教學(xué)質(zhì)量評價的馬爾可夫鏈模型研究

方 倩 珊

(漳州城市職業(yè)學(xué)院教師教育系，福建 漳州 363000)

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教學(xué)質(zhì)量評價的馬爾可夫鏈模型研究

方 倩 珊

(漳州城市職業(yè)學(xué)院教師教育系，福建 漳州 363000)

摘要：為更全面、科學(xué)地反映教師的教學(xué)質(zhì)量，摒除傳統(tǒng)的以學(xué)生考試成績的高低、合格率等指標(biāo)來衡量教師的教學(xué)效果評價方法，利用馬爾可夫理論提出教學(xué)質(zhì)量評價的馬爾可夫鏈模型。闡明該模型的理論依據(jù)及具體的算法步驟，解決僅依靠學(xué)生的考試成績來評估教學(xué)質(zhì)量的難題，以期能比較公平、客觀地評價教師的教學(xué)效果。以實例驗證該模型的可行性、合理性。

關(guān)鍵詞：馬爾可夫鏈；模型；教學(xué)質(zhì)量；客觀評價

0引言

馬爾可夫鏈(Markow chain)評價法簡稱M.C.評價法，是一種以概率論和隨機過程理論為基礎(chǔ)，運用隨機數(shù)學(xué)模型來分析對象發(fā)展變化過程中的數(shù)量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析法。若某隨機過程，從時刻n處于狀態(tài)i，轉(zhuǎn)移到時刻n+k處于狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移矩陣只與時間間隔k有關(guān)，而與“歷史”無關(guān)，這個系統(tǒng)就稱為馬爾可夫鏈。由于馬爾可夫鏈有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作為支撐，擁有其他方法沒有的優(yōu)良性，至今仍為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點。近年來，已被廣泛地應(yīng)用在股票預(yù)測、環(huán)境質(zhì)量、教育教學(xué)、語音識別、文字信息、信息安全等方面，特別在教學(xué)質(zhì)量評價方面具有十分重要意義。

在對教師進行教學(xué)質(zhì)量評價時，傳統(tǒng)的方法往往是以所教學(xué)生的最后考試成績?yōu)橐罁?jù)，這樣的評價方法沒有考慮教學(xué)過程中學(xué)生個體的變化情況，忽略了學(xué)生的基礎(chǔ)差異，帶有很大的片面性，使評價結(jié)果有失公平。要客觀評價教師的教學(xué)效果，必須剔除學(xué)生的基礎(chǔ)差異這一因素。馬爾可夫鏈的極限狀態(tài)表明，在穩(wěn)定的教學(xué)質(zhì)量、教學(xué)條件下，學(xué)生總體上可能達到的程度與學(xué)生原有的基礎(chǔ)是無關(guān)的，也就是無后效性。因此，利用馬爾可夫理論提出教學(xué)質(zhì)量評價的馬爾可夫鏈模型，解決了僅憑依靠學(xué)生的考試成績來評估教學(xué)質(zhì)量的難題，以期能比較公平、客觀地評價教師的教學(xué)效果。

1馬爾可夫鏈的基本理論

定義1馬爾可夫鏈

成立，則稱這類隨機過程是馬爾可夫鏈。它具有無后效性。

定義2一步轉(zhuǎn)移概率

定義3平穩(wěn)性和遍歷性

定義4一步轉(zhuǎn)移矩陣

2馬爾可夫鏈評價模型研究

馬爾可夫鏈評價模型是利用經(jīng)驗概率來創(chuàng)建初始分布和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，通過比較兩次考試在不同成績等級上的學(xué)生人數(shù)變化來構(gòu)建轉(zhuǎn)移矩陣。因此，在教學(xué)質(zhì)量評價中轉(zhuǎn)移矩陣至關(guān)重要。它反映了教學(xué)質(zhì)量、教學(xué)條件、教學(xué)管理、學(xué)生內(nèi)在心理狀態(tài)等因素的綜合變化情況。由于此系統(tǒng)的馬爾可夫鏈的概率分布是平穩(wěn)的，所以雖然各等級學(xué)生之間的微觀變化客觀存在，但總體上各等級學(xué)生的相對比例還是會保持穩(wěn)定。

2.1數(shù)學(xué)模型的建立

此模型包含成績劃分等級、確定一步轉(zhuǎn)移矩矩陣、求出極限向量、判斷4個建模步驟。

由馬爾可夫鏈的平穩(wěn)性和遍歷性可知，馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P確定后，必存在極限分布X=(x1,x2,…,xs)。據(jù)此，可求出穩(wěn)定的概率向量，得到具體的量化指標(biāo)，即可量化出教師教學(xué)質(zhì)量的優(yōu)劣，從而對教師的教學(xué)效果進行客觀評估。[3,4]

2.2算法步驟

Step1:列出學(xué)生個體成績等級轉(zhuǎn)移表

首先采集數(shù)據(jù)，確定分級。對學(xué)生成績的分級可按實際需要來劃分，如按傳統(tǒng)的分類，可劃分為5個等級：優(yōu)秀為[90,100]，良好為[80，90],中等為[70，80],及格為[60，70],不及格為[0,60]；如若學(xué)生的成績大體上呈正態(tài)分布或接近正態(tài)分布時，可按正態(tài)分布的規(guī)律來劃分等級。然后根據(jù)分級情況，列出學(xué)生個體成績等級轉(zhuǎn)移表。該表由學(xué)生編號、第一次考試成績、第二次考試成績、兩次考試中成績轉(zhuǎn)移情況(ij表明該生從i等轉(zhuǎn)向j等)等4項內(nèi)容組成。

Step2:根據(jù)轉(zhuǎn)移情況確定轉(zhuǎn)移矩陣P

Step3:求轉(zhuǎn)移矩陣P的平穩(wěn)分布X

對于以P=(Pij)5×5為轉(zhuǎn)移矩陣的馬爾可夫鏈{Xn,n=0,1,2…}來說，

Step4:求出教師教學(xué)效果的量化指標(biāo),即數(shù)學(xué)期望

根據(jù)最大項原則，可用其中最大的等級值表示教學(xué)工作質(zhì)量，若將一等、二等、三等、四等和五等分別賦值為u1、u2、u3、u4、u5，則只需將極限向量X=(x1，x2，x3，x4，x5)代入量化指標(biāo)公式Ai=u1x1+u2x2+u3x3+u4x4+u5x5中，即可求出該班穩(wěn)定的期望成績Ai(i=1,2)，進而通過比較Ai的大小來判斷教學(xué)質(zhì)量。

3實例分析

以漳州城市職業(yè)學(xué)院初教專業(yè)2014級A、B兩個班的數(shù)學(xué)課程考試的成績?yōu)槔瑏眚炞C此模型的可行性、合理性。取兩個班級2次的高等數(shù)學(xué)成績，其中X1表示第一次高等數(shù)學(xué)成績，X2表示第二次高等數(shù)學(xué)成績。

表1　A班考試成績及等級轉(zhuǎn)移情況

表2　B班考試成績及等級轉(zhuǎn)移情況

因為兩個班的學(xué)生成績來自同樣的考試，所以將兩個班的學(xué)生成績并在一起，從高到低進行排序，并分為5個等級，ij為某學(xué)生成績從第i等級轉(zhuǎn)移到第j等級(i,j=1,2,…,5)。其中狀態(tài)“1”為90～100分；狀態(tài)“2”為80～89分；狀態(tài)“3”為第70～79分；狀態(tài)“4”為60～69分；狀態(tài)“5”為60以下。

對上述2個班級學(xué)生的第一次成績、第二次成績分別進行排名，然后按上述分數(shù)確定每個學(xué)生在2次測驗中所在的等級，由此得到2個班級的成績轉(zhuǎn)移矩陣分別為：

利用上述算法，結(jié)合Matlab軟件，進行程序計算，得A班教學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的極限向量為XA=(0，0.6453，0.2056，0.1111，0.0333),同理求得XB=(0，0,0.6667,0.3333,0)。

上述穩(wěn)定成績分布表明：對于A班而言：其中一等0%，二等64.53%，三等20.56%,四等11.11%，五等3.33%；而對B班而言：其中一等0%，二等0%，三等66.67%,四等33.33%，五等0%。結(jié)果說明：A班，二等占多數(shù)；B班，三等占多數(shù)?？梢?，A班在等級名次上占優(yōu)勢。

如果將各個等級賦值：優(yōu)秀為90分，良好為80分，中等為70分，及格為60分，不及格為50分，可求出期望成績?yōu)椋?/p>

SA=0×90+0.6453×80+0.2056×70+0.1111×60+0.0333×50=74.347分

SB=0×90+0×80+0.6667×70+0.3333×60+0×50=66.667分

馬氏鏈分析的結(jié)果是：A班教師的教學(xué)效果好于B班。但是如果從當(dāng)前成績看，A班的平均成績?yōu)?9.68分，B班的平均成績?yōu)?1.08分，顯然B班比A班優(yōu)秀。事實上，產(chǎn)生不同結(jié)果的原因在于學(xué)生的基礎(chǔ)差異問題。開始學(xué)習(xí)時，A班的基礎(chǔ)比B班差，但經(jīng)過一定的學(xué)習(xí)過程后，A班的“進步度”比B班大，即A班進步的幅度比B班大。[7,8]這顯然與教師的教學(xué)效果有關(guān)，說明A班的教學(xué)效果比B班的好。可見這種評價模式比單純比較兩班最后考試成績的評價方法更合理，較能客觀地反應(yīng)出教師教學(xué)水平的優(yōu)劣，有助于任課教師的自我評價及預(yù)測學(xué)生的發(fā)展變化趨勢，有助于因材施教，提高教師的教學(xué)工作質(zhì)量和效果。

4結(jié)束語

實踐證明，馬爾可夫鏈的評價模型在反映課堂教學(xué)過程中教學(xué)效果的變化趨勢方面是比較可靠的，是一種教學(xué)效果定量評估的有效方法。它解決了僅從學(xué)生的成績?nèi)ピu價教師工作質(zhì)量，而學(xué)生的基礎(chǔ)存在差異的問題，比較真實客觀地反映了教師的教學(xué)效果。但任何一種評價模式都有其自身的局限性，馬爾可夫鏈評價模型也不例外。如馬爾可夫鏈評價模型只是以學(xué)生的考試成績作為評價依據(jù)，在評價中忽略了學(xué)生內(nèi)在心理狀態(tài)、學(xué)校管理、外部社會影響的轉(zhuǎn)變和命題等因素對成績的影響，而這些因素直接或間接的影響都會在轉(zhuǎn)移概率矩陣中體現(xiàn)出來；又如本文所用的是一階馬爾可夫鏈，只適合于中短期的預(yù)測，能否把一階馬爾可夫鏈推廣到高階馬爾可夫鏈，使其能增加長期預(yù)測的可靠性等，都值得進一步的探索和研究。因此，在實踐中要分析這些局限性，充分考慮到這些因素，結(jié)合實際情況，及時修改轉(zhuǎn)移概率矩陣，在評價過程中不斷地改進和完善馬爾可夫鏈的評價模型，這樣才能使得評價的結(jié)果更全面、更合理、更客觀。

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[責(zé)任編輯：王榮榮英文編輯：劉彥哲]

Markov Chain Model of Teaching Quality Appraisal

FANG Qian-shan

(Teacher Education Department,Zhangzhou City University,Zhangzhou,Fujian 363000,China)

Abstract:To comprehensively and scientifically reflect the teachers’ teaching quality level and to dismiss traditional measurement indicators of the teachers’ teaching effect according to students scores,percent of pass and so on,based on Markov theory,Markov chain model of teaching quality evaluation was put forward.This paper illustrated the theory basis and the specific algorithm steps of the model, and settled the problem that it is difficult to rely on students’ test scores to evaluate teaching quality because of the students’different bases,in hope of fairly and objectively evaluating the teachers’ teaching effect.And an example was given to demonstrate the feasibility and rationality of the model.

Key words:Markov chain;model;teaching quality;objective evaluation

DOI：10.3969/j.issn.1673-1492.2016.01.003

中圖分類號：R 285.5

文獻標(biāo)識碼：A

作者簡介：方倩珊(1972-)，女，福建云霄人，副教授,從事數(shù)學(xué)教育研究。

來稿日期：2015-11-04