二級圓錐-圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)

葉素娣, 徐敬華

(1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241006； 2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)系，杭州 310027)

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二級圓錐-圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)

葉素娣1,2, 徐敬華2

(1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241006； 2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)系，杭州 310027)

摘要：圓錐齒輪減速器廣泛應(yīng)用在輸入軸和輸出軸需要相交成一定角度的機(jī)械設(shè)備中，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法偏于保守.對具體的運(yùn)輸機(jī)用二級圓錐-圓柱齒輪減速器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),以總中心距最小為目標(biāo)函數(shù)，選擇合理的設(shè)計(jì)變量，應(yīng)用MATLAB工具箱獲得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值.提出圓錐齒輪傳動(dòng)中名義中心距的概念，并通過背錐中心進(jìn)行表達(dá).與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法相比，優(yōu)化設(shè)計(jì)使總中心距減小12%，二級圓錐-圓柱齒輪減速器的體積更小，結(jié)構(gòu)更加緊湊.

關(guān)鍵詞：二級圓錐-圓柱齒輪減速器；名義中心距；優(yōu)化設(shè)計(jì)

圓錐齒輪傳動(dòng)常用于輸入軸和輸出軸需要相交成一定角度的場合，可用來傳遞兩相交軸之間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力，降低轉(zhuǎn)速并增大轉(zhuǎn)矩，是一種被廣泛用在液體攪拌機(jī)、破碎機(jī)、運(yùn)輸機(jī)等機(jī)械設(shè)備中的傳動(dòng)部件.單級直齒圓錐齒輪的傳動(dòng)比較小，一般取為1~3，需要較大的傳動(dòng)比時(shí)，常與圓柱齒輪組成二級圓錐-圓柱齒輪減速器.

用傳統(tǒng)的方法設(shè)計(jì)減速器不但效率低，而且尺寸偏大，因此為了減小減速器的體積，降低成本，提高設(shè)計(jì)效率，采用Matlab工具箱對減速器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[1~4]對二級圓柱齒輪減速器以及外嚙合齒輪泵進(jìn)行體積優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到的設(shè)計(jì)變量更趨合理，目標(biāo)體積比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法有較明顯的減小.

本文首先提出二級圓錐-圓柱齒輪減速器中名義中心距的概念，設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)，建立能描述目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，包括設(shè)定目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量，確定約束條件，編寫Matlab文件，給出合理的初始值，運(yùn)行后獲得確定的設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值.

1建立二級圓錐-圓柱齒輪減速器的數(shù)學(xué)模型

二級圓錐-圓柱減速器的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，高速級齒輪1和2是漸開線直齒圓錐齒輪，低速級齒輪3和4是漸開線斜齒圓柱齒輪，圓錐齒輪2和圓柱齒輪3同軸安裝，根據(jù)圓錐齒輪所受軸向力的判斷方法可知，圓錐齒輪2在運(yùn)動(dòng)過程中承受向下的軸向力Fa2，為了抵銷或部分抵銷Fa2，斜齒輪3應(yīng)產(chǎn)生向上的軸向力Fa3，故斜齒輪3的旋向應(yīng)選擇左旋.

圖1　二級圓錐-圓柱減速器

圓錐齒輪傳動(dòng)的軸交角為∑=δ1+δ2=90°，其中δ1和δ2是齒輪1和2的分度圓錐角，O點(diǎn)為錐頂，圓錐齒輪的齒寬為b,錐距為R,并令圓錐齒輪的齒寬系數(shù)φR=b/R.取小圓錐齒輪1的齒寬中心點(diǎn)為B，過B點(diǎn)作齒寬的垂線交小齒輪中心線于A點(diǎn).在直角三角形OAB中，OA=OB/cosδ1，而OB=R-0.5b,故有OA=(R-0.5b)/cosδ1.

1.1目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量的選擇

減速器的重量取決于體積，而中心距越小意味著長度方向尺度越小，體積也就越小，因此可以用總中心距最小原則來建立目標(biāo)函數(shù).圓錐齒輪傳動(dòng)時(shí)若OA較小，則使減速器在長度方向尺寸減小，因此可以定義OA的長度作為圓錐齒輪傳動(dòng)的名義中心距，設(shè)為a1,則減速器的總中心距為a∑=a1+a2.

(1)

(2)

(3)

令二級圓錐-圓柱齒輪減速器的總傳動(dòng)比為k，則有i2=k/i1,公式(3)中的獨(dú)立參數(shù)包括m1，m2，z1，z3，i1，ΦR，β,故選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為：X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7]T=[m1,m2,z1,z3,i1,φR,β]T.

由公式(3)得到的目標(biāo)函數(shù)可表示為：

(4)

1.2約束條件的確定

設(shè)高速級圓錐齒輪1的輸入轉(zhuǎn)矩為T1,傳動(dòng)效率0.95，則斜齒輪3的轉(zhuǎn)矩為0.95T1i1.

圓錐齒輪傳動(dòng)齒面接觸疲勞強(qiáng)度：

(5)

圓柱斜齒輪傳動(dòng)齒面接觸疲勞強(qiáng)度：

(6)

圓錐齒輪傳動(dòng)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度：

(7)

(8)

圓柱斜齒輪傳動(dòng)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度：

(9)

(10)

為減小齒輪運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)和噪聲，兩組齒輪傳動(dòng)的圓周速度應(yīng)小于允許的極限值6 m/s，即：

(11)

(12)

2二級圓錐-圓柱齒輪減速器優(yōu)化實(shí)例

由電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的某運(yùn)輸機(jī)用二級圓錐-圓柱齒輪減速器，已知參數(shù)有：傳遞功率為P1=10kW，高速軸轉(zhuǎn)速為n1=960r/min，總傳動(dòng)比為i∑=10，圓柱斜齒輪的齒寬系數(shù)為Φd=0.8，兩班制工作，兩組小齒輪材料均為40Cr調(diào)質(zhì)，硬度241~286HBS，兩組大齒輪材料均為45調(diào)質(zhì)，硬度217~255HBS，圓錐齒輪用等頂隙收縮齒，精度設(shè)計(jì)為8級，壽命為10年.

2.1設(shè)計(jì)變量取值范圍

2≤m1≤5，2≤m2≤5，10≤z1≤30，14≤z3≤30，1≤i1≤3,0.2≤φR≤0.33，8°≤β≤15°

2.2Matlab優(yōu)化模型

公式(4)是二級圓錐-圓柱齒輪減速器總中心距的數(shù)學(xué)模型，這是一個(gè)非線性優(yōu)化問題，需要用Matlab中的fmincon函數(shù)實(shí)現(xiàn).

根據(jù)公式(4)建立目標(biāo)函數(shù)的m文件如下：

functionf=jiansuqifun(x)

f(x)=0.5*x(2)*x(4)(1+k/x(5))/cos(x(7))+0.5*x(1)*x(3)*

(1-0.5*x(6))*(1+x(5)2)/x(5)

根據(jù)約束條件(5)~(12)建立m文件為：

function[c,ceq]=jiansuqicon(x)

c1(x)=465 872-(1-0.5*x(6))2*x(1)3*x(3)3*x(5)*x(6)

c2(x)=170 668*x(5)*(k+x(5))-0.8*k*x(2)3*x(4)3

c5(x)=1 348*x(5)-0.8*x(4)2*x(2)3

c6(x)=1 253*x(5)-0.8*x(4)2*x(2)3

c7(x)=0.05*x(1)*x(3)*(1-0.5*x(6))-6

c8(x)=0.05*x(2)*x(4)-6*x(5)

優(yōu)化程序的m文件為：

clear

x0=[4,3,24,26,2.5,0.3,12]

lb=[2,2,10,14,1,0.2,8]

ub=[5,5,30,30,3,0.33,15]

[x,feval]=fmincon(@jiansuqifun,x0,lb,ub,@jiansuqicon)

運(yùn)行程序，得到優(yōu)化結(jié)果：X=[3.33,3.32,26.3,28.3,3,0.33,12.6]T，a∑=305.86mm.

表1　常規(guī)設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)對比

2.3優(yōu)化結(jié)果分析

將優(yōu)化結(jié)果中兩對齒輪的模數(shù)按標(biāo)準(zhǔn)就近原則取值3 mm，齒數(shù)取為整數(shù)26和30，調(diào)整螺旋角β將總中心距圓整為305 mm，斜齒輪傳動(dòng)的中心距取為200 mm，則

將常規(guī)設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行對比，從表1可知，優(yōu)化后的中心距比用常規(guī)設(shè)計(jì)方法獲得的中心距減小約12%，從而使二級圓錐-圓柱齒輪減速器的體積更小，結(jié)構(gòu)更加緊湊.

3結(jié)論

(1)提出了圓錐齒輪傳動(dòng)中名義中心距的概念，并通過幾何關(guān)系予以表達(dá)；

(2)以二級圓錐-圓柱齒輪減速器的總中心距最小為優(yōu)化目標(biāo)，通過建立數(shù)學(xué)模型和Matlab優(yōu)化模型，在滿足齒面接觸疲勞強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的前提下獲得優(yōu)化結(jié)果，與常規(guī)設(shè)計(jì)相比，優(yōu)化后的總中心距減小了12%，從而使減速器在滿足功能的前提下結(jié)構(gòu)更緊湊.

[參考文獻(xiàn)]

[1]張慧鵬.基于MATLAB的二級圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2010(4):79-80.

[2]王成鋒,周昌迅.基于MATLAB的外嚙合齒輪泵優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械工程師，2011(7):119-120.

[3]蒿麗萍.基于MATLAB的多級齒輪傳動(dòng)多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J].機(jī)械傳動(dòng)，2014(1):74-77.

[4]童新華，李愛玲.基于Matlab的外嚙合齒輪泵結(jié)構(gòu)優(yōu)化[J].機(jī)械，2010(29):29-31.

[責(zé)任編輯馬云彤]

Optimal Design of Two Stage Cone-Cylinder Gear Reducer

YE Su-di1,2, XU Jing-hua2

(1. College of Electrical Engineering, Wuhu Institute of Technology，Wuhu 241006，China;

2. Department of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027，China)

Abstract：The cone gear reducer is widely used in the mechanical equipment that the input shaft and the output shaft needs to intersect into a certain angle, but the traditional design method is conservative. In this paper, the optimal design of the two stage cone-cylinder gear reducer was carried out by selecting the minimum total center distance as the objective function and choosing reasonable design variables, finally, the optimal value of the objective function was obtained by using the MATLAB toolbox. The concept of the nominal center distance in the conical gear drive was presented and expressed through the back cone center. Compared with the traditional design method, the optimal design makes the total center distance reduced by 12%, the size of the two stage cone-cylinder gear reducer is smaller and the structure is more compact.

Key words：two stage cone-cylinder gear reducer; nominal center distance; optimal design

中圖分類號：TH122

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡介：葉素娣(1969—)，女，浙江上虞人，蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院副教授，工程師，工程碩士，主要從事CAD/CAE/CAM研究.

基金項(xiàng)目：浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Y13E050014)；安徽省2015質(zhì)量工程教學(xué)研究項(xiàng)目：“基于大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)活動(dòng)的四年一貫制本科機(jī)械類課程的教學(xué)改革研究”(2015jyxm476)的階段性成果

收稿日期：2015-03-28

文章編號：1008-5564(2016)01-0055-04