混凝土壩瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析的快速邊界面法

何建平，張見明，李光耀，郭帥平（.湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙 40082；2.中國電建集團(tuán)中南勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖南長沙 4004）

?

混凝土壩瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析的快速邊界面法

何建平1，2，張見明1，李光耀1，郭帥平1
（1.湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙 410082；
2.中國電建集團(tuán)中南勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖南長沙 410014）

摘要：采用與快速算法相結(jié)合的邊界面法，對大壩澆筑過程中的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題進(jìn)行仿真分析，預(yù)測混凝土大壩施工過程中溫度的分布及隨時(shí)間的變化。采用時(shí)間卷積法計(jì)算時(shí)間積分，通過Taylor級數(shù)展開將基本解中的空間變量和時(shí)間變量分離，一次性計(jì)算并存儲空間變量的積分，提高了卷積積分的計(jì)算效率。算例仿真分析表明：邊界面法的計(jì)算溫度分布與有限元法計(jì)算結(jié)果高度吻合，將邊界面法應(yīng)用于真實(shí)大壩澆筑過程瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析是可行的。

關(guān)鍵詞：邊界面法；有限元法；時(shí)間卷積法；瞬態(tài)熱分析；混凝土壩

計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）對于推動產(chǎn)品研發(fā)和指導(dǎo)工程建設(shè)具有重要意義。計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展推動了CAE的發(fā)展。但CAE仍面臨許多難題[1]，比如如何對復(fù)雜幾何形體進(jìn)行離散才能進(jìn)行有效計(jì)算，如何處理大規(guī)模工程問題的數(shù)值計(jì)算。陸續(xù)涌現(xiàn)出的有限差分法（FDM）、有限體積法（FVM）、有限元法（FEM）和邊界元法[2]（BEM）都未能很好地解決這些問題。目前大多數(shù)CAE軟件采用的是有限元法。有限元法需對整個(gè)求解域進(jìn)行離散處理，其應(yīng)力計(jì)算精度較位移精度低。

相比有限元法，另一種有吸引力的數(shù)值方法是以邊界積分方程為基礎(chǔ)的邊界元法[3]，該法不僅可以減輕有限元法的網(wǎng)格離散困難，還具有高精度和便于處理無限域問題、邊界及界面問題、奇異性問題等突出優(yōu)點(diǎn)，因此在工程數(shù)值分析領(lǐng)域被公認(rèn)是有限元法的一個(gè)重要補(bǔ)充。近年來一些關(guān)鍵技術(shù)的突破使邊界元法又發(fā)生了革命性的變化：①稠密矩陣稀疏化技術(shù)，包括快速多極算法[4]、分級矩陣和小波算法（其中快速多極算法是20世紀(jì)十大算法之一），可以將邊界元滿陣方程的求解復(fù)雜度降為線性，從而使得邊界元法在解題規(guī)模上優(yōu)于有限元法；②對偶互易法、徑向積分法[5]和奇異邊界法[6]的提出大大擴(kuò)展了邊界元法的應(yīng)用范圍，使得邊界元法不僅能夠求解基本解存在的線彈性問題，還可以求解非均質(zhì)問題、非線性問題和時(shí)域問題；③奇異積分[7-8]、近奇異積分處理技術(shù)的發(fā)展[9]，使得邊界元法可以基于三維理論求解超薄型結(jié)構(gòu)。然而，在傳統(tǒng)的邊界元法中，三維CAD幾何模型被離散成邊界元分析模型后，CAD模型的原始幾何信息基本被丟掉，導(dǎo)致設(shè)計(jì)和分析變成了兩個(gè)相互獨(dú)立的過程。由于CAD模型和分析模型的分離，在邊界元自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)分過程中，需要反復(fù)地與CAD系統(tǒng)進(jìn)行交互，而每個(gè)交互過程都是很煩瑣的。

為了克服上述缺點(diǎn)，張見明等[10]在邊界元法和邊界點(diǎn)法[11]的基礎(chǔ)上提出了邊界面法（BFM）。在邊界面法中，對邊界的數(shù)值積分和場變量的插值都在邊界曲面的二維參數(shù)空間中進(jìn)行，CAE分析直接在CAD模型上進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的CAE分析自動化。由于CAE模型與CAD幾何模型融為一體，不管網(wǎng)格離散有多么粗糙，分析模型在幾何上都是精確的，并且在自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)分過程中，不再需要與CAD系統(tǒng)反復(fù)地進(jìn)行交互，使自適應(yīng)分析變得簡單。目前邊界面法已經(jīng)取得了許多研究成果，如參數(shù)曲面內(nèi)的網(wǎng)格自動生成算法[12]、多域穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析[13]、彈性靜力分析、溫度應(yīng)力分析、聲場分析[14]以及近奇異積分計(jì)算[9]。張見明等[15]通過快速多級子算法、自適應(yīng)交叉擬合（ACA）和分級矩陣（H-matrix）技術(shù)，成功地將計(jì)算量級從O（N2）降至O（NlgN），并且基于GPU高性能并行計(jì)算，在CUDA編程環(huán)境中實(shí)現(xiàn)了邊界面法正則積分的并行加速，使邊界面法的大規(guī)模工程應(yīng)用成為可能。

混凝土大壩施工過程的溫度控制對于防止大壩混凝土開裂進(jìn)而保證大壩安全運(yùn)行具有重要意義。溫度控制的目的是保證基礎(chǔ)溫差、上下層溫差、內(nèi)外溫差在許可范圍內(nèi)，以保證溫度應(yīng)力在可控范圍內(nèi)，對大壩施工期及運(yùn)行期瞬時(shí)溫度場的預(yù)測是溫度控制的關(guān)鍵。筆者運(yùn)用邊界面法對大壩逐層澆筑施工期及運(yùn)行期的瞬態(tài)溫度進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)合自適應(yīng)交叉擬合算法和基本解時(shí)間積分與空間積分分離方法解決瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題中存在的計(jì)算時(shí)間長、需要存儲空間大等問題，對大壩自然冷卻過程中經(jīng)典瞬態(tài)熱傳導(dǎo)過程[16]及真實(shí)大壩冷卻過程進(jìn)行仿真，以驗(yàn)證邊界面法計(jì)算大壩瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題的有效性。

1 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題的時(shí)域卷積法

1. 1 邊界積分方程

大壩澆筑及其溫度場演變過程是一個(gè)包含水化熱生成的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)過程，壩體幾何形狀、內(nèi)部溫度、熱流密度隨時(shí)間而變化。瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題的數(shù)學(xué)模型為

式中：Ω為目標(biāo)結(jié)構(gòu)所占區(qū)域，其邊界Γ＝Su∪Sq∪SR；Su、Sq、SR分別為已知溫度、熱流密度、對流關(guān)系的邊界；n為外法向量；u、q分別為溫度和熱流密度；-u、-q為溫度和熱流密度的邊界已知量；.u為溫度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；Q為熱源密度函數(shù)；ua為對流表面流體的平均溫度；k、ρ、c分別為材料的傳熱系數(shù)、密度、比熱容；β為對流系數(shù)。

瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題的基本解[17]為其滿足式中：u*為位移基本解；K為導(dǎo)溫系數(shù)；q*為位移基本解的法向?qū)?shù)；y、x分別為源點(diǎn)和場點(diǎn)；t、τ分別為時(shí)間變量和待分析時(shí)刻；r為源點(diǎn)和場點(diǎn)間的距離函數(shù)；δ為狄利克雷函數(shù)。運(yùn)用式（2）中的基本解可得到式（1）的等效積分形式[17]：式中θ為y點(diǎn)處的立體角。式（4）中的邊界積分方程為實(shí)現(xiàn)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)數(shù)值仿真的基礎(chǔ)。為簡單起見，暫不考慮熱源及初始條件，亦即假設(shè)結(jié)構(gòu)內(nèi)部無熱源并且結(jié)構(gòu)的初始溫度為零。實(shí)際上，當(dāng)熱源密度分布、初始溫度分布滿足Laplace方程時(shí)，式（4）中相應(yīng)的體積分項(xiàng)可以通過互易原理轉(zhuǎn)化為邊界積分。邊界積分方程可表示為

1. 2 時(shí)域卷積法

運(yùn)用邊界面法分析瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題時(shí)，時(shí)域方法計(jì)算時(shí)間積分的方案有擬初始條件方法和時(shí)間卷積法。擬初始條件法的基本原理是每一個(gè)時(shí)間步的計(jì)算結(jié)果都作為下一步計(jì)算的初始條件，因此需要計(jì)算對初始條件的體積分；時(shí)間卷積法的基本原理是每一步的計(jì)算都需要用到初始時(shí)刻到當(dāng)前時(shí)間步之間所有時(shí)間步的邊界溫度及熱流密度。采用時(shí)間卷積法，結(jié)合邊界面法離散技術(shù)，將方程（5）最終轉(zhuǎn)化為線性方程組進(jìn)行求解。

將時(shí)間區(qū)間[0，τ]均勻分成M個(gè)長度為Δt的時(shí)間步，在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)假設(shè)溫度和熱流密度不隨時(shí)間改變，于是式（5）通過時(shí)間離散為

使用邊界面法將上述邊界積分方程進(jìn)行空間離散，具體過程可以參見穩(wěn)態(tài)熱問題的離散過程[13]，以下只列出離散之后的邊界積分方程：

方程（10）組織成矩陣形式為式中：N為單元形函數(shù)；下標(biāo)i、j分別為域邊界號和單元號。

式（11）在考慮邊界條件后重新組織可以得到式中XM為tM時(shí)邊界上的未知量。

1. 3 基本解的展開

在式（16）右端積分的計(jì)算中，對于每一個(gè)M，前面時(shí)間步對應(yīng)的矩陣HmM、GmM都需要進(jìn)行更新，并且分別與節(jié)點(diǎn)溫度向量、節(jié)點(diǎn)熱流密度向量相乘。當(dāng)邊界條件類型以及時(shí)間步長都未發(fā)生改變時(shí)，矩陣A是不變的，因此A只需要分解求逆一次，便可存儲起來供后續(xù)時(shí)間步計(jì)算使用。但是H1M、G1M在每一個(gè)時(shí)間步計(jì)算時(shí)都需要計(jì)算并存儲，計(jì)算第M個(gè)時(shí)間步時(shí)就得計(jì)算并存儲2M個(gè)矩陣。特別當(dāng)時(shí)間步長發(fā)生改變時(shí)，所有卷積矩陣都得重新計(jì)算，這種計(jì)算非常耗時(shí)，缺乏應(yīng)用的可行性。

研究發(fā)現(xiàn)，這種情況的根源在于基本解中時(shí)間變量和空間變量相互摻和在一起，雖然空間變量一直沒發(fā)生變化，但隨著時(shí)間的更新，矩陣必須不斷更新，每更新一次就得計(jì)算一次邊界積分。針對此問題的解決方法是將基本解通過Taylor級數(shù)展開，將時(shí)間變量從基本解中分離出來，然后取展開后無窮級數(shù)中的有限項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算。因此，空間變量的積分可以一次性計(jì)算并存儲，卷積矩陣可以通過這些存儲的矩陣計(jì)算出來，而不需要在每一個(gè)時(shí)間步中反復(fù)計(jì)算邊界積分，從而節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間。

式中的誤差函數(shù)有如下展開形式：將式（20）代入式（19）可得

式中pn（r）為與時(shí)間無關(guān)的量。對式（21）中的無窮級數(shù)截?cái)嗳∮邢揄?xiàng)，在計(jì)算邊界積分時(shí)，首先將有限個(gè)pn（r）對應(yīng)的影響矩陣Pn計(jì)算并存儲，在后續(xù)計(jì)算中可直接使用。對式（12）中卷積項(xiàng)通過基本解展開可表示為為了將時(shí)間變量和空間變量分離，簡記式中NT為截?cái)囗?xiàng)數(shù)。H（n）ij僅與空間有關(guān)，可在分析之前一次性計(jì)算并存儲，在每個(gè)時(shí)間步的卷積矩陣計(jì)算中可直接使用，不需重復(fù)計(jì)算，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。

（24）

2 算 例

2. 1 大壩的自然冷卻

圖1 幾何模型

以如圖1所示大壩模型為例分析其自然冷卻過程。模型的上部為混凝土壩體，下部為基底。假定混凝土內(nèi)部初始溫度為20℃，基底初溫為與外界氣溫均為0℃，模型周邊施加固定溫度邊界條件，其值也為0℃，基底和壩體內(nèi)均無熱源。研究在自然冷卻條件下，域內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化過程。在使用有限元法對本文中的算例仿真時(shí)，均將其簡化為二維模型，而在采用邊界面法仿真時(shí)，仍然將其作為三維問題進(jìn)行計(jì)算。

圖2至圖4為部分時(shí)間點(diǎn)（1 a，5 a，8 a）對相應(yīng)的溫度分布云圖?？梢钥闯?，通過邊界面法和有限元計(jì)算得到的溫度云圖高度吻合。表1列出了兩種方法在截取的部分時(shí)間點(diǎn)的溫度最大值與最小值，數(shù)值基本吻合。

圖2 1 a后壩體上溫度分布（單位：℃）

圖3 5 a后壩體上溫度分布（單位：℃）

圖4 8 a后壩體上溫度分布（單位：℃）

表1 有限元與邊界面法自然冷卻溫度計(jì)算結(jié)果

本算例證明邊界面法在瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析中具備很高的分析精度，具備在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的可行性。

2. 2 多域問題的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)

以文獻(xiàn)[16]中的經(jīng)典算例進(jìn)行比較計(jì)算，計(jì)算模型為巖基上16層混凝土澆筑塊，幾何模型如圖5（a）所示。澆筑塊長25m，厚1m。材料熱導(dǎo)率為2. 78 W/（m·K），表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為16. 67 W/（m2· K），混凝土初溫和氣溫均為0℃，層間間歇10 d，混凝土的絕熱溫升θ（τ）＝25. 0τ/（4. 50＋τ），其中θ為熱生成率，τ為齡期。基巖的絕熱溫升θ（τ）＝0。邊界面法網(wǎng)格模型如圖5（b）所示，邊界條件包括三類，如圖6所示。

圖5 16層澆筑塊模型

圖6 邊界條件示意圖

按照如前所述的熱源和邊界條件進(jìn)行16層澆筑塊的瞬態(tài)熱分析，并將計(jì)算結(jié)果和有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。為了得到精確的對比數(shù)據(jù)，截取如圖5中所示的A-A截面上的溫度值繪成溫度曲線如圖7所示。邊界面法在分析多域瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]中有限元計(jì)算結(jié)果吻合較好，證明邊界面法用于多域瞬態(tài)熱分析計(jì)算是可行的。

翠山公園在斜坡及陡坎下部出露地層為Q3-4apl砂卵礫石，灰白-青灰色，母巖以花崗巖、凝灰?guī)r、長石石英為主，磨圓度中等，分選性差，含極少量砂質(zhì)，采樣分析其d10均大于0.1 mm。斜坡上部覆蓋Q3-4apl黃土狀粉土，分選性好，垂直節(jié)理發(fā)育，根據(jù)現(xiàn)場采樣分析其d60在0.02～0.04 mm。上下層間巖性差異使得其滲透系數(shù)存在較大差異，同時(shí)上部粉土層垂向節(jié)理的發(fā)育，使得粉土層地表水下滲主要以捷徑式滲透為主。地表水捷徑式下滲是翠山南部地表坑穴形成的原因之一。

2. 3 真實(shí)大壩的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)

某大壩逐層澆筑過程的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題模型如圖8所示，上部為混凝土壩體，下部為基底。分析中考慮壩體逐層澆筑過程以及澆筑后的熱傳導(dǎo)狀態(tài)，時(shí)間跨度為9 a，共1260個(gè)時(shí)間步，材料的導(dǎo)熱系數(shù)為2. 78 W/（m·K），熱擴(kuò)散率為1. 11×10-6m2/ s，環(huán)境溫度為0℃，絕熱溫升

圖9為在壩體澆筑過程中的4個(gè)時(shí)刻（100 h、400 h、38 d、9 a）的瞬時(shí)溫度分析結(jié)果。該算例壩體溫度隨澆筑過程變化的動態(tài)圖在“完整實(shí)體工程分析軟件中心”（http：/ / www. 5acae. com/）有具體呈現(xiàn)。對比表明邊界面法可對逐層澆筑的大壩進(jìn)行實(shí)時(shí)熱傳導(dǎo)分析，可用于混凝土大壩實(shí)際工況瞬態(tài)溫度仿真。

圖7 16層澆筑塊溫度分布對比

圖8 某大壩模型（單位：m）

圖9 大壩澆筑不同時(shí)刻的溫度分布（單位：℃）

3 結(jié) 語

應(yīng)用邊界面法對大壩混凝土的澆筑過程進(jìn)行瞬態(tài)溫度場計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了BFM與CAD的無縫連接，所有材料特性、邊界條件、初始狀態(tài)、熱源，甚至網(wǎng)格自動劃分等完全內(nèi)置于CAD環(huán)境里，實(shí)現(xiàn)了大壩瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析的自動化。在邊界面法中，由于CAE模型與CAD模型的一體化，避免了分析模型的幾何誤差，從而可以有效提高數(shù)值計(jì)算的精度。在運(yùn)用時(shí)間卷積法計(jì)算積分時(shí)，將基本解按Taylor級數(shù)展開，

分離時(shí)間變量與空間變量，并將空間變量的積分進(jìn)行一次性計(jì)算并存儲，大大減少了計(jì)算量。通過對大壩熱傳導(dǎo)問題中經(jīng)典算例的分析，并將分析結(jié)果與FEM結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了該方法結(jié)果的可信性，且自動化的分析環(huán)境顯著減少了計(jì)算時(shí)間和人的勞動量，表明該方法在大型工程應(yīng)用上具有可行性。

參考文獻(xiàn)：

[ 1 ] ZHANG Jianming，TANAKA M，ENDO M. The hybrid boundary node method accelerated by fast multipole method for 3D potential problems [ J ]. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2005，63：660-680.

[ 3 ] ZHANG Jianming，YAO Zhenhan，LI Hong. A hybrid boundary node method [ J ]. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2002，53：751-763.

[ 4 ] LIU Yijun，CHEN Shaohai. A new form of the hypersingular boundary integral equation for 3-D acoustics and its implementation with C0boundary element [ J ]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1999，173：375-386.

[ 5 ] GAO Xiaowei. The radial integration method for evaluation of domain integrals [ J ]. Engineering Analysis with Boundary Elements，2002，26：905-916.

[ 6 ] CHEN Wen，WANG Fuzhang. A method of fundamental solutions without fictitious boundary [ J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，2010，34（5）：530-532. [ 7 ] GUIGGIANI M，GIGANTE N. A general algorithm for the numerical solution of hypersingular boundary integral equations[J]. Journal of Applied Mechanics，1992，59：604-614.

[ 8 ] GAO Xiaowei. An effective method for numerical evaluation of general 2D and 3D high order singular boundary integrals [ J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2010，199：2856-2864.

[ 9 ] XIE Guizhong，ZHANG Jianming，QIN Xianyun，et al. New variable transformations for evaluating nearly singular integrals in 2D boundary element method[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，2011，35：811-817.

[10] ZHANG Jianming，QIN Xianyun，HAN Xu，et al. A boundary face method for potential problems in three dimensions [ J ]. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2009，80：320-337.

[11]宋敏，覃先云，張見明，等.快速雜交邊界點(diǎn)法在水壩熱傳導(dǎo)分析中的應(yīng)用[J].水利水電科技進(jìn)展，2010，30 （1）：27-29.（SONG Min，QIN Xianyun，ZHANG Jianming，et al. Application of fast hybrid boundary node method to heat conduction in concrete dams [ J ]. Advances in Science and Technology of Water Resources，2010，30（1）：27-29.（in Chinese））

[12] QIN Xianyun，ZHANG Jianming，LI Guanyao，et al. A finite element implementation of the boundary face method for potential problems in three dimensions [ J ]. Engineering Analysis with Boundary Elements，2010，34：934-943.

[13]張見明，李湘賀，陸陳俊，等.多域邊界面法在穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，41（5）：58-64.（ZHANG Jianming，LI Xianghe，LU Chenjun，et al. Application of multi-domain boundary face method in steady state heat conduction [ J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2014，41（5）：58-64.（in Chinese））

[14] WANG Xianhui，LU Chenjun，ZHOU Fengling，et al. Acoustic problems analysis of 3D solid with small holes by fast multipole boundary face method [ J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，2013，37：1703-1711.

[15]張見明，余列祥，劉路平.基于GPU加速的邊界面法正則積分的研究[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，40（3）：41-45.（ZHANG Jianming，YU Liexiang，LIU Luping. Research on regular integration in boundary face method based on GPU-acceleration [J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2013，40（3）：41-45.（in Chinese））

[16]朱伯芳.大體積混凝土溫度應(yīng)力與溫度控制[M].北京：中國電力出版社，1998.

[17] BREBBIA C A，TELLES J C F，WROBEL L C. Boundary element techniques：theory and applications in engineering [M]. Berlin：Springer，1984.

Fast boundary face method for transient heat conduction analysis of concrete dams/ /

HE Jianping1，2，ZHANG Jianming1，LI Guangyao1，GUO Shuaiping1（1. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 410082，China；2. Power China Zhongnan Engineering Corporation Limited，Changsha 410014，China）

Abstract：The boundary face method（BFM），combined with a fast algorithm，was applied to transient heat conduction analysis of concrete dams during the pouring process，so as to predict the temperature distribution and its time history in concrete dams during the construction process. Using the time convolution method to compute the time integration and the Taylor series expansion method to separate the spatial variables and time variables in fundamental solutions，the spatial variable integrals can be calculated and stored at the same time，improving the calculation efficiency of the convolution integral. A case study shows that the temperature distribution obtained by the fast BFM agrees with the results of the finite element method，demonstrating the feasibility of application of the fast BFM to transient heat conduction analysis during the actual dam construction process.

Key words：boundary face method；finite element method；time convolution method；transient heat conduction analysis；concrete dam

收稿日期：（2014 09 25 編輯：鄭孝宇）

作者簡介：何建平（1966—），男，高級工程師，博士，主要從事水電、機(jī)械計(jì)算機(jī)仿真研究。E-mail：jianping_he@163. com

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（11172098）；國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究項(xiàng)目（973計(jì)劃）（2010CB328005）

中圖分類號：O241；O414

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1006 7647（2016）01 0071 06