有關(guān)《一元一次方程》若干分析與解讀

鄔云德

【摘要】《課標（2011年版）》倡導過程教育，但在以《一元一次方程》為載體的教研活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學普遍與過程教育存在偏差，也沒有體現(xiàn)以學為中心思想.鑒于此，筆者在重復式觀課與反思基礎(chǔ)上，對這節(jié)課的教學進行分析與解讀，得到了同仁的認可.

【關(guān)鍵詞】過程教育；一元一次方程；教學分析；教學解讀

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）倡導過程教育，以全面發(fā)揮數(shù)學的育人功能.但在以浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上冊第五章第1節(jié)《一元一次方程》為載體的“多人同課異構(gòu)”式的教研活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學普遍與過程教育存在偏差，也沒有體現(xiàn)以學為中心思想.網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復式觀課與反思基礎(chǔ)上，對這節(jié)課的教學進行若干分析與解讀，分析與解讀結(jié)果得到了同仁的認可.現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者.

1一元一次方程的產(chǎn)生背景及產(chǎn)生方式

一元一次方程是系統(tǒng)認識方程的繼續(xù)——從方程到具體的一元一次方程，它是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，它是在學生認識代數(shù)式和小學里初步認識方程概念基礎(chǔ)上提出來的.一元一次方程的產(chǎn)生方式可用圖1表示.

圖1一元一次方程產(chǎn)生方式

2《一元一次方程》涉及的數(shù)學結(jié)果及其地位與作用

根據(jù)數(shù)學結(jié)果的含義，從一元一次方程的概念體系中可以分析出《一元一次方程》涉及的數(shù)學結(jié)果有：產(chǎn)生一元一次方程的方法；一元一次方程的概念（包括名稱、定義、屬性、示例）及定義一元一次方程的步驟；用嘗試檢驗法解一元一次方程的方法.其邏輯關(guān)系可用圖2表示.根據(jù)數(shù)學結(jié)果的地位與作用的含義，可以分析出《一元一次方程》的地位與作用是：方程是數(shù)學中的核心概念，而一元一次方程是最簡單的特殊方程.根據(jù)具體問題中的條件列出方程和用嘗試檢驗法解一元一次方程是后繼學習所需要的基本技能.從具體到抽象和特殊到一般的研究方法及定義一元一次方程的步驟對后繼學習有指導作用.

圖2《一元一次方程》涉及數(shù)學結(jié)果的邏輯關(guān)系

3《一元一次方程》的認知過程、認知條件及認知價值

3.1產(chǎn)生一元一次方程的認知過程、認知條件及認知價值

盡管一元一次方程可以看成是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，也可以看成是數(shù)學自身邏輯的產(chǎn)物.但從現(xiàn)實生活中抽象出一元一次方程，能體現(xiàn)《課標（2011年版）》提出的“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫實現(xiàn)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”的教學要求，能反映方程的數(shù)學本質(zhì)——引進適當?shù)谋硎疚粗獢?shù)的字母，建立未知量與已知量之間的相等關(guān)系，以及研究這些相等關(guān)系的思想方法（解方程（組）的思想方法），也能分解列方程的難點.因此，選擇從現(xiàn)實生活中抽象出一元一次方程的方式更合適.這樣其思維過程是“審題→分析→列方程”；其必要條件是“能析出問題中的數(shù)量關(guān)系”；其支持性條件是“具有抽象思想、列式經(jīng)驗”；其認知價值有：列方程的過程有能力發(fā)展點，其蘊含的生活常識、抽象思想、模型化思想等對發(fā)展學生智力有積極作用.

3.2獲得一元一次方程概念的認知過程、認知條件及認知價值

盡管《課標（2011年版）》對一元一次方程的概念沒有提出具體的教學要求，但浙教版教材將一元一次方程概念處于歸納層次.根據(jù)奧蘇貝爾的“概念形成”理論，獲得一元一次方程概念的認知過程和認知條件可用圖3表示.從圖3中可以看出：

（1）獲得一元一次方程概念的基本步驟是：①從實際問題中抽象出特定的一元一次方程；②觀察特定一元一次方程的個體特征；③歸納特定一元一次方程的共同特征；④抽象一元一次方程的本質(zhì)特征；⑤用文字語言定義和用符號語言表示一元一次方程.

（2）獲得一元一次方程概念的必要條件是具有實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程的抽象思想和列式經(jīng)驗.

（3）獲得一元一次方程概念的支持性條件包括：①觀察數(shù)或式特征的經(jīng)驗；②歸納思想；③抽象思想；④定義的經(jīng)驗.

（4）獲得一元一次方程概念的認知價值有：觀察所列方程特征的過程能發(fā)展學生多角度觀察事物特征的意識與能力，獲得一元一次方程概念的思維策略與思維過程及其蘊含的歸納思想、抽象思想、符號表示思想等對后繼學習其他形式的方程有指導作用.圖3獲得一元一次方程概念的認知過程和認知條件

3.3用嘗試檢驗法解一元一次方程的認知過程、認知條件及認知價值

對于一些未知數(shù)的取值是整數(shù)的簡單方程，可用嘗試檢驗法來求它的解.課本安排用嘗試檢驗法解一元一次方程的意圖是：①插入嘗試檢驗法是因為本節(jié)課的內(nèi)容比較單薄；②插入嘗試檢驗法是鞏固求代數(shù)式的值和方程解概念的需要；③插入嘗試檢驗法也有為用嘗試檢驗法解二元一次方程作鋪墊之意；④插入嘗試檢驗法又能感悟函數(shù)思想；⑤插入嘗試檢驗法還能發(fā)展學生能力和個性.用嘗試檢驗法解一元一次方程的基本步驟是：先確定未知數(shù)的一個較小的取值范圍；再確定未知數(shù)可取的值；然后逐一將這些可取的值代入方程進行嘗試檢驗，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解.其必要條件是有確定未知數(shù)可取的值和求代數(shù)式值的經(jīng)驗；其支持性條件是有一般到特殊思想和化歸思想等.其認知價值有：能發(fā)展一般到特殊的推理能力、運算能力、觀察能力等，能感悟其蘊含的化歸思想、函數(shù)思想等.

4學生的認知基礎(chǔ)及可能會遇到的認知障礙

盡管學生有將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的經(jīng)歷與經(jīng)驗，但根據(jù)生活情境列出一元一次方程可能會使部分學生感到困難，感悟一元一次方程是刻畫實現(xiàn)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型及方程方法的先進性也有一定的難度；盡管學生有定義研究對象的經(jīng)歷與經(jīng)驗，但估計大多數(shù)學生沒有多角度觀察事物特征的意識，部分學生可能說不出獲得一元一次方程概念的思維過程，感悟具體到抽象的思維策略及蘊含的歸納思想、抽象思想等也有一定的難度；盡管學生有求代數(shù)式值的經(jīng)歷與經(jīng)驗，但用嘗試檢驗法解一元一次方程的過程比較復雜，可能部分學生會感到困難，特別是確定未知數(shù)的取值范圍部分學生會遇到困難.

5《一元一次方程》的教學目標、教學重難點、教學結(jié)構(gòu)

5.1《一元一次方程》的教學目標.根據(jù)《課標（2011年版）》倡導的學習結(jié)果分類理論和上述三維度分析結(jié)果，可以確定《一元一次方程》的教學目標是：

（1）經(jīng)歷列算式和方程的過程，能根據(jù)具體問題的條件列出方程和算式，能感悟列方程的思維過程，對方程方法的先進性有個性化體驗.

（2）參與定義一元一次方程的活動，能多角度觀察所列方程的特征，能說出一元一次方程的本質(zhì)特征和方程解的概念，能知道獲得一元一次方程概念的基本步驟，對發(fā)現(xiàn)所列方程的特征有個性化表現(xiàn)，對其蘊含的歸納思想、抽象思想、符號表示等有個性化體驗.

（3）探索解特定的一元一次方程，能知道嘗試檢驗法的含義及其適用條件，能說出用嘗試檢驗法解特定一元一次方程的基本步驟，對其蘊含的數(shù)學思想方法有個性化體驗.

（4）參與嘗試知識應用的活動，會在具體情境中辨別一元一次方程，會用方程解的概念解決有關(guān)問題，能用嘗試檢驗法解特定的一元一次方程，對嘗試檢驗法有個性化感悟.

5.2《一元一次方程》的教學重難點.根據(jù)教學重難點的含義和上述三維度分析結(jié)果，可以確定《一元一次方程》的教學重難點是：

（1）教學重點：一元一次方程概念及方程解的概念，嘗試檢驗法.

（2）教學難點：用嘗試檢驗法解特定的一元一次方程.

5.3《一元一次方程》的教學結(jié)構(gòu).根據(jù)數(shù)學發(fā)展規(guī)律、學生學習數(shù)學的認知規(guī)律和教育的規(guī)律及上述三維度分析結(jié)果，《一元一次方程》的教學結(jié)構(gòu)可用圖4表示.圖4《一元一次方程》教學結(jié)構(gòu)框圖

6經(jīng)歷再認列算式和方程過程的教學

（1）教師指出：我們知道，含有未知數(shù)的等式叫做方程.我們也有用算術(shù)方法和方程方法解決實際問題的經(jīng)歷與經(jīng)驗.在這兩種方法中，哪種方法更具有先進性？請大家根據(jù)下列問題中的條件分別列出算式和方程.

問題1一件衣服按8折銷售的售價為72元，這件衣服的原價是多少元？

①求這件衣服的原價可列出算式：.

②若設這件衣服的原價為x元，則可列出方程：.

問題2物體在水下，水深每增加1033米承受的壓力就會增加1個大氣壓.當“蛟龍”號下潛至3500米時，它承受的壓力約為340個大氣壓.問當它承受壓力增加到500個大氣壓時，它又繼續(xù)下潛了多少米？

①求它又繼續(xù)下潛的米數(shù)可列出算式：.

②若設它又繼續(xù)下潛了x米，則可列出方程：.

問題3小強、小杰、張明參加投籃比賽，每人投了20次.小強投進10個球，小杰比張明多投進2個，三人平均每人投進14個球.問小杰和張明各投進多少個？

①求張明投進的個數(shù)可列出算式：.

②若設張明投進x個，則可列出方程：.

（2）教師在學生獨立學習基礎(chǔ)上組織學生交互反饋，同時教師進行評價.

（3）教師引導學生反思：列方程要經(jīng)歷哪幾個步驟？列方程簡單還是列算式簡單？

（4）教師在組織學生合作研討的基礎(chǔ)上進行總結(jié)性講解.

（5）教師指出：正因為用方程解決實際問題是人類的一個偉大創(chuàng)舉，就有系統(tǒng)地研究方程的必要.上述所列的這類方程有何特征？怎樣求解？有何用處？本章我們就研究這些問題.（揭示課題）

解析目前在這個環(huán)節(jié)的教學中，有些教師采用從一個背景中演變出多個方程的方式，并且列方程之后的反思過程缺失.這不利于學生感悟一元一次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型和方程方法的先進性.這里以有代表性的實際問題為載體，引導與學生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，既有根據(jù)條件列算式和方程的過程，以產(chǎn)生定義對象所需要的具體一元一次方程，又有列算式和方程之后的反思，以再認列方程的思維過程和感悟方程方法的先進性.這體現(xiàn)了過程教育和以學為中心思想，也發(fā)揮了導入性教學的基本功能——建立內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學生的學習興趣.

7參與定義一元一次方程活動的教學

（1）教師要求學生依次思考下列問題：

①方程“80%x=72”與算式“72÷80%”有何差異？方程“80%x=72”與整式“80%x”有何差異？

②方程“80%x=72，340+110.33x=500，2x+123=14”有何共同特征？（提示：可從字母個數(shù)、字母次數(shù)、代數(shù)式類型、整理后方程的形式等多個視角進行觀察）

③這類方程的本質(zhì)特征是什么？

（2）教師在組織學生交互反饋的基礎(chǔ)上，給出一元一次方程及其解的概念.

（3）教師引導學生反思：獲得一元一次方程概念經(jīng)歷了哪幾個步驟？你認為還需要進一步研究什么？

（4）教師在組織學生合作研討的基礎(chǔ)上進行總結(jié)性講解.

解析目前在這個環(huán)節(jié)的教學中，普遍存在歸納所列方程特征的認知過程短暫和獲得概念之后反思過程缺失的問題.這不利于發(fā)展學生的能力與個性及積淀獲得數(shù)學概念的思維活動經(jīng)驗.這里以產(chǎn)生的具體方程為載體，運用教師價值引導與學生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，既有“觀察→歸納→抽象→定義與表示”的過程，以形成一元一次方程的有關(guān)概念，發(fā)展多角度看問題的意識，又有獲得概念之后的反思，以感悟獲得一元一次方程概念的思維過程和明確進一步需要研究的問題.這體現(xiàn)了過程教育和以學為中心思想，也遵循了處于歸納層次的概念教學的基本規(guī)范.

8探索解特定一元一次方程的教學

（1）教師提出問題：在上面“小強、小杰、張明參加投籃比賽”的問題中，我們列出的方程是“2x+123=14”.怎樣解這個方程？

（2）學生嘗試用等式的性質(zhì)解這個方程.（大多數(shù)學生能用等式性質(zhì)解這個方程）

（3）教師提出問題：還能用其他方法來解這個方程嗎？如果回答有困難，請大家依次思考下列問題：

①這個問題中的未知數(shù)x有何特征？

②x的大致取值范圍是什么？

③x在這個取值范圍內(nèi)可取哪些值？

④將x可取的值分別代入代數(shù)式2x+123，其對應的代數(shù)式的值分別是什么？

⑤根據(jù)方程解的概念，哪個x的值是方程2x+123=14的解？

（4）教師在學生獨立學習基礎(chǔ)上組織學生進行交互反饋與評價.

（5）教師引導學生總結(jié)用嘗試檢驗法解一元一次方程的基本步驟.

（限于篇幅，解析過程略）

以上分析與解讀對改變當前只教不研的現(xiàn)象和幫助教師認識與實踐過程教育有積極的作用，對發(fā)展教師的實踐性智慧也有積極的影響.