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    基于隨機區(qū)間損益市場模型的未定權(quán)益無差異定價

    2016-03-24 06:41:02尤蘇蓉
    東華大學學報(社會科學版) 2016年1期
    關(guān)鍵詞:效用函數(shù)損益效用

    尤蘇蓉,魏 康

    (東華大學 理學院,上海 201620)

    基于隨機區(qū)間損益市場模型的未定權(quán)益無差異定價

    尤蘇蓉,魏 康

    (東華大學 理學院,上海 201620)

    基于加權(quán)期望效用最大化,給出了有隨機區(qū)間損益未定權(quán)益的無差異買入價和賣出價的定義,討論了兩種無差異價格的存在性及其性質(zhì).通過一個算例,利用二分法得到了簡單的二叉樹模型下的無差異價格.

    未定權(quán)益; 隨機區(qū)間; 期望效用; 無差異定價

    在傳統(tǒng)隨機金融市場模型中,證券收益表現(xiàn)為隨機變量或隨機過程.資產(chǎn)定價,特別是未定權(quán)益定價,主要有兩種方法:一是基于無套利定價方法的風險中性定價;二是基于期望效用優(yōu)化的效用定價.兩種定價方法的主要區(qū)別在于風險中性定價由基礎(chǔ)市場結(jié)構(gòu)決定,與投資者的消費行為無關(guān),是一種客觀定價方法;而效用定價是基于投資者的消費行為特征,以期望效用最大化為基礎(chǔ),可以認為是一種主觀定價方法.眾所周知,風險中性定價的結(jié)論可以表述為“未定權(quán)益的無套利價格等于其未來損益在風險中性定價測度下的貼現(xiàn)期望”[1].在效用定價方法中,出現(xiàn)了3種分析方法:一是利用期望效用最大化組合的損益表現(xiàn),可以構(gòu)造風險中性定價測度,這也是期望效用優(yōu)化與風險中性定價方法之間相互聯(lián)系的表現(xiàn);二是公平價格概念[2],其基本思想是與僅投資于基本證券給投資者帶來的期望效用相比,以公平價格對未定權(quán)益進行買賣所產(chǎn)生的邊界期望效用為零;三是無差異定價[3-4],未定權(quán)益的無差異價格與持有未定權(quán)益的單位數(shù)多少相關(guān),是一種非線性的定價方法.簡單地說,以無差異價格持有相應數(shù)量的未定權(quán)益并且同時投資于基本證券所產(chǎn)生的最大期望效用與僅投資于基本證券所產(chǎn)生的最大期望效用相等.無差異定價方法被廣泛地用于金融分析,如文獻[5]討論了資產(chǎn)在常相對風險厭惡型效用函數(shù)情形下的無差異價格,文獻[6]討論了任意效用函數(shù)下的未定權(quán)益無差異價格及其保值問題.

    傳統(tǒng)的金融市場模型以及不確定金融市場模型[7],都是以典型的概率空間為基礎(chǔ).兩個市場模型的差別在于概率測度是否唯一,在不確定金融市場模型中概率測度不唯一確定,而是在一個概率測度集合中取值.在這兩種模型中,相同之處在于資產(chǎn)的表現(xiàn)都是用隨機變量或者隨機過程描述.近年來,相應于不同形式的不確定原因,其他一些不確定量表示方法,如模糊數(shù)、模糊隨機變量、區(qū)間數(shù)以及隨機集合被廣泛地用于金融分析:用模糊數(shù)表示資產(chǎn)收益,構(gòu)建模糊收益資產(chǎn)的均值-方差組合選擇模型[8];基于模糊二叉樹的新型期權(quán)定價[9];將不確定參數(shù)引入經(jīng)典二叉樹模型,在多期時間框架下對期權(quán)進行定價分析[10].文獻[11]提出了隨機區(qū)間值收益證券構(gòu)成的金融市場模型,在這個新模型下,所有證券的收益由隨機區(qū)間描述.基于可接受市場概念[11],經(jīng)典單期市場下的定價結(jié)論得到了推廣.新的市場模型產(chǎn)生一些新的結(jié)論,經(jīng)典的風險中性定價測度被推廣為可接受市場價格向量;而未定權(quán)益定價的無套利價格區(qū)間被推廣為可接受價格區(qū)間.

    關(guān)于隨機區(qū)間市場模型下的期望效用優(yōu)化問題,依托隨機區(qū)間的期望以及區(qū)間數(shù)的評價規(guī)則[12],加權(quán)期望效用模型[13]被用于衡量投資者對待隨機區(qū)間收益資產(chǎn)的滿意度.在適當?shù)男в煤瘮?shù)條件下,市場的可接受性保證了最優(yōu)交易策略的存在性,并且利用最優(yōu)投資策略可以產(chǎn)生與經(jīng)典金融分析中類似的現(xiàn)象[13].在隨機區(qū)間收益市場下,未定權(quán)益的公平價格概念在文獻[14]得到了較為詳盡的討論.本文將無差異定價的概念推廣到隨機區(qū)間收益市場中,并討論新的市場模型下無差異價格的表現(xiàn)及其性質(zhì).

    1 市場模型與加權(quán)期望效用

    i=1, 2, …, N, j=1, 2, …, M}

    (1)

    現(xiàn)列出一些與本文內(nèi)容有關(guān)的隨機區(qū)間損益市場的定價及效用優(yōu)化概念及已有結(jié)論.

    定義2[11]稱元素全為正的M值向量ψ?0,為市場的可接受狀態(tài)價格向量,若成立

    記Ψ為所有的可接受狀態(tài)價格向量構(gòu)成的集合.在可接受市場中,一個未定權(quán)益可以表示為元素為區(qū)間數(shù)的M維向量,如式(2)所示.

    (2)

    (3)

    (5)

    (6)

    (1+r)e+(S-(1+r)π)Tθ

    從而(P1)可以表示為如下僅涉及風險證券投資策略的簡化規(guī)劃:

    s.t. θ∈RN

    區(qū)間數(shù)的運算規(guī)則中一個實數(shù)與一個區(qū)間數(shù)相乘將有比較復雜的情形:設(shè)k為實數(shù),[a-, a+]為一個區(qū)間數(shù),則k[a-, a+]=[k+a--k-a+, k+a+-k-a-],其中k+=max(k, 0),k-=min(k, 0).在(P1)中,((S-(1+r)π)Tθ)L與((S-(1+r)π)Tθ)U將有復雜的形式.幸運的是,利用效用函數(shù)u的凹性,λ∈[0.5, 1], (P1)等價于如下易于計算的規(guī)劃[13]:

    (7)

    其中:目標函數(shù)為

    2 未定權(quán)益的無差異定價及其性質(zhì)

    如同第1節(jié)的分析,(P2)可以歸結(jié)為

    (8)

    其中:目標函數(shù)為

    U+(θ1, θ2,b,h)=

    顯然,規(guī)劃(P2)的最優(yōu)值依賴于b和h,記為V+(b, h).

    其次,如果投資者以價格h賣空b(b>0)單位X,并使用所獲得的收入投資于基本證券,那么對應的規(guī)劃變?yōu)?/p>

    同樣的方法,(P3)等價于

    (9)

    其中:目標函數(shù)為

    U-(θ1, θ2,b,h)=

    記(P3)的最優(yōu)值為V-(b, h).

    V+(b, h)是投資者以價格h買入b單位X時獲得的最優(yōu)期望效用,而V-(b,h)是投資者以價格h賣空b單位X時獲得的最優(yōu)期望效用.顯然,對于任意價格水平h,都有

    V+(0, h)=V-(0, h)=W0

    (10)

    在給出隨機區(qū)間損益未定權(quán)益的無差異價格定義之前,首先給出關(guān)于U+(θ1, θ2,b,h),U-(θ1, θ2,b,h)以及V+(b,h)和V-(b,h)的一些性質(zhì),這些性質(zhì)將用于推導無差異價格的性質(zhì).

    命題2

    (1)U+(θ1, θ2,b,h)與U-(θ1, θ2,b,h)都是(θ1,θ2, b)的凹函數(shù).

    (2) 給定b>0, V+(b, h)是h的減函數(shù),而V-(b, h)是h的增函數(shù).

    (3) 給定h及實數(shù)0<α<1,對任意b>0,式(11)成立

    V+(αb,h)≥αV+(b,h)+(1-α)W0,

    V-(αb,h)≥αV-(b,h)+(1-α)W0

    (11)

    證明:(1) 由于效用函數(shù)u(x)為其變量x的凹函數(shù),U+(θ1, θ2,b,h)和U-(θ1, θ2,b,h)必定為(θ1, θ2,b)的凹函數(shù).

    (2) 對于任意(θ1, θ2),當b>0給定時,目標函數(shù)U+(θ1,θ2, b, h)為h的減函數(shù),從而規(guī)劃的最優(yōu)值V+(b, h)也是h的減函數(shù).同樣由于U-(θ1,θ2, b, h)關(guān)于h遞增,V-(b, h)是h的增函數(shù).

    (3) 首先證明關(guān)于V+的不等式.由V+(b, h)和W0分別是(P1)和(P2)的最優(yōu)解,對任意ε>0,存在(η1, η2)及(ξ1, ξ2)

    定義θ1=αη1+(1-α)ξ1, θ2=αη2+(1-α)ξ2,由U+(θ1, θ2,b,h)關(guān)于(θ1, θ2,b)的凹性,可以得到

    V+(α b, h)≥U+(θ1, θ2,αb,h)=

    U+(α(η1,η2,b)+

    (1-α)(ξ1,ξ2, 0),h)≥

    αU+(η1,η2,b,h)+

    (1-α)U+(ξ1,ξ2, 0,h)≥

    αV+(b,h)+(1-α)W0-ε

    再由ε>0的任意性,V+(αb, h)≥αV+(b, h)+(1-α)W0成立.

    同樣的方法可以證明關(guān)于V-的不等式.

    下面討論無差異價格概念[3-4]在隨機區(qū)間損益市場下的表現(xiàn).需要說明的是無差異定價是非線性的定價方法,買入/賣出不同單位數(shù)證券所對應的無差異單價是不同的,同樣買入/賣出相同單位數(shù)證券對應的單價也是不同的.首先給出如下無差異買入價和賣出價的定義.

    定義3 若h+(b)使得

    V+(b, h+(b))=W0

    (12)

    成立,稱h+(b)是投資者買入b單位未定權(quán)益X時的無差異買入價;而若h-(b)使得等式

    V-(b, h-(b))=W0

    (13)

    成立,則稱h-(b)為投資者賣出b單位未定權(quán)益X時的無差異賣出價.

    雖然無差異價格與公平價格的定義都是基于期望效用最大化,但是兩者的定價機制有不同之處.當市場上僅有基本證券時,投資者只能尋求基本證券構(gòu)成的最優(yōu)投資策略.引入未定權(quán)益后,投資者有了一個新的投資對象,她/他可以選擇買入或者賣空一定單位的未定權(quán)益達到最大期望效用.在確定無差異價格的最優(yōu)化問題中,對未定權(quán)益的投資數(shù)量是預先確定的,只是尋求基本證券構(gòu)成的最優(yōu)投資策略;而在確定公平價格的最優(yōu)化問題中,對未定權(quán)益的投資數(shù)量也是一個決策變量,投資者是在尋求基本證券與未定權(quán)益構(gòu)成的最優(yōu)投資策略.

    下面幾個命題將討論無差異價格的存在性及其性質(zhì).引入兩個量,它們將用于確定無差異價格的范圍.記

    (14)

    分別表示未定權(quán)益在t=1時刻所有可能狀態(tài)下的最差和最佳損益表現(xiàn).

    證明:根據(jù)最優(yōu)化理論的最大值定理[15],由效用函數(shù)u的連續(xù)性,規(guī)劃的最優(yōu)值函數(shù)V+(b, h)和V-(b, h)都是b和h的連續(xù)函數(shù).

    對于h-(b),對U-(θ1,θ2, b, h)使用相同的說明方法,

    成立,這進一步推出

    傳統(tǒng)的等價鞅測度定價是一個線性定價方法,不管是對未定權(quán)益買入還是賣出,也不管交易多少單位,其價格都是一樣的.在隨機區(qū)間損益市場中,由可接受狀態(tài)價格向量產(chǎn)生的定價結(jié)果也是線性的.無差異定價結(jié)果是非線性的,未定權(quán)益的無差異單價將隨著交易單位數(shù)的不同而發(fā)生變化[3].

    命題4 若b1>b2,則h+(b1)≤h+(b2)和h-(b1)≥h-(b2)成立.

    證明:對b1>b2,存在正數(shù)0<μ<1使得b2=μb1.

    由式(11),對任何h,成立

    V+(b2,h)≥μV+(b1,h)+(1-μ)W0

    令h=h+(b2)并利用W0=V+(b2,h+(b2))=V+(b1,h+(b1)),可以得到

    W0=V+(b2, h+(b2))≥

    μV+(b1, h+(b2))+(1-μ)W0

    這表明

    V+(b1, h+(b2))≤W0=V+(b1, h+(b1))

    利用V+(b,h)關(guān)于h的遞減性,則h+(b1)≤h+(b2)成立.

    對于h-(b)關(guān)于b的遞增性,再次使用式(11)可以得到對任何h,

    V-(b2, h)≥μV-(b1, h)+(1-μ)W0

    因此W0=V-(b2,h-(b2))≥μV-(b1,h-(b2))+(1-μ)W0成立,即有

    V-(b1, h-(b2))≤W0=V-(b1, h-(b1))

    利用V-(b,h)關(guān)于h的遞增性,則h-(b1)≥h-(b2)成立.

    命題4表明,在隨機區(qū)間損益市場模型下,無差異定價結(jié)果也表現(xiàn)出非線性的性質(zhì).當投資者購買更多單位未定權(quán)益時,期望支付更少的單價;而當投資者賣出更多單位未定權(quán)益時,期望獲得更多的單價.

    下面將討論對給定的未定權(quán)益X,如何計算其無差異價格h+(b),h-(b).在經(jīng)典隨機金融市場模型下,最優(yōu)期望效用值可以顯式表示.在隨機區(qū)間損益市場模型下,最優(yōu)期望效用值不能顯式表示,因此不能得到無差異價格的顯式表達,但是利用數(shù)值計算方法,可以輕松地計算兩個無差異價格水平.命題3和4給出了無差異價格的范圍及其單調(diào)性,這使得采用最簡單的二分法就可以計算無差異價格.

    對于特殊的效用函數(shù)u,可以直接計算兩個無差異價格水平,并得到具體表達式.在期望效用分析中,最常用的效用函數(shù):對數(shù)效用u(x)=lnx,冪函數(shù)效用u(x)=xα, 0<α<1,指數(shù)效用u(x)=1-e-α x.

    對于指數(shù)效用u(x)=1-e-α x,U(θ1, θ2),U+(θ1, θ2,b,h)與U-(θ1, θ2,b,h)可以分別表示為

    U(θ1, θ2)=1-U′(θ1, θ2)

    U+(θ1, θ2,b,h)=1-exp(αb(1+r)h)·

    U-(θ1, θ2,b,h)=1-exp(-αb(1+r)h)·

    從而有

    (15)

    以上分析表明在指數(shù)效用情形下,未定權(quán)益的無差異價格水平可以有直接的表達式.

    3 算 例

    考慮一個二叉樹市場模型.兩個交易日為t=0, 1.假設(shè)存在兩個可能狀態(tài)ω1和ω2,發(fā)生概率分別為p=P(ω1)=7/12和P(ω2)=1-p=5/12.僅考慮兩個基本證券情形.第一種基本證券是債券,t=0時刻的價格為π0=1,為簡單起見,設(shè)無風險利率為r=0.第二種基本證券為股票,t=0時刻的價格為π1=2,t=1時刻兩個狀態(tài)下的隨機區(qū)間損益分別為S(ω1)=[3, 4]和S(ω2)=[1, 2].

    投資者的效用函數(shù)為u=ln(x),悲觀度為λ=3/4,初始財富為e=20.首先計算僅投資于基本證券市場所獲得的最大加權(quán)期望效用值,即下列規(guī)劃的最優(yōu)值.

    s.t. θ1≥0, θ2≥0

    使用Matlab計算可知,規(guī)劃的最優(yōu)值為W0=3.0699.

    引入損益表現(xiàn)為X(ω1)=[4, 6], X(ω2)=[3/2, 2]的未定權(quán)益.規(guī)劃(P2)和(P3)分別可以表示為

    兩個規(guī)劃的最優(yōu)值分別為V+(b,h)和V-(b,h).預先給出b值,使用二分法可以計算出不同b值所對應的無差異買入/賣出價格,結(jié)果如表1所示.

    表1 X的無差異買入/賣出價格

    4 結(jié) 語

    本文將經(jīng)典隨機金融市場模型中的無差異定價方法應用于隨機區(qū)間損益市場,對有隨機區(qū)間損益的未定權(quán)益進行了定價分析.基于加權(quán)期望效用模型,建立了隨機區(qū)間損益市場模型下的無差異價格概念.討論了無差異價格的存在性,證明了無差異價格的非線性性質(zhì).不同于隨機區(qū)間損益金融市場模型下的其他定價方法,未定權(quán)益的無差異價格將隨著交易的單位數(shù)發(fā)生變化.雖然在隨機區(qū)間損益市場中,對指數(shù)期望效用可以得到無差異價格的顯式表達,但是大多數(shù)效用函數(shù)情形下只能通過數(shù)值方法計算無差異價格.后續(xù)將研究無差異價格與風險度量之間的關(guān)聯(lián).

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    Indifference Prices of Contingent Claims in a Market of Securities with Random Interval Payoffs

    YOUSu-rong,WEIKang

    (College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

    Based on weighted expected utility maximization, definitions of indifference bid and ask prices to a contingent claim with interval payoff are proposed. Existence and properties of two prices are discussed. Applying the method of bisection, a simple binomial tree model is given as an example to calculate indifference prices.

    contingent claim;random interval;expected utility;indifference pricing

    1671-0444(2016)01-0145-07

    2014-11-10

    中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目

    尤蘇蓉(1976—),男,江蘇靖江人,副教授,博士,研究方向為金融數(shù)學.E-mail: sryou@dhu.edu.cn

    O 29;F 224

    A

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