地球表面上兩點(diǎn)間最短距離（航線）方向的確定

祁玉芳

在復(fù)習(xí)經(jīng)緯網(wǎng)的內(nèi)容時(shí)，地球表面上兩點(diǎn)間最短航線方向的確定，是我們的攔路虎。由于有的同學(xué)對(duì)這類問題缺乏足夠的空間想象能力，只是機(jī)械地背一些結(jié)論，造成在解這類試題時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。針對(duì)有些同學(xué)空間想象能力和數(shù)學(xué)水平不太高等情況，本文旨在幫助他們?nèi)嬲_認(rèn)識(shí)地球表面上兩點(diǎn)間最短航線方向的確定問題。

地球表面上兩點(diǎn)之間的最短航線，指的是兩點(diǎn)所在大圓的劣弧。

一、認(rèn)識(shí)大圓

過球面上兩點(diǎn)的大圓就是經(jīng)過這兩點(diǎn)以地心為圓心的圓。在地球上有三種情況大圓是確定的，如圖1中的赤道、經(jīng)線圈、晨昏圈。

在圖2中，很顯然，甲、乙、丙所在圓的圓心是地心，其所在的圓就是大圓，其他的圓都不是大圓。

二、確定劣弧

大圓上兩點(diǎn)間的最短航線或距離就是兩點(diǎn)所在大圓的劣弧。所謂劣弧，即兩點(diǎn)間的弧度小于180°。如圖3中的⌒AB和⌒CD都是過大圓的劣弧，而⌒EF雖然是劣弧，但不是大圓上的劣弧。圖4中甲和乙之間的弧線，只有最上面的弧是過大圓的劣弧。

三、確定地球上兩點(diǎn)間最短航線的方向

沿著劣弧的行進(jìn)方向就是最短航線的方向。

1.兩點(diǎn)在同一經(jīng)線圈上或者在赤道上

（1）兩點(diǎn)在同一經(jīng)線上，向正北或向正南走，不轉(zhuǎn)向。

如圖5， A到B是向正北走；反之，B到A是向正南走。

（2）兩點(diǎn)在兩條經(jīng)線上（經(jīng)度相對(duì)，兩點(diǎn)的經(jīng)度差等于180°），過極點(diǎn)要轉(zhuǎn)向。

如在通過北極點(diǎn)之前，先向正北走，過北極點(diǎn)后轉(zhuǎn)向正南；反之，在通過南極點(diǎn)之前，先向正南走，過南極點(diǎn)后轉(zhuǎn)向正北。如圖6，從A到B先向正北走，過北極點(diǎn)后向正南走；從B到A是先向正北走，過北極點(diǎn)后向正南走。

（3）兩點(diǎn)在赤道上，向正東走或向正西走，不轉(zhuǎn)向。

如圖7， A到B是向正東走；反之，B到A是向正西走。

2.兩點(diǎn)既不在同一經(jīng)線上，也不在赤道上

地球上任意兩點(diǎn)和地心必然確定一個(gè)大圓，一定存在一個(gè)緯線圈和這個(gè)大圓相切，切點(diǎn)即為這個(gè)大圓的緯度最高點(diǎn)，若大圓劣弧航線經(jīng)過切點(diǎn)，則發(fā)生轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)向點(diǎn)為切點(diǎn)；若大圓劣弧航線不經(jīng)過切點(diǎn)，則不發(fā)生轉(zhuǎn)向。如圖8中的點(diǎn)R和Z就是大圓與緯線圈的切點(diǎn)。由P到Q，中途經(jīng)過切點(diǎn)R，所以方向?yàn)椋合认蛭鞅?，然后轉(zhuǎn)向西南；X到H、X到P、H到P，不經(jīng)過切點(diǎn)R，所以中途不改變方向，都是西北方向。

在實(shí)際中，出題者往往不會(huì)給出學(xué)生熟知的地球大圓，如經(jīng)線圈、赤道、晨昏圈等，學(xué)生也很難找出或畫出航線所在的地球大圓，下面介紹一種新的解題方法──極點(diǎn)垂弦法。

無論在立體圖、側(cè)視圖還是俯視圖上，求地球表面上兩點(diǎn)間最短距離的做法是：連接兩點(diǎn)，使其成為地球大圓上的一條弦，從最近的一個(gè)極點(diǎn)向弦作垂線，若垂足不在此弦上，則中途不改變方向；若垂足在此弦上，則中途改變方向。

例1.在圖9中，若一架飛機(jī)從A地飛往B地，沿最近路線飛行的方向是。

解析：連接AB，自極點(diǎn)S作弦AB的垂線，垂足為H點(diǎn)，AH段，飛機(jī)向西南方向飛，向南極點(diǎn)靠近，在H點(diǎn)離南極點(diǎn)最近；HB段，遠(yuǎn)離了南極點(diǎn)，向西北飛。故從A地飛往B地先西南后西北，中途轉(zhuǎn)變了方向。

例2.在圖9中，若一架飛機(jī)從C地飛往B地，沿最近路線飛行的方向是。

解析：連接CB，自極點(diǎn)S向弦BC作垂線，垂足H不在線段BC上，而在BC的延長(zhǎng)線上，所以中途不改變方向。 從C地飛往B地，最近航線的飛行方向是一直向西北飛。

當(dāng)然，遇到具體的題目時(shí)，要運(yùn)用知識(shí)靈活解決。