對向量法運(yùn)用中思維僵化現(xiàn)象的思考

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對向量法運(yùn)用中思維僵化現(xiàn)象的思考

劉建

(陜西省漢中市龍崗中學(xué),723100)

向量法以其獨(dú)特的功能優(yōu)勢,將幾何問題代數(shù)化,避開了尋求輔助線、輔助面的難點(diǎn),降低了空間想象和演繹推理的難度,在解決立體幾何空間線、面的位置關(guān)系,計算空間角與距離的問題中得以普遍使用.然而,經(jīng)過向量法學(xué)習(xí)以后,由于部分學(xué)生偏愛向量坐標(biāo)法,一遇到立體幾何線面角問題,就不假思索,機(jī)械地建系、寫坐標(biāo)、計算.這種不恰當(dāng)?shù)貦C(jī)械重復(fù),禁錮了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的思想,導(dǎo)致思維僵化現(xiàn)象.對此,有必要在高考一、二輪教學(xué)復(fù)習(xí)中適度矯正,讓學(xué)生走出這種解題誤區(qū).

本文分析了這種思維僵化現(xiàn)象的成因,結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐,對矯正策略和方法進(jìn)行了一些思考,僅供同仁在復(fù)習(xí)教學(xué)中參考.

一、原因分析

首先是教師理念問題.部分教師對課標(biāo)和考綱理解欠缺,認(rèn)為向量在高中數(shù)學(xué)中的引入就是對學(xué)生空間想象和演繹推理的淡化,以個人偏好在教學(xué)、作業(yè)練習(xí)和評講中對向量坐標(biāo)法過度強(qiáng)調(diào)和渲染.有的教師試圖通過向量法教學(xué)為幾何基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)中開辟捷徑,從而把重點(diǎn)放在向量坐標(biāo)法上,對向量坐標(biāo)法進(jìn)行大量的機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練.這樣雖在解決模式化的空間角等問題方面有實(shí)效,但由于學(xué)生對幾何內(nèi)在關(guān)系缺乏理解,幾何條件轉(zhuǎn)換與變通能力得不到提升,導(dǎo)致遇到問題情境變化、“法寶”失靈時,無招可施.其次是學(xué)生信心問題.部分學(xué)生由于初中幾何基礎(chǔ)薄弱,缺少必要的空間想象訓(xùn)練，以致進(jìn)入高中對學(xué)好幾何沒有信心,不敢正視圖形的處理技巧和必要的邏輯推理.學(xué)習(xí)了向量法,看到了向量法的實(shí)惠，一些學(xué)生雖不敢說揚(yáng)長卻認(rèn)為可以避短,想以向量法彌補(bǔ)立體幾何的不足.這樣在幾何解題訓(xùn)練中,經(jīng)?；乇軓?qiáng)化自己弱項的機(jī)會,使自己弱者越弱,學(xué)習(xí)幾何的瓶頸問題始終得不到解決.

二、矯正策略和方法

1.立足考綱,引導(dǎo)學(xué)生合理應(yīng)用向量法

對于向量的應(yīng)用,考綱明確要求學(xué)生能用向量語言表達(dá)線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系;能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理;能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題；了解向量方法在研究幾何問題中的應(yīng)用.因此,教師在向量法教學(xué)和復(fù)習(xí)中,要防止復(fù)習(xí)偏于一偶,盲目地頻繁使用坐標(biāo)法,不宜過分強(qiáng)化向量坐標(biāo)方法.

最近,筆者在復(fù)習(xí)立體幾何中的向量方法時,讓學(xué)生試做了復(fù)習(xí)資料上一道題.

例1如圖1所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).求證:PB∥平面EFG.

作為對向量法專項復(fù)習(xí),老師沒讓學(xué)生使用傳統(tǒng)方法.學(xué)生普遍使用了向量坐標(biāo)法,看上去解法完美,本題所給的所有條件都得到充分的利用,沒有一個學(xué)生對此題所給條件提出異議.于是,筆者在后來專門開設(shè)了一節(jié)糾偏課,以下是片段簡錄.

教師:能不能用向量法來解決這個問題?

于是學(xué)生有了以下證明方法:

證明由于E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn),所以

因?yàn)橹本€PB?平面EFC,就有PB∥平面EFC.

教師:檢查上面的證明過程中寫出的連續(xù)三個相等,你用到了題目中所給的那些條件?

學(xué)生詫異:只用到AD∥BC、向量加法運(yùn)算和E,F,G中點(diǎn)的性質(zhì).

教師: 題目中諸多條件沒有用上,與坐標(biāo)法對比,是哪個證明方法有問題嗎?問題在哪里?

學(xué)生找不到任何問題,盯著兩種證明方法沉思.

教師(三分鐘后):經(jīng)過檢查,我們的證明都沒有問題.

只是兩種證明方法用到的條件有差異,那些在向量方法證明中沒有用的條件,在坐標(biāo)法中的作用體現(xiàn)在哪里?

學(xué)生:這些條件可以方便建坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo).

教師:坐標(biāo)系是解決幾何問題時引入的特殊輔助元素,如果條件是為了建系所設(shè),就可能不是證明問題的本質(zhì)條件.既然如此,本題中剔除那些不建系時沒有用到的條件,你能把例1重新表述出來嗎?

師生合作得到如下例2.

例2如圖2所示,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC且E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).求證:PB∥平面EFG.

教師:現(xiàn)在,再對比例1你能看到兩者有什么關(guān)系嗎?

學(xué)生:例1是例2的特殊情形.

教師:很好,感受一下,用坐標(biāo)法證明例2如何?

學(xué)生:很為難!

教師:確實(shí)困難.我們選用坐標(biāo)法是看中了它在解決幾何問題時便捷的計算,如果我們無視問題情境變化,固執(zhí)地用坐標(biāo)法解決幾何問題,即使對于例2這樣簡單問題,我們也無能為力.而一般向量運(yùn)算方法在此卻能很好地揭示問題的本質(zhì).

對這道題探討結(jié)束后,筆者又接著給出如下例3.

例3如圖3,平面PAC⊥平面ABC,?ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F,O分別為PA,PB,AC的中點(diǎn),AC=16,PA=PC=10.設(shè)G是OC的中點(diǎn),證明:FG∥平面BOE.

要求學(xué)生嘗試用一般向量方法分析,對此題冗余的條件進(jìn)行刪減并改編.

例1和例3這樣的“蹩腳”題被安排在一些頗具權(quán)威性的一、二輪復(fù)習(xí)資料中,把它作為向量坐標(biāo)法復(fù)習(xí)的經(jīng)典例題訓(xùn)練,而忽視了其他方法的存在價值.這是否折射出我們在立體幾何教學(xué)中對坐標(biāo)法教學(xué)有過熱的偏差問題?值得我們注意和思考.

2.注重幾何知識和向量知識的融合

3.注重向量法和傳統(tǒng)幾何法的結(jié)合

進(jìn)入高三的學(xué)生已具備把向量法和傳統(tǒng)幾何法相結(jié)合的基礎(chǔ)條件.在向量法一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練到位之后,對于立體幾何中線面角問題、面面角問題等難點(diǎn)問題,教師可以從向量法教學(xué)時訓(xùn)練過的題目中再篩選或改編,也可以精心選取和組織近年全國各地的高考真題制作小專題,針對性地選擇幾種經(jīng)典的幾何方法作為強(qiáng)化復(fù)習(xí),實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)突破.

例如,幾何法求解線面角問題的核心是點(diǎn)到平面的距離計算問題,在此,教師可不失時機(jī)地引入等積法,制作等積法求解線面角問題的小專題復(fù)習(xí).可作為等積法求解線面角問題訓(xùn)練的高考題材豐富,如2014理科福建卷第17題,2014陜西理科第17題,2015理科全國卷Ⅱ第19題，等等.使用等積法求解線面角問題,往往比向量坐標(biāo)法更顯便捷.當(dāng)學(xué)生用等積法求解線面角問題的基礎(chǔ)扎實(shí)后,還可以引導(dǎo)學(xué)生把等積法用于求解二面角問題.

例4(2015年福建高考題)如圖4,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點(diǎn).

(1)求證:GF∥平面ADE;

(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.

因?yàn)锳B⊥平面BEC,BE⊥EC,所以EC⊥平面ABE,又DC平行于平面ABE,故有

又如，對于面面角問題的強(qiáng)化復(fù)習(xí),可為直接作角計算的方法和間接計算的方法復(fù)習(xí).直接作角方法可專題復(fù)習(xí)常用的定義法、三垂線定理法和垂面法;間接計算的方法可引入復(fù)習(xí)面積投影法和等積法.對于線面角、面面角這兩個難點(diǎn)問題,如果能讓學(xué)生對同一道題,通過幾何法與向量法的解題體驗(yàn)對比,學(xué)習(xí)選用向量方法和幾何方法優(yōu)化求解,使兩種方法相輔相成,相得益彰,將有助于快速突破難點(diǎn),有效提升學(xué)生幾何解題能力.

總之,立足于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力,這是開設(shè)立體幾何學(xué)科教學(xué)的基本要求.向量工具的引入為幾何學(xué)注入了新的活力,豐富和發(fā)展了幾何方法,但也要預(yù)防向量坐標(biāo)法的程序化解題定式給學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力帶來的損害.當(dāng)學(xué)生有了一定的幾何知識和向量知識儲備后,就有必要在復(fù)習(xí)教學(xué)中進(jìn)行幾何解題思維專項訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生多角度思考幾何問題的習(xí)慣；打破只會使用向量坐標(biāo)法的僵局,突破幾何學(xué)習(xí)的瓶頸,提高幾何素養(yǎng).