馬斯京根匯流參數(shù)抗差估計(jì)研究

沈丹丹，包為民，劉可新，龔婷婷，張 乾，陳偉東(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，南京 210098)

0 引 言

馬斯京根匯流參數(shù)估計(jì)采用的是河段上下兩斷面的實(shí)測(cè)流量過程資料。若流量資料誤差為服從零均值正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布的隨機(jī)誤差時(shí)，利用傳統(tǒng)的估計(jì)理論(如最小二乘法)可取得比較好的估計(jì)效果；但當(dāng)流量資料中存在異常值時(shí)，用傳統(tǒng)的估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)常常會(huì)得出不合理的參數(shù)估計(jì)結(jié)果[1]。

抗差最小二乘法將抗差理論與最小二乘法相結(jié)合，利用抗差理論的特性抵御異常誤差對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，從而提高參數(shù)估計(jì)的精度和穩(wěn)定性。本文將附有條件的抗差最小二乘法運(yùn)用到馬斯京根匯流參數(shù)估計(jì)中，利用閩江流域沙縣河段21場(chǎng)實(shí)測(cè)入流資料構(gòu)建理想模型，并基于人工生成的零均值正態(tài)分布的隨機(jī)誤差和異常誤差這兩類誤差，分析檢驗(yàn)了用抗差最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的有效性與穩(wěn)定性。

1 參數(shù)估計(jì)方法

1.1 最小二乘法

(1)

采用拉格朗日算子法，可導(dǎo)出最小二乘解：

(2)

1.2 附有條件的抗差最小二乘法

利用抗差等價(jià)權(quán)原理，采用拉格朗日算子法，可導(dǎo)出抗差最小二乘估計(jì)，為：

(3)

式中：W是對(duì)角元素為ωi的對(duì)角陣；ωi為抗差權(quán)函數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]的研究，本文使用如下三段權(quán)函數(shù)和函數(shù)變量：

(5)

式中：ωi為抗差權(quán)；εi為權(quán)函數(shù)變量；k1和k2為待定的常數(shù)，本文中分別取1和2.5；Qi和Qci分別為下斷面實(shí)測(cè)流量和計(jì)算出流；n為計(jì)算時(shí)段數(shù)。

1.3 抗差最小二乘法計(jì)算步驟

(1)由式(5)和式(4)分別計(jì)算出εi和ωi的值；

污水的深度處理工藝的目的是進(jìn)一步去除污水中經(jīng)二級(jí)處理后剩余的污染物質(zhì)，工藝的選擇取決于二級(jí)處理出水的水質(zhì)和所需達(dá)到的水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)。二級(jí)處理出水中污染物質(zhì)為有機(jī)物和無機(jī)物的混合體，有機(jī)物包括細(xì)菌、病菌、藻類及原始生物等。不論是有機(jī)物還是無機(jī)物，根據(jù)它們存在于污水中的顆粒的大小又可分 為 懸 浮 物 （＞1μm）、膠 體 （1μm ～1nm）和 溶 解 物 （<1nm），一般來說通過混凝沉淀等常規(guī)工藝可以去除懸浮物和膠體粒子。溶解性雜質(zhì)必須通過某些非常規(guī)手段才能去除。

(2)計(jì)算等價(jià)權(quán)矩陣W；

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 理想系統(tǒng)設(shè)計(jì)

本研究采用的匯流參數(shù)為C0=0.27，C1=0.50，C2=0.23，上斷面入流過程選用了閩江流域沙縣斷面1989-2001年21場(chǎng)不同量級(jí)和不同特點(diǎn)的實(shí)測(cè)洪水過程(21場(chǎng)洪水的洪峰流量和最小流量見表1)，并用式(1)計(jì)算相應(yīng)的下斷面的出流過程作為理想系統(tǒng)的輸出。由此構(gòu)成的理想模型的參數(shù)、輸入和輸出都是已知且無任何誤差。

表1 21場(chǎng)洪水的洪峰流量和最小流量值 m3/sTab.1 The peak discharge and the minimum discharge of 21 floods

2.2 誤差生成

觀測(cè)誤差按絕對(duì)值大小分一般可分為小誤差、粗差和極值誤差。小誤差發(fā)生頻率高，且一般服從零均值正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布；而粗差和極值誤差發(fā)生頻率低、變化較大，一般不具有這些誤差統(tǒng)計(jì)特征。因此，本文采用如下兩種誤差生成模式：

δi～N(0,var)i=1,2,…,n

(7)

3 結(jié)果分析

3.1 隨機(jī)誤差

在1.1構(gòu)建的理想模型的下斷面計(jì)算出流過程上加上式(6)生成的隨機(jī)誤差，分別用最小二乘法和抗差最小二乘法估計(jì)河段馬斯京根匯流參數(shù)，估計(jì)結(jié)果如表2。表2中Cl0，Cl1，Cl2為最小二乘法估計(jì)的匯流參數(shù)；Cr0，Cr1，Cr2為抗差最小二乘法估計(jì)的匯流參數(shù)。隨機(jī)誤差情況下兩種估計(jì)方法的匯流參數(shù)估計(jì)結(jié)果(以參數(shù)C0為例)統(tǒng)計(jì)如圖1。

表2 隨機(jī)誤差的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.2 Parameter estimation results of random errors

圖1 隨機(jī)誤差參數(shù)(以C0為例)估計(jì)結(jié)果圖Fig.1 Parameter estimation results of random errors(take C0 as example)

分析表2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)實(shí)測(cè)資料的觀測(cè)誤差服從零均值正態(tài)分布時(shí)，用最小二乘法和抗差最小二乘法估計(jì)出的參數(shù)值相差不大，且都非常接近真值。但比較而言，最小二乘法估計(jì)的參數(shù)均值更接近真值，說明此時(shí)最小二乘法的估計(jì)效果更好。

參數(shù)估計(jì)均方差從統(tǒng)計(jì)意義上反映了參數(shù)估值對(duì)于參數(shù)均值的偏離程度。因此，在同樣的樣本資料條件下，兩種不同方法的參數(shù)估計(jì)均方差可以反映兩種評(píng)價(jià)方法的穩(wěn)定性。從表中可以看出，最小二乘法和抗差最小二乘法的參數(shù)估計(jì)均方差都比較小，表明誤差服從零均值正態(tài)分布時(shí)，兩種方法估計(jì)結(jié)果都比較穩(wěn)定。但比較而言，抗差最小二乘法的參數(shù)估計(jì)均方差更小，因此，抗差最小二乘法估計(jì)結(jié)果更穩(wěn)定。

由圖1參數(shù)估計(jì)結(jié)果統(tǒng)計(jì)圖也可以看出，隨機(jī)誤差情況下，兩種方法的估計(jì)效果和穩(wěn)定性相差無幾，與表2分析結(jié)果相吻合。

綜上所述，當(dāng)誤差服從零均值正態(tài)分布時(shí)，兩種方法的參數(shù)估值都是有效的。最小二乘法估計(jì)結(jié)果更接近真值，而抗差最小二乘法的估計(jì)結(jié)果更穩(wěn)定。

3.2 異常誤差

在理想模型的下斷面計(jì)算出流過程上加上式(7)生成的異常誤差，這里時(shí)間間隔L取10 h，即本文采用的是崩潰率為10%的誤差資料。分別用最小二乘法和抗差最小二乘法估計(jì)河段馬斯京根匯流參數(shù)，估計(jì)結(jié)果如表3。表3中Cl0，Cl1，Cl2為最小二乘法估計(jì)的匯流參數(shù)；Cr0，Cr1，Cr2為抗差最小二乘法估計(jì)的匯流參數(shù)。異常誤差情況下兩種估計(jì)方法的匯流參數(shù)估計(jì)結(jié)果(以參數(shù)C0為例)統(tǒng)計(jì)如圖2。

由表3可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)誤差為不滿足正態(tài)分布的粗差或極值誤差時(shí)，雖然最小二乘方法估計(jì)結(jié)果的均值與真值很接近，但每場(chǎng)洪水的參數(shù)估值都嚴(yán)重偏離真值，例如890511號(hào)洪水，最小二乘估計(jì)的參數(shù)估值為0.040 4，0.716 4和0.243 2。此時(shí)，最小二乘估計(jì)方法幾近崩潰，根本無法得出有效的參數(shù)估值。而抗差最小二乘法的估計(jì)結(jié)果，無論從次洪還是估值的均值來看都非常接近真值，且參數(shù)估計(jì)均方差較小，穩(wěn)定性較好。說明，在異常誤差的情況下，抗差最小二乘法利用抗差特性抵御了異常值對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響， 能夠獲得有效且穩(wěn)定的估計(jì)結(jié)果。

分析圖2可以發(fā)現(xiàn)，異常誤差情況下，最小二乘法估計(jì)結(jié)果嚴(yán)重偏離真值，且上下波動(dòng)非常大，估計(jì)結(jié)果極不穩(wěn)定；而抗差最小二乘法參數(shù)估值與真值非常接近，且穩(wěn)定性較好。這與表格分析結(jié)果一致。

表3 異常誤差的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.3 Parameter estimation results of abnormal errors

圖2 異常誤差參數(shù)(以C0為例)估計(jì)結(jié)果圖Fig.2 Parameter estimation results of abnormal errors(take C0 as example)

綜上所述，當(dāng)觀測(cè)資料受到異常值污染時(shí)，最小二乘估計(jì)方法崩潰，不再適用。而抗差最小二乘估計(jì)方法能夠檢測(cè)出異常值，根據(jù)其大小采用剔除或降權(quán)處理的方式抵御其對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，從而獲得有效且穩(wěn)定的參數(shù)估值，值得推廣使用。

4 結(jié) 語(yǔ)

(1)最小二乘法在隨機(jī)誤差的情況下能獲得有效的參數(shù)估值，但在異常誤差的影響下，估計(jì)結(jié)果嚴(yán)重偏離真值，方法不再適用。

(2)抗差最小二乘法將抗差理論與最小二乘估計(jì)相結(jié)合，利用抗差理論所具有的抗差能力，有效地抵御了異常值對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，在隨機(jī)誤差和異常誤差的情況下都能得出有效且穩(wěn)定的參數(shù)估值。因此，抗差最小二乘法在隨機(jī)誤差和異常誤差情況下均適用。

(3)本文只研究了一種異常誤差的情況，抗差最小二乘法對(duì)不同頻率不同量級(jí)的異常誤差的抗差估計(jì)效果還有待進(jìn)一步研究。

□

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