基于費效分析的裝備延伸保修購買決策*

楊志遠，程中華，鄧立杰

（軍械工程學院，石家莊　050003）

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基于費效分析的裝備延伸保修購買決策*

楊志遠，程中華，鄧立杰

（軍械工程學院，石家莊050003）

摘要：保修機制是部隊引入承制方裝備維修力量的重要途徑，延伸保修對裝備的壽命周期費用以及承制方保修費用有很大影響。針對軍方延伸保修購買決策問題，在對維修策略分析的基礎上，綜合考慮裝備維修費用和可用度，建立了延伸保修購買決策相關模型，結合裝備承制方保修成本及軍方裝備維修費用——效能分析，得到了在不同價格區(qū)間內延伸保修購買決策，并給出了特定條件下存在的雙贏延伸保修價格區(qū)間，最后通過實例驗證了模型的有效性。

關鍵詞：延伸保修，費效分析，購買決策

0　引言

目前承制單位保障力量已經(jīng)成為部隊裝備維修保障力量的重要組成部分，保修機制是引入承制單位保障力量的重要途徑，也是常用方法。保修可以分為初始保修和延伸保修，其在裝備壽命周期內的實施階段如圖1所示，初始保修期即質保期一般包含在裝備的購買合同中。

圖1裝備壽命周期圖

延伸保修對于裝備的壽命周期費用及可用度具有重要影響。對于軍方來說，科學地選擇延伸保修可以減少維修費用，提高裝備保障效益；對于承制方來說，只有當延伸保修價格大于成本時，才會提供延伸保修服務。所以延伸保修價格會直接影響雙方的決策，而對于部隊和裝備承制方這種特殊的買賣關系，延伸保修服務的價格通?？梢栽诤侠淼膮^(qū)間內進行協(xié)商。

國內外很多學者就延伸保修的成本費用問題進行了建模研究［1-3］。但這些研究均未考慮可用度對延伸保修決策的影響，而對于軍用裝備可用度又是一項十分重要的指標。鑒于此，本文在綜合考慮裝備維修成本和可用度的基礎上，通過費用-效益分析決策是否購買延伸保修以及相應延伸保修服務價格區(qū)間。

1　延伸保修購買決策費用-效能分析過程

本文選擇裝備壽命周期內的平均可用度作為效能指標且只考慮裝備維修費用及故障停機費用。延伸保修購買決策費用-效能分析過程如圖2所示。

圖2費用-效能分析過程

簡單來說，就是在具體維修策略下，分別建立軍方在購買和不購買延伸保修下的費效模型，結合承制方提供延伸保修服務的成本，通過對比分析裝備效費比變化得出在不同價格區(qū)間下的裝備延伸保修購買決策。

2　最小維修-不完全預防性維修策略

假設裝備在壽命周期內的故障率是遞增型，本文在裝備壽命周期內所采用的最小維修-不完全預防性維修策略是指在保修期和延伸保修期內，由于裝備在承制方保證下，且故障率相對較低，所以此時裝備故障由生產(chǎn)商免費采取最小維修，維修后裝備故障率不變；當裝備使用超過保修期，由于此時裝備工齡較長，所以故障率也隨之增高，且故障損失均由軍方承擔，為降低故障率，預防裝備在使用過程中發(fā)生故障，提高裝備可用度，軍方制定相應地預防性維修計劃定期對裝備進行不完全預防性維修，維修后裝備故障率下降，介于“恢復如新”和“恢復如舊”之間。Kim（2004）［4］證明了此種維修策略存在的合理性，預防性維修可一定程度上降低后期裝備的維修費用，從而降低裝備的全壽命周期費用。對在預防性維修間隔期內發(fā)生的故障采用最小維修策略，這部分費用也由軍方承擔。

3　延伸保修購買決策模型

3.1模型假設與符號說明

對生命周期長度為L的裝備進行分析，其包含長度為W的初始保修期，部隊采購裝備時，可以選擇以CW的價格購買長度為We延伸保修服務，裝備維修采取最小維修-不完全預防性維修組合策略。裝備的初始故障率為r0（t），單次最小維修成本為Cr；當維修水平為m時，不完全預防性維修費用為Cm，T為不完全預防性維修間隔期。以往研究中通常不考慮維修時間影響，由于本文需要考慮裝備可用度，所以相應維修時間不能忽略，令Tp為預防性維修時間，Tf為最小維修時間，假設由于維修所造成的單位時間平均損失為c。那么，部隊每次進行最小維修的總費用為：Cf=C0+cTf；預防性維修總費用為：Cp=Cm+cTp。

假設裝備的壽命周期內，在時間序列τ1，τ2，τ3，…，τj上進行預防性維修，假設預防性維修工作起始時間τ0=0。文中裝備預防性維修工作采取不完全維修策略。本文在Kijima（1989）［5］提出的虛擬工齡法基礎上，結合Sahin（1996）［6］對裝備保修期過后維修策略的研究來處理不完全預防性維修策略建模問題。Kim（2004）［4］提出不完全維修后虛擬工齡的降低與維修水平m直接相關。假設維修工作的記憶性為1，即本階段維修效果只與前一階段狀態(tài)相關，令vj表示第j次不完全預防性維修后裝備的虛擬工齡，其中j≥1。那么，對于給定的維修水平m，第j次預防性維修后裝備的虛擬工齡為：

vj=vj-1+λ（m）（τj-τj-1），其中v0=0（1）

其中，λ（m）表示不完全預防性維修改善因子，它是取值范圍為［0，1］的關于m的減函數(shù)，因此，當維修水平m提高時，λ（m）減小，虛擬工齡減少程度就越大，即維修效果越好。令M為維修水平的最大值，此時λ（M）=0，即“修復如新”狀態(tài)；當λ（0）=1時，即“修復如舊”狀態(tài)。由于本文中采取不完全預防性維修策略，所以維修水平m的取值范圍應為（0，M）。

在對虛擬工齡方法分析的基礎上，假設在裝備壽命周期內預防性維修水平均相同，即m為定值。由此，裝備在t時刻的虛擬工齡v（t）可表示為：

v（t）=vj-1+t-τj-1，其中τj-1≤t＜τj，j≥1（2）由于文中假設維修時間忽略不計，所以，在不完全預防性維修下，裝備的故障率函數(shù)可表示為：

r［v（t）］=r（vj-1+t-τj-1），其中τj-1≤t＜τj，j≥1（3）

為方便管理和實施，在實際應用中預防性維修間隔期通常是確定的，文中假設預防性維修間隔期為T。在上文分析基礎上，可以得到在無延伸保修服務情況下，裝備壽命周期內的預防性維修時間τj及預防性維修次數(shù)n1：

考慮到預防維修開始時刻是在保修期W結束后，在文獻［4］的基礎上，得到在無延伸保修服務情況下不完全預防性維修策略的裝備故障率函數(shù)：

與此類似，可以得到有延伸保修服務情況下各函數(shù)的表達式。τj和n2可表示為：

不完全預防性維修策略下購買延伸保修服務裝備的故障率函數(shù)：

3.2承制方延伸保修成本模型

承制方提供延伸保修服務利潤CP的值即為延伸保修價格以及延伸保修成本（EWC）的差值，即：

CP=Cw-EWC（10）

對生產(chǎn)者而言，只有CP≥0時，生產(chǎn)商才會提供延伸保修服務。所以，承制方所能接受的延伸保修服務的最低價格為：

Cw=EWC（11）

最小維修的特性是一個非齊次泊松過程，由此可得：

3.3軍方延伸保修費用-效益模型

對軍方而言，在決策是否購買延伸保修時，不僅要考慮成本問題，還需要考慮裝備在壽命周期內的可用度問題。只有綜合權衡壽命周期內費用和可用度，才能科學決策以提高裝備保障利益。為此，我們采用壽命周期內的單位時間費效比V值作為是否購買延伸保修服務的依據(jù)，所謂壽命周期內單位時間費效比是指壽命周期內單位時間所需的維修保養(yǎng)費用與裝備可用度的比值，它從定量角度對裝備壽命周期內的維修費用和可用度進行了綜合考慮。單位時間費效比函數(shù)表達式如下：

其中，A表示裝備可用度，C表示與維修活動相關的費用，L表示壽命周期長度，為方便分析，這里假設裝備壽命周期L為固定值。

在考慮消費者利益的情況下，消費者購買延伸保修服務后的效用應大于不購買的效用，即：

U（V1）≤U（V2）（14）

其中，U（x）為消費者的效用函數(shù)，V1為不購買延伸保修服務裝備費效比，V2為購買延伸保修服務裝備費效比。在本文中，當x表示費效比時，U（x）應為減函數(shù)，所以式（14）的條件可化為：V1≥V2（15）壽命周期內裝備期望可用度可表示為：

式（16）中，D表示裝備在壽命周期內的停機時間，它由最小維修時間和預防性維修時間構成。

在無延伸保修情況下，消費者在裝備壽命周期內與維修相關的期望費用包括預防性維修費用、保修期內故障停機費用以及保修期之后的最小維修費用，可表示為：

期望停機時間包括預防性維修停機時間以及最小維修停機時間，可表示為：

由式（16）和式（18）可得裝備在無延伸保修情況下的期望可用度A1為：

根據(jù)式（17）和式（19），可得裝備在無延伸保修情況下對于消費者的費效比V1：

同理可得，在延伸保修服務情況下，消費者在裝備壽命周期內與維修相關的期望費用為：

C2=Cnp+Cw（21）

其中，Cnp為裝備壽命周期內消費者的維修費用與停機費用，其與式（17）有相同形式，可表示為：

期望停機時間為：

由式（16）和式（23）可得裝備在延伸保修服務情況下的期望可用度A2為：

根據(jù)式（22）和式（24），可得裝備在延伸保修情況下對于消費者的費效比V2：

根據(jù)式（15），可得消費者決策購買延伸保修必須具備的條件為：由此可得消費者可接受的延伸保修服務價格為：

將相關函數(shù)帶入（27）即可得EWPmax為：

在考慮可用度情況下，消費者購買延伸保修的綜合收益CB可表示為：

CB=EWPmax-Cw（29）

在以上模型的基礎上，有以下幾種情況：

（1）當EWPmax≤EWC時，提供或購買延伸保修對于雙方均是無效益的。

（2）當EWC＜EWPmax時，有以下3種情況：

①當Cw≤EWC時，承制方不會提供延伸保修服務，此時裝備需由軍方自主維修；

②當EWC≤Cw≤EWPmax時，購買延伸保修既可優(yōu)化裝備相關維修費用和可用度，提高消費者在裝備壽命周期內的效用水平，又能滿足生產(chǎn)商的利益需求；

③當EWPmax≤Cw時，延伸保修不會提升裝備維修保障效益，此時不購買延伸保修，裝備由軍方自主維修。

綜上所述，只有當Cw∈［EWC，EWPmax］時，雙方才能達成購買延伸保修服務協(xié)定，且對雙方都有利。

4　示例分析

假設某裝備的故障服從威布爾分布，故障率函數(shù)形式如下：

其中，β為形狀參數(shù)，η為尺度參數(shù)。

對于表明不完全預防性維修效果的改善因子λ（m），本文采用kim在文獻［4］中提出的形式：

λ（m）=（1+m）e-m，m=1，2，3，…

表1給出了5種不同維修水平（即m值）下，改善因子λ（m）的取值以及相應的維修費用。

表1不同維修水平m下相應改善因子及維修費用

在裝備故障率函數(shù)中，令β=2，η=2，即裝備的首次故障時間期望值是1.77年。裝備壽命周期L=7年，保修期W=2年，延伸保修期限We=4年；不完全預防性維修間隔期T=0.33年，即每年進行3次預防性維修；為方便分析，假設每次預防性維修時間Tp=2天；故障維修時間Tf=5天，維修費用Cr=200元，每天的停機損失費用為c=40元；文中假設每年為360天。

運用文中建立的數(shù)學模型及以上的參數(shù)設置，經(jīng)過計算可以得到在最小維修-不完全預防性維修組合策略下延伸保修購買決策所對應的價格區(qū)間，在不同預防性維修水平m下購買延伸保修的價格區(qū)間以及裝備單位時間費效比變化如表2所示，除表中所給出的延伸保修價格區(qū)間外，在初始保修結束后，裝備均由部隊自主保障。

表2不同維修水平下費效比及購買決策區(qū)間

由于不完全預防性維修是在裝備保修期結束后進行的，其對承制方保修成本沒有影響，所以在不同維修水平下EWC的值不變。隨著維修水平m的上升，單位時間內裝備的費效比呈先減少后增長的趨勢且Cnp/A2≤V1，因此，軍方才有可能購買延伸保修服務。當延伸保修價格在表中所列的區(qū)間內時，軍方和承制方才能同時獲益，如當m=3時，Cw的取值范圍為［600，808.06］，如圖3所示，理論上最合理的延伸保修價格應該是兩個端點的平均值即704.03，這時，生產(chǎn)商利潤CP= 104.03，在考慮可用度情況下軍方的綜合收益也為CB=104.03。

圖3 m=3時的延伸保修購買決策價格區(qū)間圖

當故障率函數(shù)尺度參數(shù)值以及最小維修費用Cr變化時，固定m=3，形狀參數(shù)β=2和其他參數(shù)值，運用文中所提出的數(shù)學模型計算出不同數(shù)值所對應的購買延伸保修所對應的價格區(qū)間，具體結果見表3所示。

表3不同維修費用及故障率下延伸保修購買決策價格區(qū)間

當η=1時，表示首次故障時間期望為0.88年；η=2時，表示首次故障時間期望值為1.77年；η=3時表示首次故障時間期望值為2.66年?？梢钥闯鲭S著η的值提高，裝備的可靠性是逐漸提高的。由表中的數(shù)據(jù)結果可以看出，當裝備故障率過高時，EWC＞EWPmax，承制方一般不會提供延伸保修服務；當Cr固定時，隨著裝備可靠性的增加，承制方提供延伸保修服務的最低價格即延伸保修成本（EWC）降低，而軍方可接受的延伸保修最高價格EWPmax升高。所以，在初始保修結束后，是否提供延伸保修在一定程度上也可以作為判斷裝備可靠性的參考?？梢钥闯觯绻兄粕烫峁┑难b備可靠性高，提供延伸保修可以為承制方帶來巨大的利潤。如在Cr=150的情況下，如果延伸保修定價為EWC和EWPmax的平均值，當η=2時，生產(chǎn)商利潤CP=169.65；當η=3時，CP=633.4。

5　結論

延伸保修作為初始保修結束后的一種契約式的服務合同，對于軍方和承制方都具有重要意義。本文在對延伸保修服務分析的基礎上，提出了關于延伸保修購買決策問題的數(shù)學模型，通過示例驗證了模型的有效性并給出了不同延伸保修服務價格下軍方和承制方的決策以及可能存在的雙方共贏

的延伸保修價格區(qū)間。為軍方科學決策是否購買延伸保修以及雙方合理確定延伸保修價格提供了參考方法。本文只考慮了在裝備壽命周期固定時，采用最小維修-不完全預防性維修策略下的延伸保修定價問題，存在一定的局限性，在未來工作中可以針對這些問題進行深入研究。

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Research on Equipment Extended Warranty Purchase Decision- Making Based on Cost- Effectiveness Analysis

YANG Zhi-yuan，CHENG Zhong-hua，DENG Li-jie
（Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

Abstract：Warranty is an important way to introduce manufacture’s maintenance resource into the army，and the extended warranty has significant effect on manufacturer’s warranty cost and equipment’s Life Cycle Cost（LCC）. In order to make a decision for the problem whether purchasing the extended warranty，in this paper a mathematical decision model to obtain the extended warranty purchase decision-making strategy under different price interval based on the analysis of extended warranty policy by balanced the benefit of manufacturer and military is developed. The model also allows looking if there is zone of compromise yielding a win-win relationship with respect to the cost and availability of the product. At last，the model proved to be practical by the case study.

Key words：extended warranty，cost-effectiveness analysis，purchase decision-making

作者簡介：楊志遠（1990-），男，河北石家莊人，碩士研究生。研究方向：裝備保障理論與應用。

*基金項目：國家自然科學基金資助項目（70971135）

收稿日期：2015-01-21

文章編號：1002-0640（2016）02-0018-05

中圖分類號：F270

文獻標識碼：A

修回日期：2015-03-06