的微分方程

式(3)的解可以設(shè)為

式中，Ψ是振幅向量，ω是振動圓頻率，φ是相位角，將式(4)代入式(3)中可得，

由此得到n個特征值 λi和相應(yīng)的特征向量Ψi，ωi就是原連續(xù)系統(tǒng)的n個固有頻率的近似值，特征向量Ψi為與λi=對應(yīng)的固有模態(tài).可以得到歸一化模態(tài)Ti:

其中，ai為模態(tài)質(zhì)量可以由模態(tài)正交性得到，然后利用模態(tài)展開的方法將彈性位移uf表示為:

其中，T= [T1T2… Ti…]是由歸一化模態(tài)Ti組成的模態(tài)陣，稱為歸一化模態(tài)陣，τT=(τ1，τ2，…，τn)是模態(tài)坐標(biāo)矢量［6］.

這樣，模態(tài)坐標(biāo)矢量可以直接作為廣義坐標(biāo)納入到系統(tǒng)的動力學(xué)模型當(dāng)中，達到剛?cè)狁詈系哪康?

2 柔性空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)建模

2.1 定義坐標(biāo)系

對于柔性空間機械臂這樣具有輕質(zhì)、高速等特點的空間組合體結(jié)構(gòu)，在進行動力學(xué)建模過程中一個重要的問題就是需要考慮結(jié)構(gòu)的彈性變形與系統(tǒng)的大范圍運動之間的耦合.本文采用混合坐標(biāo)法和廣義坐標(biāo)來描述物體在空間中的位形.如圖1所示:OXYZ為慣性坐標(biāo)系，用以描述所有物體的剛性運動以及物體間的約束，其余坐標(biāo)系均與本體固聯(lián)，隨著本體轉(zhuǎn)動而轉(zhuǎn)動.

圖1 物理模型Fig.1 Model of the system

2.2 柔性臂桿Bi的動力學(xué)方程

柔性體i上任意一點Qi在慣性系中的位置矢量為:

其中，Ri是柔性體i的自身物體系的原點在慣性系中的位置矢量，ui是Qi點在物體系i中的位置矢量，是物體系i到慣性系的變換矩陣.由于柔性體質(zhì)點間具有相對運動，因此存在彈性變形，設(shè)Qi點處的彈性變形矢量為，為不存在彈性變形時Qi點在物體系i中的位置矢量，則由圖1的右側(cè)圖形可以得出

式(10)對時間求導(dǎo)可以得出柔性體i上任意一點Qi的速度矢量

令

在點Qi處取一體元，則物體i的動能表達式為

其中，ρi和Vi分別是點Qi所在體元的質(zhì)量密度和體積，由于廣義坐標(biāo)與時間相關(guān)，式(18)可以寫成

柔性體i在采用模態(tài)坐標(biāo)表達彈性位移后，應(yīng)變能可以用模態(tài)坐標(biāo)表示為以下形式:

由上式可以得出作用在柔性體i上的總的廣義力矢量:

再根據(jù)物體i的動能，代入Lagrange方程，得:

則柔性體i的動力學(xué)方程可表示為:

中心剛體A的動力學(xué)方程為

2.3 帶有彈性位移的約束方程

本文以自由漂浮基座雙連桿柔性空間機械臂為研究對象，只研究兩個臂桿的情況.由多體系統(tǒng)的物理模型可知，中心剛體A和柔性臂桿B1之間由轉(zhuǎn)動鉸相連接，二者的重合點為點E;柔性臂桿B1和柔性臂桿B2之間由轉(zhuǎn)動鉸相連接，二者的重合點為點F，如圖2所示.

圖2 物體間的約束Fig.2 Constraints between objects

將點E視為在物體A上，那么它在慣性系中的位置矢量由上面的推導(dǎo)可知

將點E視為在物體B1上，可以看到此時點E剛好在物體B1的固聯(lián)坐標(biāo)系的原點上，但是由于物體B1為柔性體，在原點處也會存在彈性位移，所以它在慣性系中的位置矢量為

式(24)也可以表示成:

即為A、B1之間的約束方程.

同理，將點F視為在物體B2上，點F也恰好在物體B2的固聯(lián)坐標(biāo)系的原點上，可知B1、B2之間的約束方程如下:

式(25)、(26)構(gòu)成了系統(tǒng)的約束方程.

令

則由上面的兩個方程組成的方程組可表示為

其中，

利用拉格朗日乘子法，可將約束方程與各個物體動力學(xué)方程組合在一起，得到自由漂浮基座柔性空間機械臂的動力學(xué)模型.

系統(tǒng)的動力學(xué)學(xué)方程可表示為:

由上面的推導(dǎo)可以得出，系統(tǒng)的動力學(xué)模型為:

整理可得

由于約束方程的存在，動力學(xué)方程的廣義坐標(biāo)分為獨立的和非獨立的，其中非獨立廣義坐標(biāo)即相關(guān)廣義坐標(biāo)的個數(shù)等于約束方程的個數(shù).獨立坐標(biāo)的數(shù)目等于廣義坐標(biāo)的總數(shù)減去相關(guān)坐標(biāo)的個數(shù)，即系統(tǒng)的自由度［9］.將系統(tǒng)的獨立坐標(biāo)表示為qi，相關(guān)坐標(biāo)表示為qc，則系統(tǒng)的全部廣義坐標(biāo)可表示為

將動力學(xué)方程分塊表示:

另外可以得到:

可以得到相關(guān)坐標(biāo)由獨立坐標(biāo)表示:

最終得到動力學(xué)模型:

由推導(dǎo)過程和最終的得到的模型可以看出:采用向量對方法與向量鏈方法相比，需要的信息量較少，并且基于單個物體的動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，十分易于推導(dǎo)，可避免推導(dǎo)過程中由于計算造成的失誤，最終得到的方程十分規(guī)范化，更有利于數(shù)值仿真和控制系統(tǒng)的設(shè)計.

3 數(shù)值仿真

在仿真過程中通過假設(shè)兩個臂桿在同個平面內(nèi)轉(zhuǎn)動來簡化模型，因此進一步假設(shè)坐標(biāo)系OaXaYaZa、Ob1Xb1Yb1Zb1、Ob2Xb2Yb2Zb2中的OaYaZa、Ob1Yb1Zb1、Ob2Yb2Zb23個平面共面，臂桿的轉(zhuǎn)動只會引起衛(wèi)星繞Xa軸轉(zhuǎn)動.仿真的控制目的是給出期望關(guān)節(jié)角，通過控制使臂桿的關(guān)節(jié)角收斂到期望關(guān)節(jié)角，且激發(fā)的振動能得到很好的抑制.因此設(shè)計一種帶有魯棒項的PD控制器

Kp和Kd分別為比例和微分系數(shù)，最末項為魯棒項，用于消除建模誤差，取η≥0.

仿真參數(shù)如下:衛(wèi)星質(zhì)量為300 kg;繞Xa軸轉(zhuǎn)動慣量為800 kg·m2;衛(wèi)星質(zhì)心到機械臂與衛(wèi)星連接處的距離為2 m.

假設(shè)兩臂桿的各項參數(shù)完全相同，機械臂桿的各項參數(shù)如下:質(zhì)量為6.4 kg;長度為4 m;對質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量為34.132 4 kg·m2;彈性模量為7.6× 1010N/m2;質(zhì)心位置比為0.5;截面慣量矩為I= 1.26×10－7m4.

為簡化計算，取懸臂梁邊界問題的容許函數(shù)作為柔性臂桿的假設(shè)模態(tài)

取期望關(guān)節(jié)角 γd= [ π/3 π/3]T，Kp=300、Kd=1 000、η=0，兩臂桿阻尼均設(shè)為0.01，得到仿真結(jié)果如圖3～6所示.

圖3 關(guān)節(jié)角γ1和γ2的變化曲線Fig.3 Joint angelsγ1and γ2curves

圖4 關(guān)節(jié)角γ1和γ2的角速度變化曲線Fig.4 Angular velocity curves of joint angels γ1and γ2

圖5 機械臂桿1的一階和二階模態(tài)和速度曲線Fig.5 Arm 1 two modes and velocity curves

仿真結(jié)果表明，兩個機械臂桿的關(guān)節(jié)角可以跟蹤并收斂到期望值，角速度快速收斂到零，因此可以很好的實現(xiàn)機械臂的動作控制;由于臂桿的柔性存在，在臂桿進行動作的同時柔性臂桿產(chǎn)生了大幅度的振動，隨著臂桿運動的停止，振動幅度也逐漸減小直至穩(wěn)定，驗證了模型的正確性.

圖6 機械臂桿2的一階和二階模態(tài)和速度曲線Fig.6 Arm2 two modes and velocity curves

4 結(jié) 論

文章通過假設(shè)模態(tài)法和模態(tài)展開法結(jié)合對柔性機械臂的彈性位移進行了描述，并利用向量對的方法對自由漂浮基座柔性空間機械臂進行了動力學(xué)建模，以個體的動力學(xué)方程為基礎(chǔ)，考慮每兩個相鄰物體之間的約束方程，利用Lagrange乘子法建立多柔性體系統(tǒng)動力學(xué)方程，并通過仿真驗證了模型的正確性.利用向量對的方法建立自由漂浮基座柔性空間機械臂的模型，得到的方程十分規(guī)范化，基于單個物體的動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，十分易于推導(dǎo)，可避免推導(dǎo)過程中由于計算造成的失誤，并且與普通的向量鏈方法相比，需要的信息量較少，仿真過程中的運算量較小，可以明顯提高計算效率，可為進一步的柔性空間機械臂控制系統(tǒng)的設(shè)計提供更有利的模型.

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Dynamic Modeling and Simulation of Flexible Space Manipulator Based on Vector Pairs Method

LIN Qian，YUAN Jun
(Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100090，China)

The vector pairs method is adopted for dynamic modeling of a free-floating two-links flexible space manipulator system in this paper.On the basis of each body’s dynamic function，the constraint equations between each two connected objects are derived.These equations are assembled by Lagrange multiplier method and constitute the dynamic equations of the whole system.By using this method，the modeling process requires less information and the functions are easy to deduce.The final dynamic equations are very standardized and more appropriate to design control system.The validity of the dynamic equations derived by the method has been demonstrated by numerical simulations.

flexible space manipulator;dynamic modeling;vector pairs method;coupled rigid-flexible system

V414

:A

:1674-1579(2016)02-0026-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.02.005

林 倩(1992—)，女，碩士研究生，研究方向為導(dǎo)航制導(dǎo)與控制;袁 軍(1965—)，男，研究員，研究方向為導(dǎo)航制導(dǎo)與控制.

2015-11-03