淺談大學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)設(shè)計
——以定積分為例*

黃敢基　盧小梅　韋琳娜

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004）

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淺談大學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)設(shè)計
——以定積分為例*

黃敢基盧小梅韋琳娜

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004）

摘要：文章對大學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性和存在的問題進行了討論和分析，并以定積分的概念為例，對大學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計進行了探討，提出了包含概念的引入、解釋、應(yīng)用和延拓等方面的課堂教學(xué)設(shè)計方法。

關(guān)鍵詞：大學(xué)數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；定積分

Abstract:This paper discusses and analyses the importance and the existing problems of the concept teaching in college mathematics，and explores the concept teaching design of college mathematics by taking definite integral as an example.A design method，including introduction，interpretation，application and prolongation，etc，is proposed.

Keywords:college mathematics；concept teaching；definite integral

大學(xué)數(shù)學(xué)是目前大學(xué)本、?？平^大多數(shù)專業(yè)都開設(shè)的一門公共基礎(chǔ)課，其內(nèi)容主要包括《高等數(shù)學(xué)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》及《線性代數(shù)》三門課程。一方面，大學(xué)數(shù)學(xué)能為各專業(yè)知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用提供理論支撐和方法指導(dǎo)，其重要性不言而喻。另一方面，數(shù)學(xué)作為研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，其理論和方法具有很強的邏輯性和抽象性。如何將在學(xué)生眼中“抽象乏味”的大學(xué)數(shù)學(xué)教好？是長時間以來困擾眾多高校數(shù)學(xué)教師的問題。

一、大學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性及現(xiàn)狀

俗話說：“萬丈高樓平地起”，每一門學(xué)科理論體系的構(gòu)筑均以基本概念為基礎(chǔ)。而概念往往表征著某一類自然或社會現(xiàn)象的共性，具有高度的抽象性和概括性。因此，有效的概念學(xué)習(xí)對理解和掌握相關(guān)學(xué)科的理論體系具有重要的作用。大學(xué)數(shù)學(xué)豐富的內(nèi)容決定了其概念眾多的特點，許多數(shù)學(xué)概念不僅具有高度的抽象性和概括性，還蘊含有豐富的歷史文化知識和哲學(xué)思想。概念作為最基本的知識單元，毋庸置疑，教好大學(xué)數(shù)學(xué)必須要從教好概念出發(fā)。雖然也有眾多的學(xué)者對概念教學(xué)進行了探討，［1］但時下很多大學(xué)數(shù)學(xué)課堂中對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)仍然存在著諸多問題，主要體現(xiàn)在以下三個方面：（1）一些教師對概念教學(xué)重要性認識不足，舍本逐末，只重視學(xué)生的解題能力的訓(xùn)練。（2）一些教師雖然也反復(fù)強調(diào)概念的重要性，但在教學(xué)時對概念的講解僅僅停留在文字的層面，而缺失對概念背景及蘊含在其背后的數(shù)學(xué)思想和文化作深入的剖析。（3）概念教學(xué)的手段老舊，既沒有充分發(fā)揮現(xiàn)代化多媒體技術(shù)的優(yōu)勢，也沒有很好地與專業(yè)相融合。這些問題的存在必然導(dǎo)致學(xué)生難以正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和含義，更別提應(yīng)用其思想方法解決實際問題，留下的印象無外乎“高大上的抽象數(shù)學(xué)”而已，從而不可避免地產(chǎn)生了厭學(xué)情緒，嚴重影響了后繼內(nèi)容和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。

如前所述，大學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要一環(huán)，同時也是目前教學(xué)中重視程度或有效教學(xué)開展較為薄弱的一環(huán)。因此，研究和實施有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法和手段，對提高大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量具有重要的意義。為此，下面我們以定積分的教學(xué)為例，從概念的引入、解釋、應(yīng)用和延拓等方面對數(shù)學(xué)概念的課堂教學(xué)設(shè)計進行探討。

二、大學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計

（一）概念的引入

概念的引入是概念教學(xué)的開始，有效的引入不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也有助于學(xué)生對概念本質(zhì)的理解和掌握。常見的概念引入方式主要有直接引入、案例引入、背景故事引入、類比引入、設(shè)問引入等。作者以為，不管是采用什么樣的引入方式，概念教學(xué)的開展必須遵從人類認知的規(guī)律，即人們認識新事物總是遵循從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象、從特殊到一般的思維過程。同時，數(shù)學(xué)概念的引入也要考慮學(xué)生認知水平，所舉的案例或故事、所類比的知識或設(shè)置的問題必須屬于學(xué)生熟悉或能理解范疇，也即使學(xué)生“看得見、摸得著、辨得明”。如以定積分的概念為例，可由問題+背景+引例+定義的模式引入。具體教學(xué)設(shè)計如下：

（1）先復(fù)習(xí)初等數(shù)學(xué)中長方形、梯形等規(guī)則圖形面積的求法。再設(shè)問：不規(guī)則平面圖形如校園荷塘或農(nóng)田的面積怎樣求？由此激起學(xué)生的好奇心。（2）在前面設(shè)問的基礎(chǔ)上，指出求平面圖形面積以及求曲線長、曲面圍成的體積、物體的重心和引力問題是十七世紀由社會發(fā)展需要所產(chǎn)生的主要科學(xué)問題之一，并由此促成了定積分產(chǎn)生和發(fā)展。通過簡要的背景介紹，使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展歷史有初步的了解，并增加了進一步求知的欲望。（3）介紹經(jīng)典引例——先細講曲邊梯形面積的求法再粗講變速直線運動的位移求法，重點突出兩者結(jié)果在結(jié)構(gòu)上的共性，由此引出定積分的概念。

（二）概念的解釋

在此，我們將對數(shù)學(xué)概念的解釋分為兩部分：概念的本義解釋和概念的內(nèi)涵揭示。

1.概念本義解釋

概念的本義解釋主要是對概念的主要條件、相關(guān)特征及結(jié)論進行講解。以定積分為例，作者認為需要講清楚三個方面：一是二個“任意”，即在區(qū)間［a，b］中插入分點的任意性和在每個小區(qū)間［xi-1，xi］中取點的任意性；二是講清楚分點個數(shù)n→∞與小區(qū)間最大長度λ→∞之間的聯(lián)系和區(qū)別；三是對定積分的符號作解釋，如積分號∫可以看作一個拉長的S，而S則可理解為求和英文單詞Sum的首字母，這正與定積分“累加求和”的本義相符。如有時間，也可順便向?qū)W生簡單介紹牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分時所用符號的區(qū)別，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生和發(fā)展的歷史和典故。

2.概念內(nèi)涵揭示

概念內(nèi)涵的揭示主要是指向?qū)W生剖析概念背后蘊含的數(shù)學(xué)方法和思想。

首先，由于人類的思維活動一般遵循由形象到抽象的認知規(guī)律，故在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中教師應(yīng)先考慮如何將抽象的概念形象化或直觀化，再通過對概念本質(zhì)內(nèi)涵的不斷揭示實現(xiàn)從感性認識到理性認識的升華。以定積分概念為例，定積分的數(shù)學(xué)方法主體要現(xiàn)在求曲邊梯形面積時采用的“分割、近似、求和、取極限”的方法，并由此得到具有一般性的“微元法”。俗話說“百聞不如一見”，多媒體教學(xué)有著傳統(tǒng)黑板教學(xué)不可比擬的優(yōu)勢。［2］在定積分的概念教學(xué)中應(yīng)盡可能利用多媒體教學(xué)的優(yōu)勢，精心制作求曲邊梯形面積的動態(tài)課件，通過調(diào)整積分上下限、分割點的個數(shù)等參數(shù)動態(tài)顯示曲邊梯形近似求面積的過程。另外，我們也可以將定積分比喻為一塊由無數(shù)條線拼成的布。通過直觀的顯示和通俗的比喻，可使抽象的概念變得直觀、生動，從而有助于學(xué)生對定積分相應(yīng)數(shù)學(xué)思想和方法的理解。

其次，許多數(shù)學(xué)概念背后蘊含有豐富的哲學(xué)思想，在教學(xué)中教師應(yīng)適時、適當向?qū)W生介紹相關(guān)的哲學(xué)思想，以幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué)的思想精髓。如在定積分概念教學(xué)時，直線與曲線本是對立的兩方面，但在求曲邊梯形面積時在取極限的條件下可以用直線代替曲線，這體現(xiàn)了哲學(xué)的對立與統(tǒng)思想；而由有限個矩形面積近似曲邊梯形面積到通過取極限得到曲邊梯面積的精確值的過程則體現(xiàn)了哲學(xué)中量變到質(zhì)變思想；另外，求曲邊梯形面積的過程：先不求曲邊梯形面積（否定）→轉(zhuǎn)為求矩形面積→（再否定）再通過取極限求曲邊梯形面積，這一過程蘊含了哲學(xué)中否定之否定的思想。因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一起探究蘊含在數(shù)學(xué)概念背后的思想和文化，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成用辯證思想思考和解決問題的好習(xí)慣。

（三）概念的應(yīng)用

1934年4月，郭人全在《中國社會現(xiàn)狀與教育問題檢討》一文中指出，當前世界資本主義國家過剩工業(yè)品如潮水般涌進中國，期望以農(nóng)產(chǎn)品角逐于世界市場無異于天方夜譚，中國當以發(fā)展工業(yè)生產(chǎn)為主，那樣就“無須需求國外市場而只要保證國內(nèi)市場”，即可使中國經(jīng)濟自立于世界[23]。吳法軍認為，“利用農(nóng)產(chǎn)品去換外國的工業(yè)品”是造成“中國人民全作了帝國主義的消費人員”的重要原因，強調(diào)只有在生產(chǎn)教育上，把工業(yè)放到第一位，才可使中國“從落后的農(nóng)業(yè)經(jīng)濟漸漸向工業(yè)經(jīng)濟發(fā)展”[20]。

“學(xué)以致用”是學(xué)生課程學(xué)習(xí)的主要目的，也是高等教育培養(yǎng)應(yīng)用型人才的必然要求。隨著社會的發(fā)展，作為公共基礎(chǔ)課的大學(xué)數(shù)學(xué)，其理論和方法已廣泛應(yīng)用于自然和社會科學(xué)各領(lǐng)域，數(shù)學(xué)學(xué)科與各學(xué)科間的相互交叉滲透的特征和趨勢越來越鮮明。因此，在大學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中也要體現(xiàn)應(yīng)用的理念，通過精心設(shè)計將數(shù)學(xué)概念與專業(yè)應(yīng)用相融合，在完成概念的引入和解釋后，任課教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的專業(yè)方向，再簡要介紹一到二個應(yīng)用案例。如在定積分的教學(xué)中，對于經(jīng)管專業(yè)，可以選講已知某個投資項目的預(yù)期收入f（t）和年利率γ，其中t為時間，如何求某個時間區(qū)間上總貼現(xiàn)值的案例；而對于電氣專業(yè)，可以講述已知電流的時間函數(shù)要求電壓的應(yīng)用案例等等。這樣的設(shè)計使數(shù)學(xué)概念教學(xué)與授課學(xué)生專業(yè)相融合，可以有助于學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)”課程的地位和作用，真實地感受到數(shù)學(xué)的價值，從而增加數(shù)學(xué)課程對學(xué)生的吸引力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（四）概念的延拓

在此，我們也從兩個方面來理解和講述概念的延拓，其一是概念內(nèi)容的外聯(lián)，其二是概念思想的外延。一方面，大學(xué)數(shù)學(xué)一個顯著的特點是知識體系的邏輯性較強，各章節(jié)內(nèi)容的前后關(guān)系密切。大學(xué)數(shù)學(xué)課程中眾多的概念往往都不是孤立的，而是都具有某種程度的關(guān)聯(lián)性，教師在概念教學(xué)中必須具有整體的觀念，講清楚各相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，即概念的外聯(lián)。這不僅有助學(xué)生在溫故中知新，更重要的是有助于學(xué)生建立課程概念體系，避免只見樹木不見森林。以定積分的概念為例，極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分等概念都與之相關(guān)，在教學(xué)中要理清這些概念的關(guān)系，幫助學(xué)生構(gòu)建概念關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和系統(tǒng)觀。另一方面，數(shù)學(xué)概念體現(xiàn)了一類事物或現(xiàn)象的某種本質(zhì)屬性或思想方法，這種本質(zhì)屬性或思想方法即為概念的內(nèi)涵。如著名數(shù)學(xué)家波利亞所說：“對于一個特例所以要進行這樣周密的描述，其目的就是從中提出一般的方法或模式。這種模式，在以后類似的情況下，對讀者求解問題，可以起指引作用”。［3］因此，在概念的教學(xué)中不僅應(yīng)教會學(xué)生對事物本質(zhì)屬性的抽象概括能力，還應(yīng)教會學(xué)生用類比的思想方法解決類似的問題。如在定積分的概念教學(xué)中，學(xué)生通過學(xué)習(xí)曲邊梯形面積求法掌握定積分的思想方法后，教師可以拋出新問題：怎樣求曲頂柱體的體積？怎樣求線密度連續(xù)的曲線型構(gòu)件的質(zhì)量？在求曲邊梯形近似面積的過程中能否用小梯形代替小矩形？對這些新的問題教師可以作簡要提示，但不要細講。這樣設(shè)置“懸念”的教學(xué)方法，不僅為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下“伏筆”，更重要的是能調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的求知欲，并在探索學(xué)習(xí)中進一步鞏固概念的同時學(xué)會類比和歸納總結(jié)的思想方法。

三、結(jié)束語

課堂教學(xué)設(shè)計是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，科學(xué)合理的教學(xué)設(shè)計是提高大學(xué)公共數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的保證。數(shù)學(xué)概念作為構(gòu)成數(shù)學(xué)理論體系最基本的知識單元，其相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計應(yīng)引起廣大數(shù)學(xué)教師的重視。只有把數(shù)學(xué)課中眾多概念切切實實地教好，使學(xué)生不僅掌握概念的內(nèi)容，還能理解概念的內(nèi)涵和外延，領(lǐng)悟蘊含在概念中的數(shù)學(xué)思想、文化和應(yīng)用價值，才能使學(xué)生由對數(shù)學(xué)課的普遍“畏學(xué)和厭學(xué)”逐步轉(zhuǎn)變?yōu)椤皹穼W(xué)和思學(xué)”，進而提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果和質(zhì)量，從而有助于實現(xiàn)大學(xué)生“知識、能力、素質(zhì)”三位一體協(xié)調(diào)全面發(fā)展的最終教育目標。

參考文獻

［1］張耀.數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究綜述［J］.運城學(xué)院學(xué)報，2005，23（2）：39-41.

［3］毛京中.高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（2）：83-86.

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）12-0083-02

*基金項目：廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項目“適應(yīng)社會需要彰顯專業(yè)特色，構(gòu)建大學(xué)公共數(shù)學(xué)教學(xué)新體系的探索與實踐”（編號：2015JGA134）。

作者簡介：黃敢基（1972-），男，漢族，廣西欽州人，副教授，博士，研究方向為高等數(shù)學(xué)教育、控制理論。