一類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步研究

李 美　陳其工　魏利勝

(安徽工程大學(xué)安徽檢測技術(shù)與節(jié)能裝置省級重點實驗室， 安徽 蕪湖 241000)

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一類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步研究

李 美陳其工魏利勝

(安徽工程大學(xué)安徽檢測技術(shù)與節(jié)能裝置省級重點實驗室， 安徽 蕪湖 241000)

摘要：針對具有時延的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，在有時延的條件下，討論此類系統(tǒng)的脈沖同步問題。首先，利用節(jié)點輸出項設(shè)計脈沖控制器，實現(xiàn)復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)各個節(jié)點的同步；在此基礎(chǔ)上，采用Lyapunov方程，推導(dǎo)該類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)脈沖同步的充分條件；最后，利用實例驗證了該方法的有效性與可行性。

關(guān)鍵詞：動態(tài)網(wǎng)絡(luò)； 脈沖同步； Lyapunov理論

同步是自然界和人類社會中普遍存在的現(xiàn)象，受到了來自生物、化工、航天、醫(yī)療、社會和經(jīng)濟等各個領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注，其中有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究顯得尤為突出[1]。脈沖控制作為一種經(jīng)典的控制手段，由于其結(jié)構(gòu)簡單、控制成本低、魯棒性強，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于實際工程系統(tǒng)中。對于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步研究潛力應(yīng)用較大而且影響較為廣泛。此外，因復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)可以和很多自然現(xiàn)象相聯(lián)系，故復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題已經(jīng)成為非線性系統(tǒng)領(lǐng)域的一個重要的研究方向。

目前，脈沖同步正逐漸被應(yīng)用到復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中。脈沖同步主要在于對連續(xù)系統(tǒng)的控制，在離散時刻施加脈沖，從而使系統(tǒng)達到同步。近年來，廣大國內(nèi)外學(xué)者對此進行了廣泛而深入的研究。陳武華等人主要研究了基于一般混沌Lur′e系統(tǒng)的輸出反饋脈沖同步[2]。陳遠強等人通過可變長脈沖間隔的脈沖控制實現(xiàn)脈沖同步，應(yīng)用于非線性系統(tǒng)[3]。張麗萍等人針對一類非線性時滯混沌系統(tǒng)，提出一種新的自適應(yīng)脈沖同步方案[4]。Chu等人主要研究具有分布時延的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步問題[5]。尚磊等人主要通過設(shè)計一個合適的自適應(yīng)脈沖控制器來實現(xiàn)輸出耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步[6]。羅毅平等人主要在系統(tǒng)節(jié)點擴張后，在原有的控制器已不能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定時，設(shè)計了新控制器使系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足要求[7]。

但在以往所有復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步研究中，對于輸出耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究較少。本次研究利用輸出脈沖控制方法，研究基于輸出耦合復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步。根據(jù)脈沖控制概念、脈沖微分方程的穩(wěn)定性理論以及比較系統(tǒng)，設(shè)計脈沖控制器，實現(xiàn)具有輸出耦合復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步。

1問題描述

令Rn表示n維的歐幾里德空間，‖°‖表示歐幾里德范數(shù)，J=[t0,+∞), t≥0。

考慮由N個相同節(jié)點組成的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

i=1,2,…,N

(1)

式中：t∈J；xi=(xi1,xi2,…,xin)T，為第i個節(jié)點的狀態(tài)向量；A∈Rn×n，為已知常數(shù)矩陣；L1∈Rn×1，為已知增益矩陣；yj=Hxj，為節(jié)點j的輸出項，且H=[h1h2…h(huán)n]，為節(jié)點輸出向量；D=(Dij)N×N，為耦合矩陣。若第i個節(jié)點和第j個節(jié)點之間有聯(lián)系，則Dij=Dji>0，否則Dij=Dji=0(i≠j)，且矩陣D=(Dij)N×N對角線上的元素滿足關(guān)系式：

(2)

設(shè)同步流形為：

(3)

設(shè)計適當(dāng)?shù)拿}沖控制器，用以實現(xiàn)復(fù)雜動態(tài)的全局指數(shù)同步：

ui(tk)=Bik(L2yi(t)-L2Hs(t))

k=1,2,3,…

(4)

在式(4)描述的脈沖控制器的作用下可以得到復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖控制系統(tǒng)：

(5)

(6)

=(IN?A)E(t)+F(E(t))+(C?Γ)·

E(t-τ(t))t∈(tk,tk+1]

(7)

其中，

假設(shè)1：假設(shè)存在常數(shù)li>0(i=1,2,…,N)，則對于所有的xi(t)∈Rn有：

‖f(xi(t)-f(s)‖≤li‖xi(t)-s(t)‖=

li‖ei(t)‖

(8)

由式(8)可得到

‖F(xiàn)(E(t))‖≤l‖E(t)‖

(9)

假設(shè)2：tk+1-tk≥δ,δ>1;k=1,2,3,…

2脈沖同步控制器的設(shè)計

引理1：令P∈Rn×n是正定對稱矩陣，Q∈Rn×n是對稱矩陣，則對于任意的x∈Rn，有下面的不等式成立：

λmin(P-1Q)xTPx≤xTQx≤λmax(P-1Q)xTPx

(10)

引理2：若矩陣D=(Dij)n×n有特征值0，且重數(shù)為1，則C其余特征值均為負數(shù)。令：

(11)

引理3：令v(t)為連續(xù)函數(shù)，且v(t)≥0(t≥t0)。如果

(12)

v(t)的初值為v(t)=φ(t),t∈[t0-τ,t0]，其中φ(t)逐點連續(xù)，a>b>0，則：

v(t)≤v(t0)e-λ(t-t0),t≥t0

(13)

其中，λ是-λ=-a+beλT的正根。

定理1：如果假設(shè)1和假設(shè)2成立，且存在正定對稱矩陣Pi(i=1,2,…,N)和常數(shù)αi滿足αi>bN>0(i=1,2,3,…)，使如下系統(tǒng)成立，則式(8)描述的系統(tǒng)漸近指數(shù)穩(wěn)定，即動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)與(3)同步。

(1)對于所有的t∈[tk,tK+1]時，式(14)成立。

(14)

(2)對于所有的k=1,2,3,…，有：

(15)

證明：取Lyapunov函數(shù)

(16)

=[Aei(t)+f(xi(t))-f(s(t))+

由假設(shè)1可得：

其中，ηi=[ei(t),e1(t-τ),…，en(t-τ)]。

由式(11)和(14)可得：

=-αiv(t)+bNv(t-τ)

(17)

3數(shù)值仿真分析

采用Lorenz混沌系統(tǒng)的相關(guān)數(shù)據(jù)進行仿真。Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(18)

式中：

設(shè)計脈沖控制器，選取

Bik=diag{-0.99,-0.99,-0.99}

使得：

ρmax=λmax((I+Bik)T(I+Bik))=0.009<1

δK=(CNρmax+λmax(diag{α-d10,α-d20,…,α-dn0}))=227

取ζ=1，由于δk≥0, 2δk(tk+1-tk)≤-ln(ξρk)，則由定理1得：

因0≤tk+1-tk≤0.020 3，選取tk+1-tk=0.01。仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1　同步誤差圖

從圖中可以看出，誤差很快收斂到零。根據(jù)定理1設(shè)計的控制器可以使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中各個節(jié)點的狀態(tài)與同步流形的狀態(tài)很快漸進同步。

4結(jié)語

針對具有時延的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，利用節(jié)點輸出項設(shè)計脈沖控制器；采用Lyapunov方程，推導(dǎo)出該類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)脈沖同步的充分條件；通過實際的數(shù)值仿真模擬，驗證了所提方法的有效性。此方法與其他方法相比更為簡單有效。

參考文獻

[1] STROGATZ S H. Exploring Complex Networks[J]. Natures, 2001(3):268-276.

[2] 陳武華,位旦,王自鵬.混沌Lur′e系統(tǒng)的輸出反饋脈沖同步[J].廣西大學(xué)學(xué)報,2011,36(6):987-993.

[3] 陳遠強,許弘雷.時變時滯統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的脈沖同步控制[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2012,32(9):1958-1963.

[4] 張麗萍,姜海波,畢勤勝.一類非線性時滯混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)脈沖同步[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2012,42(1):170-177.

[5] CHU Sumei, HE Wangli, HAN Qinglong,et al. Impulsive Synchronization of Complex Dynamical Networks with Distributed Delays[J]. Control Conference, 2014(10): 1413-1418.

[6] 尚磊,鄭永愛.輸出耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)脈沖同步[J].動力學(xué)與控制學(xué)報,2012,10(1):48-51.

[7] 羅毅平,周筆鋒.時滯擴散性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步保性能控制[J].自動化學(xué)報,2015,41(1):147-156.

Impulsive Synchronization for a Class of Complex Dynamical Networks

LIMeiCHENQigongWEILisheng

(Anhui Key Laboratory of Detection Technology and Energy Saving Devices,Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui 241000, China)

Abstract:The issue of impulsive synchronization in the complex dynamical networks with delays was researched. First of all, the synchronization of each node in complex networks was achieved by use the node output impulsive to design controller. Based on this, the sufficient condition of the impulsive synchronization in the complicated dynamical network was deduced by the Lyapunov Equation. Finally, the example was presented to verify the effectiveness and feasibility of the proposed method.

Key words:dynamical networks; impulsive synchronization; Lyapunov Theory

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-1980(2016)01-0121-04

中圖分類號：TP273

作者簡介：李美(1991 — )，女，安徽工程大學(xué)2013級在讀碩士研究生，研究方向為運動控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計。

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目“網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中基于時延在線預(yù)測的動態(tài)調(diào)整策略研究”(61172131)；國家自然科學(xué)基金項目“信息物理融合系統(tǒng)高度實時性能的保障機制研究”(61271377)

收稿日期：2015-12-14