淺談向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)研究

蔣婭

【摘 要】向量?jī)?yōu)化問(wèn)題是向量?jī)?yōu)化理論與方法研究領(lǐng)域中十分重要的研究方向。該問(wèn)題除了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的有效應(yīng)用之外，在經(jīng)濟(jì)分析、生態(tài)規(guī)劃建設(shè)等諸多領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用，相比于向量在數(shù)學(xué)領(lǐng)域只是單一的數(shù)值上的解答，在其他領(lǐng)域的應(yīng)用中，向量?jī)?yōu)化問(wèn)題更趨向于一種均衡的關(guān)系，使得事物在均衡關(guān)系中得到有效的發(fā)展，從而實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益的最大化。本文以向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)研究為課題，對(duì)其研究意義進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。

【關(guān)鍵詞】向量；優(yōu)化問(wèn)題；解的性質(zhì)

向量?jī)?yōu)化理論的應(yīng)用研究是向量發(fā)展的一個(gè)重要方向，近年來(lái)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題已經(jīng)成為國(guó)際優(yōu)化領(lǐng)域的重點(diǎn)研究對(duì)象之一。這一問(wèn)題的研究因?yàn)樯婕暗蕉嚅T學(xué)科，所以在研究上有一定的復(fù)雜性和繁復(fù)性，此外它在經(jīng)營(yíng)管理、交通運(yùn)輸和生態(tài)保護(hù)等諸多領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用前景，由此可見(jiàn)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的重要性[2]。

1 向量?jī)?yōu)化問(wèn)題解的研究現(xiàn)狀及發(fā)展

1.1 向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)研究現(xiàn)狀

眾所周知，向量?jī)?yōu)化理論在經(jīng)濟(jì)管理、生態(tài)保護(hù)、交通運(yùn)輸以及集成電路的設(shè)計(jì)等諸多領(lǐng)域都有著深入的研究和發(fā)展，如今，向量?jī)?yōu)化問(wèn)題也成為國(guó)際研究領(lǐng)域的一個(gè)重點(diǎn)發(fā)展方向。近年來(lái)，研究人員通過(guò)對(duì)向量?jī)?yōu)化中解的性質(zhì)的研究得出，向量?jī)?yōu)化不僅對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著極大的幫助，而且對(duì)現(xiàn)實(shí)中的各行各業(yè)也有著非常深遠(yuǎn)的影響意義。向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的研究當(dāng)中需要借助于大量的數(shù)學(xué)工具，通過(guò)對(duì)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的深入研究，不僅能夠促進(jìn)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)研究與發(fā)展，還能推動(dòng)與數(shù)學(xué)相關(guān)的理論的發(fā)展，與此同時(shí)，這也極大的擴(kuò)展了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的應(yīng)用和實(shí)踐范圍，使其能夠在更廣泛的空間中得到有序的發(fā)展[3]。

正因?yàn)橄蛄績(jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)的相關(guān)研究具有豐富的理論和實(shí)踐性的研究意義，所以向量的優(yōu)化問(wèn)題在20世紀(jì)60年代就得到了人們的廣泛關(guān)注，并且大量學(xué)者在其研究上也投入了大量的時(shí)間和精力。正是因?yàn)闊o(wú)數(shù)研究人員在向量?jī)?yōu)化上的努力，使得向量?jī)?yōu)化問(wèn)題取得了一系列的研究成果。這些研究成果主要體現(xiàn)在向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中各類解的概念，包括近似解概念的研究、弱有效解概念的研究以及各種類型的真有效解的研究[4]。

1.2 向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)的發(fā)展

向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)的研究包含了很多豐富的內(nèi)容，關(guān)于向量的優(yōu)化已經(jīng)取得了很多的研究成果。結(jié)合以上對(duì)有效解、近似解性質(zhì)的研究可以看出向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的發(fā)展方向應(yīng)該是以其它領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)踐為主，例如向量在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的應(yīng)用是進(jìn)行一些圖片的處理，因?yàn)橄蛄康陌l(fā)展已經(jīng)日趨成熟，所以在圖片處理中會(huì)有一種專門的向量格式，這種情況下的圖片處理相比于以前會(huì)更加的便捷和快速。除了在計(jì)算機(jī)圖片上的應(yīng)用之外，向量還在物理學(xué)上有著非常廣泛的應(yīng)用，物理學(xué)的力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和向量都有著密不可分的關(guān)系，此外，在物理中位移、速度和電場(chǎng)的強(qiáng)度都是向量，將這些物理問(wèn)題用向量的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答，將會(huì)更加的簡(jiǎn)潔化和清晰化[1]。

2 向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的解及近似解的研究

2.1 向量?jī)?yōu)化的解

在向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的研究中，如何定義解的概念是研究過(guò)程中最基本的問(wèn)題，向量的優(yōu)化一開(kāi)始是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用，因此數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ο蛄康慕獾亩x多數(shù)都是數(shù)值上的有效計(jì)算，如向量的有效解和最優(yōu)解以及無(wú)效解都只是數(shù)值的簡(jiǎn)單計(jì)算，而在其他領(lǐng)域應(yīng)用向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的研究則需要考慮向量?jī)?yōu)化問(wèn)題目標(biāo)空間的“偏好”，這將是定義向量?jī)?yōu)化問(wèn)題解的概念的基礎(chǔ)。向量中的有效解的概念是在1986年由經(jīng)濟(jì)學(xué)家Pareto提出的，后來(lái)被人們稱之為Pareto有效解，這也是對(duì)Pareto在向量?jī)?yōu)化問(wèn)題上所作出的巨大貢獻(xiàn)的一種認(rèn)可。

Pareto有效解很好的闡述了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的最優(yōu)性，其在向量的研究領(lǐng)域和實(shí)際的應(yīng)用領(lǐng)域中都具有非常重要的意義，但這并不意味著Pareto有效解的概念已經(jīng)趨于完美，因此還需要對(duì)Pareto有效解概念中的缺陷進(jìn)行后期的彌補(bǔ)和完善。例如Pareto有效解的解集一般都比較大，不具有標(biāo)量化的性質(zhì)，不利于向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的計(jì)算解答。

2.2 向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中近似解的研究

在現(xiàn)實(shí)生活中，利用一般的數(shù)值算法通常只能得到向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的近似解的值，與此同時(shí)，向量的優(yōu)化問(wèn)題若不是在非緊的條件下弱有效解和真有效解可能是不存在的，由此可見(jiàn)，近似值的研究對(duì)于向量?jī)?yōu)化問(wèn)題起著非常重要的作用。近似解的研究概念正式提出是在1979年，Kutateladze在文獻(xiàn)中首次提出了數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題的ε-近似解。通過(guò)Kutateladze對(duì)近似解的研究，進(jìn)一步的建立了近似解的最優(yōu)性條件。這也便于向量?jī)?yōu)化的研究人員對(duì)各種有效解進(jìn)行更系統(tǒng)和更深入研究。

3 向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)研究

3.1 向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中近似解的性質(zhì)研究

向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中近似解的性質(zhì)是向量?jī)?yōu)化問(wèn)題研究領(lǐng)域的一個(gè)重要的研究環(huán)節(jié)。由于利用數(shù)值算法得到的一般都是近似解。自從1979年Kutateladze正式提出近似解的概念后，國(guó)際上很多學(xué)者對(duì)近似解都產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，并且對(duì)近似解的性質(zhì)和存在性進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)探究，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先向量的優(yōu)化問(wèn)題中衡量向量值的“大小”存在不完全偏序，這樣就導(dǎo)致向量中存在的問(wèn)題呈現(xiàn)了誤解的狀態(tài)。因此，向量?jī)?yōu)化問(wèn)題解的存在都是在假設(shè)的情況之下，特別是可行集在某種意義上的凸性。其次，在求解非線性優(yōu)化問(wèn)題上，都是采用迭代算法進(jìn)行計(jì)算，而利用這種方式也能進(jìn)一步的得到優(yōu)化問(wèn)題的“近似”最優(yōu)解。并且在實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題中，優(yōu)化問(wèn)題的近似解還能提升非線性問(wèn)題的理論發(fā)展，在實(shí)際的生活工作中近似解還能為決策者提供恰當(dāng)?shù)姆桨浮?/p>

3.2 向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中有效解的性質(zhì)研究

向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中關(guān)于有效解的性質(zhì)研究主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（1）在非緊性條件下弱有效解一般不存在，而近似于弱有效解的解在比較弱的條件下可能是存在的。

（2）有效解分為真有效解和弱有效解，然而在大多數(shù)的情況下都是對(duì)真有效解進(jìn)行研究。

（3）有效解的存在在向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用大多數(shù)是在有效解集得到限制刻畫(huà)后施行的。

以前的研究成果對(duì)于有效解的研究都是基于一些定義之上，再根據(jù)其定義的有效推算，探究有效解之間的關(guān)系和內(nèi)在性質(zhì)的研究。雖然中國(guó)對(duì)有效解的研究起步比較晚，但是在具體的應(yīng)用中有效解集的概念早在20世紀(jì)80年代就已經(jīng)出現(xiàn)，經(jīng)過(guò)這三十多年的研究，對(duì)于有效解性質(zhì)的研究已經(jīng)取得了大量的成果。

綜上所述，通過(guò)對(duì)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)的研究可以發(fā)現(xiàn)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，在經(jīng)營(yíng)管理、交通運(yùn)輸和生態(tài)保護(hù)等諸多領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用前景。因此，大量研究人員已經(jīng)將向量?jī)?yōu)化問(wèn)題作為一個(gè)重要的研究對(duì)象，對(duì)其解的性質(zhì)的存在性和應(yīng)用性進(jìn)行深入的研究和運(yùn)用。對(duì)向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解和近似解性質(zhì)、概念和存在性的研究是向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的主要研究成果，也正是通過(guò)這些成果使得向量?jī)?yōu)化問(wèn)題中解的性質(zhì)研究邁入了一個(gè)新的臺(tái)階，并且為向量?jī)?yōu)化問(wèn)題在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這樣也間接的促進(jìn)了國(guó)家經(jīng)濟(jì)效益、環(huán)境效益、社會(huì)效益的共同提升。

【參考文獻(xiàn)】

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