《一元二次方程》教學(xué)實錄與評析

鄧偉光 沈惠娟

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

（一）問題情境1

為了響應(yīng)建設(shè)“美麗南寧、美麗校園”的號召，學(xué)校決定修建一個花圃，數(shù)學(xué)活動小組來到操場進行實地測量。教師用微視頻展示數(shù)學(xué)活動小組提出的問題：在一塊長30米、寬20米的矩形草地上，沿著長邊修一條路，剩余的種花。如果種花的面積達到450平方米，那么這條路應(yīng)該修多寬呢？

師：這個問題用方程怎么解決？

生：假設(shè)所修的路寬為x米，根據(jù)題意找等量關(guān)系列出方程30（20-x）=450.

師：用方程解實際問題的一般步驟是什么？

生：審、設(shè)、列、解、驗、答。

師：同學(xué)們列出的這個方程是我們學(xué)過的方程嗎？這樣的方程有什么特征？

生：是一元一次方程，只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)最高次數(shù)是1的整式方程。

【評析】教師運用微視頻展示學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)問題，顯得特別親切自然。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程及相關(guān)概念，執(zhí)教老師設(shè)置問題1的目的是為了復(fù)習(xí)鞏固一元一次方程，為本課新知的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（二）問題情境2

問題1變式

微視頻出示問題：在一塊長30米、寬20米的矩形草地上，沿著長邊和短邊各修一條路，路寬相等，剩余的種花。如果種花的面積為450平方米，這條路應(yīng)該修多寬呢？

學(xué)生獨立思考列出方程。

師：哪位同學(xué)說一說你得到怎樣的方程？你是如何得到這樣的方程？

生1：假設(shè)所修的路寬為x米，因為剩余面積是矩形面積，所以利用矩形的面積公式就可以得出方程（30-x）（20-x）=450。

師：還有哪位同學(xué)有不同的方法嗎？

生2：種花的矩形面積也可以等于原矩形的面積減去兩條路的面積，如600-（30-x）x-20x=450.

（兩位學(xué)生補充得到的方程為：600-30x-（20-x）x=450或450+30x+20x-x2=600）

師：同學(xué)們觀察圖形很仔細，能從不同角度入手得出方程，一題多解，發(fā)散思維，表現(xiàn)不錯！學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就需要這種鉆研精神。

【評析】教師的適時鼓勵增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，促使他們積極主動地參與到教學(xué)活動中。

師：同學(xué)們根據(jù)等量關(guān)系，直接或間接地列出不同的方程，那么大家能將方程化簡嗎？

生：化簡后的方程是x2-50x+150=0.

師：這是我們學(xué)過的方程嗎？這個方程與一元一次方程最顯著的區(qū)別在哪里？

生：不是，因為字母的最高次項的次數(shù)為2次。

師：為什么會產(chǎn)生二次項？

生：因為有兩個一次項相乘。

【評析】通過圖形的變化，由一元一次方程解決相關(guān)的實際問題到引導(dǎo)學(xué)生得出新的一元二次方程，學(xué)生體會到未知數(shù)相乘導(dǎo)致方程的次數(shù)升高，繼而產(chǎn)生一元二次方程。教師巧妙的設(shè)計，讓學(xué)生初步感知方程中二次項的出現(xiàn)。

二、拓寬情境，形成概念

（一）生活中的數(shù)學(xué)問題1

在設(shè)計人體雕像時（見右圖），使雕像的上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感。按此比例，如果雕像高2米，那么它的下部應(yīng)設(shè)計為多高？

學(xué)生獨立思考，找出題目中的等量關(guān)系，建立方程。

師：該題目的等量關(guān)系是什么？

生：上部∶下部=下部∶全部。

教師引導(dǎo)學(xué)生將比例式變形為等積式，即（下部）2=

上部×全部。

生：設(shè)下部長為x米，則x2=2（x-2）.

教師引導(dǎo)學(xué)生將方程化簡為：x2-2x+4=0.

【評析】教師再次展示生活中的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生體會一元二次方程應(yīng)用的廣泛性，同時達到形成概念的目的。

（二）生活中的數(shù)學(xué)問題2

學(xué)校要組織一次籃球比賽，采用單循環(huán)比賽形式（每兩隊都要比賽一場），根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個球隊參賽？

學(xué)生獨立思考，遇到困難與同桌進行討論，最后學(xué)生代表分析并展示結(jié)果。

師：哪個同學(xué)樂意同大家分享你的成果？

生：比賽共計打4×7=28場。設(shè)有x個球隊參賽，因為每個球隊要與（x-1）個球隊比賽一場，所以全部比賽場次是x（x-1），即x（x-1）=28.

師：這位同學(xué)答題積極主動，值得表揚！不過，請你再仔細讀題，題目中的賽制是怎樣規(guī)定的？

生：是單循環(huán)比賽。

師：既然是單循環(huán)比賽，那么就意味著每兩隊只要比賽一場即可。請你再認真思考，你所列的方程哪里需要修改呢？

生：（恍然大悟）還要乘以，所列方程應(yīng)該是x（x-1）=28.

師：真不錯，反應(yīng)很快！我們在審題時一定要注意關(guān)鍵字詞，避免出現(xiàn)錯誤。

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將問題的解題思路進行準確的闡述，最后方程化簡為：x2-x-56=0.

【評析】學(xué)生在解題過程中經(jīng)常會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的錯誤，適時引導(dǎo)、訂正，變“廢”為“寶”，讓學(xué)生在糾錯中提升反思能力。

師：請同學(xué)們觀察前面列出的三個方程x2-50x+150=0、x2-2x+4=0、x2-x-56=0，看看它們有什么共同特征？

生：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

師：這類方程和我們學(xué)過的哪種方程類似？

生：一元一次方程。

師：這類方程與一元一次方程有什么區(qū)別呢？

生：未知數(shù)最高次數(shù)不同，這類方程未知數(shù)最高次數(shù)是2次。

師：你能類比一元一次方程，給這類方程取個名字嗎？

生：一元二次方程。

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得出：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的方程叫做一元二次方程。

【評析】這樣的設(shè)計讓學(xué)生更深入地了解一元二次方程模型存在的實際背景及必要性。在解決問題的難點在于數(shù)量關(guān)系的建立。在出示題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過分析找出題目中的已知量、未知量，通過確定等量關(guān)系突破學(xué)習(xí)難點。每一個方程出現(xiàn)后，學(xué)生通過化簡并關(guān)注方程有幾個未知數(shù)和最高次數(shù)，類比一元一次方程，形成一元二次方程的概念，提高了分析問題和解決問題的能力。

三、合作探索，明確概念

（一）明確一元二次方程概念本質(zhì)

師：下列方程中，哪些是關(guān)于x的一元二次方程？

①-5x2=0 ②x2-x=x ③2x2-=1

④3x3-x=0 ⑤x2+xy-3=0

生：①②是一元二次方程。

師：判斷一個方程是一元二次方程的依據(jù)是什么？

生：一元二次方程定義中的三個條件缺一不可。

【評析】教師從正反兩個方面強化對概念的理解，幫助學(xué)生將已有的方程梳理成比較清晰的知識體系，有利于學(xué)生明確一元二次方程定義中的三個條件：一是整式方程；二是含有一個未知數(shù)；三是未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且三個條件缺一不可。

（二）明確一元二次方程的符號表達

1.符號表達

師：前面我們學(xué)習(xí)了一元一次方程，你還記得它的符號表示嗎？

生：ax+b=0（a≠0）.

師：你能類比一元一次方程寫出一元二次方程的符號表示嗎？

生：ax2+bx+c=0.

師：還有誰要補充嗎？

生：a≠0.

師：為什么a≠0.

生：若a=0，方程就變?yōu)閎x+c=0（b≠0），這是一元一次方程。

師：那么b、c取值呢？

生：任意實數(shù)。

師生共同歸納得出：把ax2+bx+c=0（a≠0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。

【評析】教師通過一元一次方程的一般形式引導(dǎo)學(xué)生類比得出一元二次方程的一般形式、項和系數(shù)，有助于學(xué)生理解和掌握一元二次方程的符號表達。

2.例題講解

教師引導(dǎo)學(xué)生將方程3x（x-1）=5（x+2）化成一般式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

生：一般形式為3x2-8x-10=0，其中二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是-8，常數(shù)項是-10.

師：在將方程化為一般形式的過程中，你有什么體會要和同學(xué)們分享？

生：像這樣帶有括號的比較復(fù)雜的方程，在化簡過程中要注意移項、去括號等問題。

教師板演過程，規(guī)范格式。

【評析】學(xué)生的學(xué)習(xí)過程也是一個模仿和再創(chuàng)造的過程，教師將答題的詳細步驟正確地示范給學(xué)生，這比口頭說教要有效得多。學(xué)生在這個過程中，學(xué)會了把一個一元二次方程化為一般形式，還會正確地判斷一元二次方程的項與系數(shù)。

3.鞏固練習(xí)

將下列方程寫成一般式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

①5x2-1=4x ②4x2=81 ③（x-1）（x-2）=2

【評析】題①是一般的一元二次方程，題②的一次項系數(shù)為0，題③的常數(shù)項為0。后兩題均為特殊的方程。教師這樣設(shè)置，有利于學(xué)生及時鞏固二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，明晰一般式中a≠0，b、c為任意實數(shù)，讓學(xué)生的理解更為深刻。

（三）明確方程的解

師：本課的前面教學(xué)環(huán)節(jié)，我們通過探尋實際問題中的等量關(guān)系列方程，得出了三個方程，且三個方程均為一元二次方程；繼而我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義和一般形式。關(guān)于一元二次方程，你還想學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？

生：還想學(xué)習(xí)方程的解以及如何求解方程。

師：什么是方程的解？什么是一元一次方程的解？請同學(xué)們類比說一說，什么是一元二次方程的解？

生：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解。

師：一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根。

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得出：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。

師：判斷下列哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.

生：-4和3是方程的根，將這兩個數(shù)字分別帶入方程，方程左右兩邊均相等。

【評析】教師引導(dǎo)學(xué)生自主探索，多種途徑尋求方程的解，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生進行歸納總結(jié)。

四、歸納總結(jié)，反思提升

引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法、心得體會等方面對本課學(xué)習(xí)進行總結(jié)。

（一）將實際問題用設(shè)未知數(shù)列方程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體會知識來源于實際以及轉(zhuǎn)化的思想方法。

（二）一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項，一元二次方程根的概念，歸納所學(xué)過的整式方程。

（三）一元二次方程的意義與一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的區(qū)別和聯(lián)系，強調(diào)“a≠0”這個條件有長遠的重要意義。

【評析】這樣的小結(jié)，是對“學(xué)”的總結(jié)，“思”的深化，“法”的提升，可幫助學(xué)生有效地建構(gòu)知識，提高總結(jié)和反思能力，進而促進學(xué)生的自主發(fā)展。

五、布置作業(yè)，分層落實

（一）必做題。教材P4，習(xí)題1、2、4、5、6.

（二）選做題。求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程。

（三）思考題：如右圖所示，在一塊長22米、寬17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，草坪面積為300平方米。若設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意可列出方程為 .

【評析】分層作業(yè)的設(shè)置，體現(xiàn)了作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學(xué)生的個體差異，滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需要。選做題為概念變式應(yīng)用題，目的是拓展學(xué)生的思維；思考題的設(shè)置，則為下節(jié)課的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。

【總評】

本節(jié)課是研究一元二次方程的教學(xué)導(dǎo)入課，授課教師在認真研讀課標、深入分析教材、了解學(xué)情后，精心處理教材，對本課的教學(xué)內(nèi)容、目標設(shè)置、問題診斷、教法學(xué)法等分析到位，設(shè)置的教學(xué)目標全面、具體、適宜，充分考慮到了學(xué)生的認知水平。鄧老師的課堂教學(xué)能力強，思路清晰，引導(dǎo)到位；學(xué)生積極主動，全員參與，能力獲得了提高，真正體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)地位。筆者認為，本節(jié)課是一節(jié)成功的課，其教學(xué)亮點主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

第一，情境設(shè)計新穎，真正做到了有備而議。學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前，經(jīng)歷了一元一次方程的學(xué)習(xí)，為“通過類比方法探究一元二次方程的概念”奠定了認知基礎(chǔ)。由此，鄧老師將本班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組提出的問題制作成微視頻，既復(fù)習(xí)鞏固了一元一次方程的概念，又引導(dǎo)學(xué)生得出新方程，通過比較兩個方程，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，進而順利地進入新課的學(xué)習(xí)。

第二，利用豐富的實例，幫助學(xué)生完成定義的歸納。概念的教學(xué)需要從大量的實例出發(fā)，通過實例幫助學(xué)生完成定義的歸納，而不是教定義。執(zhí)教老師通過圖形問題、球賽問題，以啟發(fā)式、類比法指導(dǎo)學(xué)生通過自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)過程，教會學(xué)生善于觀察、分析討論、類比歸納，從具體的問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)方程，從而突破學(xué)習(xí)難點。同時，在各個教學(xué)環(huán)節(jié)安排方面，執(zhí)教老師設(shè)置問題層層遞進，分析到位，化難為易，使學(xué)生很好地理解了一元二次方程概念本質(zhì)、符號表達，還特別注重數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的滲透，強調(diào)建模思想、類比思想和符號感，對問題的闡述準確，教學(xué)語言嚴謹、流暢，板書設(shè)計合理，同時也關(guān)注學(xué)生在解題過程中的情緒與狀態(tài)，課堂氛圍和諧，讓不同的學(xué)生都有所收獲，得到了不同的發(fā)展，很好地完成了本課的教學(xué)任務(wù)。

第三，構(gòu)建完整的知識體系。本節(jié)課為本章的起始課，因此，執(zhí)教老師結(jié)合本章引言，讓學(xué)生對本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容、方法和結(jié)構(gòu)都有一種預(yù)見性的認識，有利于學(xué)生在此前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上再次深化理解方程類問題的模型，實際問題（建模）→方程（解模）實際問題的數(shù)學(xué)探究過程，由此也說明了教師對教材內(nèi)容、課程思想有著深刻而充分地理解。

此外，筆者認為本課也還有一些需要改進的地方，比如：教師在課中應(yīng)當更注重細節(jié)，注重學(xué)生反思能力的培養(yǎng)，學(xué)生在答題中出現(xiàn)的問題，應(yīng)盡可能地讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)并糾正；教學(xué)第二環(huán)節(jié)中的球賽問題，如果能夠進一步變式為學(xué)生間贈送卡片問題，那么問題情境會更有效。

（注：本課在第九屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示活動中榮獲一等獎。）

（責編 歐孔群）